专题01变换思想课之一次函数的解析式及图象变换必考点专练- 2022-2023学年八年级上册数学专题训练（浙教版）

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一、单选题
1．（2022·浙江八年级期末）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】
因为k＝﹣2＜0，b＝﹣1＜0，根据一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质得到图象经过第二、四象限，图象与y轴的交点在x轴下方，于是可判断一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过第一象限．
【详解】
解：∵一次函数y＝﹣2x﹣1中k＝﹣2＜0，
∴图象经过第二、四象限；
又∵b＝﹣1＜0，
∴一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，即函数图象还经过第三象限，
∴一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过第一象限．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系；k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
2．（2022·浙江八年级期末）若一次函数（都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据一次函数图像在坐标平面的位置，可先确定的取值范围，在根据的取值范围确定一次函数图像在坐标平面的位置，即可求解．
【详解】
根据一次函数经过一、二、四象限，则函数值随的增大而减小，可得；图像与轴的正半轴相交则，因而一次函数的一次项系数，随的增大而增大，经过一三象限，常数，则函数与轴的负半轴，因而一定经过一、三、四象限，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的图像与系数的关系，解题关键是根据已知函数图像的位置确定的取值范围．
3．（2022·浙江）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点，已知直线与直线，若两直线与y轴围成的三角形区域内(不含三角形的边)有且只有三个整点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由过（1，0）时区域内由两个整点求出m=-2，由过（2，-1）时区域内有三个整点求出，综合求出区域内有三个整点可求出．
【详解】
当过（1，0）时区域内由两个整点，
此时m+2=0，m=-2，
当过（2，-1）时区域内有三个整点，
此时，，
两直线与y轴围成的三角形区域内(不含三角形的边)有且只有三个整点，
．
故选择：D．
【点睛】
本题考查数形结合思想求区域整点问题，掌握利用区域三角形边界整点来解决问题是关键．
4．（2020·浙江八年级期末）关于函数y＝﹣x+1的图象与性质，下列说法错误的是（ ）
A．图象不经过第三象限
B．图象是与y＝﹣x﹣1平行的一条直线
C．y随x的增大而减小
D．当﹣2≤x≤1时，函数值y有最小值3
【答案】D
【分析】
根据一次函数的图象与性质以及两条直线平行的条件逐项判断即得答案．
【详解】
解：A．它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项说法正确，不符合题意；
B．∵直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣x﹣1的k相同，∴它的图象是与y＝﹣x﹣1平行的一条直线，故本选项说法正确，不符合题意；
C．∵函数y＝﹣x+1中，k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项说法正确，不符合题意；
D．当﹣2≤x≤1时，函数值y有最大值3，有最小值0，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与性质和两直线平行的条件，属于基本题型，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
5．（2022·浙江八年级期中）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．且
【答案】D
【分析】
画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.
【详解】
∵，
∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2），
∵t>0，
∴2t+2>2，
当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，
当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，
当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，
∴且，
故选：D.
【点睛】
此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键.
二、填空题
6．（【新东方】义乌初中数学初二下【00022】）在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒2个单位的速度向下平移，经过______秒该直线可将平行四边形的面积平分．
【答案】6
【分析】
首先连接AC、BO，交于点D，当y=4x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y=4x+1的直线解析式，从而可得直线y=4x+1要向下平移，进而可得答案．
【详解】
解：连接AC、BO，交于点D，当y=4x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD=OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y=kx+b，
∵平行于y=4x+1，
∴k=4，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y=4x-11，
∴直线y=4x+1要向下平移12个单位，
∴时间为6秒，
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．
7．（2022·浙江）已知直线y＝x+2与函数y＝的 图象交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）点A的坐标是_____；
（2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对应点分别为A′，B′，连结OA′，OB′．当m＝_____时，|OA'﹣OB'|取最大值．
【答案】（）； 6．
【分析】
（1）分别求解如下两个方程组，，再根据已知条件即可得答案；
（2）当O、A′、B′三点共线时，|OA'﹣OB'|取最大值．即直线平移后过原点即可，平移的距离为m，平移后的直线为把原点坐标代入计算即可．
【详解】
（1）联立，解得，则交点坐标为（），
联立，解得，则交点坐标为（），
又点A在点B的左边，所以A（），
故答案为：（）；
（2）当O、A′、B′三点共线时，|OA'﹣OB'|取最大值．
即直线平移后过原点即可，平移的距离为m，
平移后的直线为，
则，
解得，
当m＝6时，|OA'﹣OB'|取最大值．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查一次函数与分段函数综合问题，会识别分段函数与一次函数的交点在哪一分支上，会利用平移解决最大距离问题是解题关．
8．（2022·浙江八年级期末）已知一次函数y＝kx+3﹣2k，当k变化时，原点到一次函数y＝kx+（3﹣2k）的图象的最大距离为_____．
【答案】．
【分析】
根据题意可知，一次函数图像过定点A，求出A的坐标，当原点到直线y=kx+3-2k的距离为OA时，原点到直线y=kx+3-2k的距离为最大，根据A的坐标求出OA即可．
【详解】
一次函数y＝（x﹣2）k+3中，令x＝2，则y＝2k+3-2k=3，
∴一次函数图像过定点A(2，3)，
∴当OA垂直于直线y=kx+3-2k时
此时原点到直线y=kx+3-2k的距离最大
∴OA== 为最大距离．
故答案为
【点睛】
本题考查一次函数图像和坐标的性质以及求点到直线的距离．正确找出一次函数过恒定点A(2，3)是解题关键．
9．（2022·浙江）直线y=﹣2x+b过点(3，1)，将它向下平移4个单位后所得直线的解析式是_____．
【答案】y=﹣2x+3
【分析】
将(3，1)代入y=﹣2x+b，即可求得b，然后根据“上加下减”的平移规律求解即可．
【详解】
解：将(3，1)代入y=﹣2x+b，
得：1=﹣6+b，
解得：b=7，
∴y=﹣2x+7，
将直线y=﹣2x+7向下平移4个单位后所得直线的解析式是y=﹣2x+7﹣4，即y=﹣2x+3.
故答案为：y=﹣2x+3．
【点睛】
本题主要考查利用待定系数法确定函数关系式，一次函数图象的平移，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
三、解答题
10．（2022·浙江八年级期末）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）求，两点的坐标；
（2）平移直线使其与轴相交与点，且，求平移后直线的解析式．
【答案】（1）；；（2）或．
【分析】
（1）令令，令，分别求出对应的y和x的值，即可；
（2）先求出直线平移后的或，再根据待定系数法，即可求解．
【详解】
（1）令，则，则，令，则，则．
（2）如图，由题意得，，则或，
设平移后的直线为，将代入，得，
；
将代入，得，
．
综上所述：平移后直线的解析式为或．
【点睛】
本题主要考查一次函数与坐标轴的交点以及图像的平移，掌握待定系数法，是解题的关键．
11．（2022·浙江九年级二模）我们知道：，在函数中，当时，，当时，．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在绘定的直角坐标中画出这个函数的图像，并写出一条这个函数具有的性质．
【答案】（1）；（2）图象见详解，该函数图象关于直线对称
【分析】
（1）把当时，，当时，代入函数解析式进行求解即可；
（2）根据（1）中函数解析式可利用描点法进行画函数图象，然后由函数图象可直接写出其性质．
【详解】
解：（1）把当时，，当时，代入函数解析式得：
，解得：，
∴函数解析式为，
∴；
（2）由（1）可得函数图象如图所示：
由图象可得该函数图象关于直线对称．
【点睛】
本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
12．（2022·浙江）有、、三个港口在同一条直线上，甲船从港出发匀速行驶，到港卸货1小时，以不变的速度继续匀速向前行驶最终到达港；乙船从港出发匀速行驶到达港．设甲船行驶后，甲船与港的距离为，乙船与港的距离为，下表记录某些时刻与的对应值，与的关系如图所示．
（1）甲船的行驶速度是______，乙船的行驶速度是______
（2）在图中画出与的图象；
（3）当甲船与乙船到港口的距离相等时，求乙船行驶的时间．
【答案】（1），；（2）作图见解析；（3）当乙船离开港口和时，甲船和乙船到港口的距离相等．
【分析】
（1）根据表中的数据可得甲船的行驶速度，根据函数图象的数据可得乙船的行驶速度；
（2）根据表格中的数据，结合题意描出相关点，即可画出（km）与（h）的图象；
（3）设甲船从港口出发的时间为．再分两种情况讨论，①当甲船未到港口前， ②当甲船已过港并离开后，再列方程求解即可．
【详解】
解：（1）由表格信息可得：
甲船的行驶速度是，
由函数图像可得：乙船的行驶速度是．
故答案为： ，
（2）根据表格描点，作图如下：
（3）设甲船从港口出发的时间为．
①当甲船未到港口前，，
解得；

②当甲船已过港并离开后，
解得；

综上，当乙船离开港口和时，甲船和乙船到港口的距离相等．
【点睛】
本题考查的是一次函数的应用，画一次函数的图形，从函数图像与表格中获取信息，结合一元一次方程解决行程问题，掌握数形结合与分类讨论是解题的关键．
13．（2022·浙江）已知一次函数．
（1）求证：点在该函数图象上．
（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点，求的值．
（3）若，点，在函数图象上，且，判断是否成立？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）-4；（3）不成立，理由见解析
【分析】
（1）令x=3，得y=0即可得证；
（2）一次函数y=k（x-3）图象向上平移2个单位得y=k（x-3）+2，将（4，-2）代入可得k；
（3）由y1＜y2列出x1、x2的不等式，根据k＜0可得答案．
【详解】
解：（1）在y=k（x-3）中令x=3，得y=0，
∴点（3，0）在y=k（x-3）图象上；
（2）一次函数y=k（x-3）图象向上平移2个单位得y=k（x-3）+2，
将（4，-2）代入得：-2=k（4-3）+2，
解得k=-4；
（3）x1-x2＜0不成立，理由如下：
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在y=k（x-3）图象上，
∴y1=k（x1-3），y2=k（x2-3），
∴y1-y2=k（x1-x2），
∵y1＜y2，
∴y1-y2＜0，即k（x1-x2）＜0，
而k＜0，
∴x1-x2＞0，
∴x1-x2＜0不成立．
【点睛】
本题考查一次函数图象上的点，解题的关键是将点坐标代入变形．
14．（2022·广东八年级期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n交于点P（1，b），直线l2与x轴交于点A（4，0）．
（1）求b的值；
（2）解关于x，y的方程组，并直接写出它的解；
（3）判断直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
【答案】（1）2；（2）；（3）是，理由见解析
【分析】
（1）由点P的坐标结合一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b的值；
（2）利用数形结合的思想即可得出方程组的解就是两直线的交点坐标，依此即可得出结论；
（3）根据点A、P的坐标，利用待定系数法求出m、n的值，由此即可得出直线l3的解析式，代入x=1得出y=2，由此即可得出直线l3：y=nx+m也经过点P．
【详解】
解：（1）∵点P（1，b）在直线l1：y＝x+1上，
∴b＝1+1＝2．
（2）∵直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n交于点P（1，2），
∴关于x，y的方程组的解为．
（3）直线l3：y＝nx+m也经过点P．理由如下：
将点A（4，0）、P（1，2）代入直线l2：y＝mx+n中，
得：，解得：，
∴直线l3：y＝x﹣．
当x＝1时，y＝×1﹣＝2，
∴直线l3：y＝x﹣经过点P（1，2）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b值；（2）根据交点坐标得出方程组的解；（3）利用待定系数法求出m、n的值．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
15．（2022·浙江）设一次函数（k，b是常数，且）．
（1）若一次函数和的图象交于x轴同一点，求的值；
（2）若，，点和在一次函数y的图象上，且，求的取值范围；
（3）若，点在该一次函数上，求证：．
【答案】（1）2；（2）＜-3；（3）见详解
【分析】
（1）先求出直线与x轴的交点坐标，再把交点坐标代入，即可求解；
（2）根据一次函数的性质，即可求解；
（3）由题意得，结合，得5k＞-b，再根据，得到关于k的不等式，即可得到结论．
【详解】
（1）令y=0，代入，得x=-2，
∴直线与x轴的交点坐标为：（-2，0），
∵一次函数和的图象交于x轴同一点，
∴把（-2，0）代入得：，即：=2；
（2）∵＜0，
∴一次函数，y随x的增大而减小，
∵点和在一次函数y的图象上，且，
∴＜-3；
（3）∵点在该一次函数上，
∴，
∵，
∴，即：5k＞-b，
又∵，即：k＜-b，
∴5k＞k，
∴k＞0．
【点睛】
本题主要考查一次函数图像和性质，熟练掌握一次函数图像上点的坐标特征以及一次函数的增减性，是解题的关键．
16．（2022·浙江）设一次函数y1=(k－1)x+5－2k， y2=(k+1)x+1－2k．
(1)若函数y1的图象与y轴交于点(0，－3)，求函数y1的表达式．
(2)若函数y2图象经过第一，二，三象限，求k的取值范围．
(3)当x>m时，y1【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据一次函数与y轴交点的纵坐标即为常数项b的值，可得k的一元一次方程，求解后即可得出函数解析式；
（2）根据一次函数图象经过第一，二，三象限，一次项系数和常数项均大于0，列出不等式组求解即可；
（3）先根据y1【详解】
解：（1）∵函数y1的图象与y轴交于点(0，－3)，
∴5－2k＝-3，解得，
∴；
（2）∵函数y2图象经过第一，二，三象限，
∴解得；
（3）若y1则，
整理得，
∴，
∵当x>m时，y1∴.
【点睛】
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．（1）掌握一次函数与y轴交点的纵坐标即为常数项b的值是解题关键；（2）中理解函数的系数与所在象限之间的关系是解题关键；（3）中需注意m的取值是一个范围．
17．（2022·浙江）如图，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是（1，0），P为直线AB上的动点，连接PO，PC．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）当△PBO与△PAC面积相等时，求点P的坐标；
（3）直接写出△PCO周长的最小值．
【答案】（1）A（4，0），B（0，4）；（2）P（，）；（3）6
【分析】
（1）根据图象上点的坐标特征求得即可；
（2）根据三角形面积公式列出关于x的方程，解方程即可求得；
（3）过O作直线AB的对称点O′，连接O′C交AB于点P，此时PC+PO的值最小，最小值为O′C的长，求得O′的坐标，然后根据勾股定理即可求得PC+PO的最小最小值，进而求得△PCO周长的最小值．
【详解】
（1）∵直线y=﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴令y=0，则﹣x+4=0，解得x=4，
∴A（4，0），
令x=0，则y=4，
∴B（0，4）；
（2）∵A（4，0），C（1，0），
∴AC=3，
设P（x，﹣x+4），
∵△PBO与△PAC面积相等，
∴×4x=（﹣x+4），
解得x=，
∴P（，）；
（3）过O作直线AB的对称点O′，连接O′C交AB于点P，此时PC+PO的值最小，△PCO周长最小，周长的最小值为O′C+OC，

∴OA=OB=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵OO′和AB互相垂直平分，
∴四边形AOBO′是正方形，
∴O′（4，4），
∴O′C===5，
∴PC+PO的最小值为5，
此时，PC+PO+OC=O′C+OC=5+1=6，
故△PCO周长的最小值为6．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，确定O′的坐标是解题的关键．
18．（2022·浙江七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，，将线段平移至线段，点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，连接．
（1）直接写出图中平行的线段，用“//”表示：___________；
（2）设点，则点D的坐标可表示为________；
（3）求出点C，D的坐标；
（4）如图，过点D作x轴的平行线a，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线a向左移动，同时，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向右移动．
①求经过几秒钟后，以Q、O、D、P为顶点的四边形面积；
②在①的条件下，若交y轴于点M，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）AB∥CD，AC∥BD；（2）（1，y-1）；（3）C（0，5），D（1，4）；（4）①1秒或秒；②（0，4）或（0，）
【分析】
（1）直接根据平移的性质可得；
（2）由点A和点B的坐标关系，推广到点C和点D的坐标关系，可得结果；
（3）过D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥DE于点F，利用S梯形AEFC=S△ADE+S△CDF+S△ACD列出方程，解之即可；
（4）①表示出DP=t，OQ=，根据四边形面积得到，再分0≤t≤和t＞两种情况分别求解；
②分t=1和t=两种情况分别求解．
【详解】
解：（1）由平移可知：
AB∥CD，AC∥BD；
（2）∵A（-3，0），B（-2，-1），
则由A到B：横坐标加1，纵坐标减1，
∵C（0，y），
∴D（1，y-1）；
（3）如图所示：
过D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥DE于点F，
∴S梯形AEFC===，
又∵S△CDF===，
S△ADE===，
∵S梯形AEFC=S△ADE+S△CDF+S△ACD，
∴，
解得：y=5，
∴C（0，5），D（1，4）；
（4）①设P、Q运动时间为t秒，
则DP=t，OQ=，
∴，
∴，
当0≤t≤时，
，
解得：t=1，符合题意；
当t＞时，
，
解得：t=，符合题意；
综上：符合条件的时间为1秒或秒；
②当t=1时，
点P的坐标为（0，4），点Q坐标为（-1，0），
此时PQ与y轴的交点M的坐标为（0，4）；
当t=时，
点P的坐标为（，4），点Q坐标为（，0），
设直线PQ的解析式为y=kx+b，
则，解得：，
∴直线PQ的解析式为，
令x=0，则y=，
∴点M的坐标为（0，），
综上：点M的坐标为（0，4）或（0，）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形，平移的性质，一次函数与坐标轴的交点，一元一次方程，解题的关键是掌握平移的性质，将坐标与线段长结合起来．
19．（2022·浙江八年级期末）根据天气预报，某地将持续下雨7天，然后放晴．开始下雨的48小时内，某水库记录了水位变化，结果如下：
在不泄洪的条件下，假设下雨的这7天水位随时间的变化都满足这种关系．
（1）在不泄洪的条件下，写出一个函数解析式描述水位y随时间x的变化规律；
（2）当水库的水位达到43m时，为了保护大坝安全，必须进行泄洪．
①下雨几小时后必须泄洪？
②雨天泄洪时，水位平均每小时下降0.05m，求开始泄洪后，水库水位y与时间x之间的函数关系式；并计算泄洪几小时后水位可以降到下雨前的初始高度？
【答案】（1）；（2）①120小时；② （120≤x＜168），y＝（x＞168），泄洪56小时后，水位降到下雨前的初始高度
【分析】
（1）观察数据的变化符合一次函数，设出一次函数的解析式，拥待定系数法即可求出解析式；
（2）①取y＝43，算出对应的x即可；
②开始泄洪后的水位为水库的量减去泄洪的量，分别用x表示出对应的值，即可写出y与x的关系式，取y＝40，求出x即可．
【详解】
解：（1）观察发现x和y满足一次函数的关系，设y＝kx+b，
代入（0，40）（12，40.3）得：
，
解得：，
∴；
（2）①当y＝43时，有，
解得x＝120，
∴120小时时必须泄洪；
②在下雨的7天内，即120≤x＜168时，
，
7天后，即x＞168时，此时没有下雨，水位每小时下降米，
，
当y＝40时，有：，
解得x＝180（不合，舍去），
或者，则x＝176，
176﹣120＝56，
∴泄洪56小时后，水位降到下雨前的初始高度．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，关键是要会用待定系数法求出一次函数的解析式，根据解析式求出y满足一定条件时对应的x的值．
20．（2022·浙江）如图，在平面直角坐标系中，已知点，且，C是的中点．动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动；当点P到达点O时，点Q也停止运动．
（1）当P为中点时，的外角的平分线与的延长线交于点E．
①求证：；
②若，则________；
（2）若时，连结，以，为邻边构造，设点P运动的时间为t秒，当点D恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
【答案】（1）①证明见解析；②；（2）：t=4或或．
【分析】
（1）①先证明再利用平行线的性质与角平分线的性质证明：从而可得结论；②先证明 设 可列方程：再利用平方差公式可得：从而可得答案；
（2）如图2，过点D作DF⊥AO于F，过点C作CE⊥BO于E，证明△PDF≌△CQE（AAS）， 再用含的代数式表示点D（2t-3，4-t）， 再分三种情况讨论即可.
【详解】
解：（1）①如图1，分别为的中点，
为的中位线，


平分



②为的中点，

设

为中位线，






（2）如图2，过点D作DF⊥AO于F，过点C作CE⊥BO于E，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴CQ=PD，PD∥CQ，
∴∠QCP+∠DPC=180°，
∵AO∥CE， ∴∠OPC+∠PCE=180°，
∴∠FPD=∠ECQ，
又∵∠PFD=∠CEQ=90°，
∴△PDF≌△CQE（AAS），
∴DF=EQ，PF=CE，
∵为中点，
点C（3，4），点P（0，8-t），点Q（2t，0），
∴CE=PF=4，EQ=DF=2t-3，
∴FO=8-t-4=4-t，
∴点D（2t-3，4-t），
当点D落在直线OB上时，则4-t=0，即t=4，
当点D落在直线OC上时，
∵点C（3，4），
∴直线OC解析式为：，
∴4-t=， ∴，
当点D落在AB上时，

设为：


为：


综上所述：t=4或或．
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．0
0.5
1
2
3
4
4.5
…
60
45
30
0
0
30
45
…
时间x/h
0
12
24
36
48
…
水位y/m
40
40.3
40.6
40.9
41.2
…