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【期末复习】人教版 初中数学 2023-2024学年 八年级上册 期末基础专题训练 01 三角形（原卷+解析卷）.zip
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一、三角形的分类
1．定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
三角形用符号“△”表示，顶点为A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．
2．三角形的分类
（1）按角分类：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形；
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形；
③直角三角形：有一个内角为直角的三角形．
（2）按边分类：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角；
③等边三角形：三边都相等的三角形．
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角．
二、三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边．
判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
三、与“三线”有关的画图、计算与证明
1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；直角三角形三条高的交点是直角的顶点．
2．三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
注意：①三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
②中线把三角形分成面积相等的两个三角形．
3．三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
注意：一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
概括：三角形的“三线”都是线段．
四、稳定性的实际应用
1．三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就不会改变了，这个性质叫做三角形的稳定性．
三角形的稳定性在实际生活中有很多用处．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架、索道支架等都采用三角形结构，也是这个道理．
2．四边形没有稳定性．
五、三角形的内角和定理
1．三角形三个内角和等于180°．
2．几种常见的证明三角形内角和为的方法：
①添加平行线：
②折叠：
③把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．
3．三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
六、直角三角形
直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形．
常考知识点：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且该三角形是等腰直角三角形．
七、三角形的外角的性质
1．三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．
注意：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．三角形外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
③三角形的外角和等于360°．
八、多边形的对角线
1．多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形．
①多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
②多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．
③正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可）
④多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
边形的对角线：一个顶点有条对角线，共有条对角线．
九、多边形的内角和
1．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．
2．n边形的内角和为（n-2）·180°（n≥3）．
证明方法：
3．正多边形的每个内角都相等，都等于．
十、多边形的外角和
1．多边形的外角和为360°．
注意：在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关．
2．正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于．
考向解读
1．与三角形有关的线段
（1）掌握三角形的任意两边之和大于第三边的性质．
（2）理解三角形的高、中线、角平分线等概念，并会画这些特殊线段．
（3）知道三角形的三条中线交与一点（重心）、三条角平分线交于一点（内心）、三条高所在的直线交于一点（垂心），三条边的垂直平分线交于一点（外心）．
（4）知道三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理．
2．与三角形有关的角
知道三角形按边分类和按角分类的类型，体会分类讨论思想．
3．多边形及内角和
（1）理解三角形内角和定理的推导过程，掌握三角形的内角和定理；知道三角形的外角，初步掌握三角形外角的性质．
（2）理解多边形内角和公式的推导过程．
考点突破
考点目录
TOC \ "1-3" \h \z \u 考点01 三角形的三边关系 PAGEREF _Tc152086465 \h 6
考点02 三角形的稳定性 PAGEREF _Tc152086466 \h 8
考点03 三角形的分类 PAGEREF _Tc152086467 \h 9
考点04 三角形的高 PAGEREF _Tc152086468 \h 11
考点05 三角形的中线、角平分线 PAGEREF _Tc152086469 \h 13
考点06 “三线”综合问题 PAGEREF _Tc152086470 \h 16
考点07 三角形内角和定理 PAGEREF _Tc152086471 \h 20
考点08 三角形的外角性质 PAGEREF _Tc152086472 \h 22
考点09 直角三角形 PAGEREF _Tc152086473 \h 25
考点10 多边形及其内角和 PAGEREF _Tc152086474 \h 27
考点01 三角形的三边关系
【例题1】（2022秋•博山区校级期末）下列各组线段中，能构成三角形的是
A．2，5，7B．4，4，8C．4，5，6D．4，5，10
【例题2】（2023春•文山市期末）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【例题3】（2023春•电白区期末）如果三角形的两边长分别为2和6，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是
A．6B．13C．14D．15
考点02 三角形的稳定性
【例题1】（2022秋•魏都区校级期末）要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上 根木条．
A．1B．2C．3D．4
【例题2】（2023春•成县期末）如图，空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是
A．三角形两边之差小于第三边B．三角形两边之和大于第三边
C．三角形的稳定性D．垂线段最短
【例题3】（2023春•零陵区期末）如图是某校门口的电动伸缩门，电动伸缩门利用了 性质
A．四边形的不稳定性B．三角形的稳定性
C．四边形的稳定性D．三角形的不稳定性
考点03 三角形的分类
【例题1】（2022春•沙坪坝区校级期末）下列对的判断，错误的是
A．若，则是直角三角形
B．若，，则是锐角三角形
C．若，，则是钝角三角形
D．若，则是等腰直角三角形
【例题2】（2022春•承德县期末）如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．以上都有可能
【例题3】（2023春•绥棱县期末）三角形按角分可以分为锐角三角形，直角三角形和 ．
考点04 三角形的高
【例题1】（2022春•遵化市期末）如图所示在中，边上的高线画法正确的是
A．B．
C．D．
【例题2】（2022秋•岳阳县期末）下列图形中是的高的是
A．B．
C．D．
【例题3】（2023春•舞钢市期末）如图，，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，中，边上的高是线段 ．
考点05 三角形的中线、角平分线
【例题1】（2023春•枣庄期末）如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是
A．B．C．D．
【例题2】（2023春•台江区校级期末）如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多 ．
【例题3】（2023春•侯马市期末）如图，中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数．
考点06 “三线”综合问题
【例题1】（2023秋•红桥区期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．
（1）若是中线，，，则与的周长差为 ；
（2）若，是高，求的度数；
（3）若，是角平分线，求的度数．
【例题2】（2023秋•包河区期中）已知：如图，中，、分别是的高和角平分线，是的平分线，与交于，若，，求、的度数．
【例题3】（2023秋•苍南县月考）如图，是的高，是的角平分线，是中点，，．
（1）求的度数；
（2）若与的周长差为3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答．
考点07 三角形内角和定理
【例题1】（2023春•灌南县期末）如图，把沿翻折，叠合后的图形如图，若，，则的度数是
A．B．C．D．
【例题2】（2022秋•罗湖区期末）如图，已知中，若，，是边上一点，，则等于
A．B．C．D．
【例题3】（2022秋•新兴县期末）如图，，分别是的高和角平分线，，，则的度数为
A．B．C．D．
考点08 三角形的外角性质
【例题1】（2022秋•息县期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于
A．B．C．D．
【例题2】（2022秋•崂山区期末）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
【例题3】（2023春•唐山期末）如图，是的一个外角，，，则
A．B．C．D．
考点09 直角三角形
【例题1】（2022秋•嘉兴期末）若一个直角三角形其中一个锐角为，则该直角三角形的另一个锐角是
A．B．C．D．
【例题2】（2023春•白银区校级期末）如图，在中，，，过点作，垂足为，恰好是的平分线，则的度数为
A．B．C．D．
【例题3】（2023春•乐山期末）如图，在直角中，，是斜边上的高，．
求：（1）的度数；
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）
解：（1），（已知），
又 ，
．
（2） ，
（等式的性质）．
（已知），
（垂直定义），
（等量代换）．
考点10 多边形及其内角和
【例题1】若一个多边形的内角和是它的外角和的1.5倍，则这个多边形的边数为
A．5B．6C．7D．4
【例题2】（2023春•兴化市期末）一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为 ．
【例题3】（2023春•梅州期末）研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？
【回顾】如图①，请直接写出与、之间的数量关系： ；
【探究】如图②，是四边形的外角，求证：；
【结论】若边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则，与的数量关系是 ．
考技提升
一、选择题
1．（2023春•太康县期末）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则
A．B．C．D．
2．（2022秋•钦州期末）已知在中，，，则边的长可能是
A．2B．3C．4D．11
3．（2023春•阳城县期末）把边长相等的正五边形和正六边形按照如图的方式叠合在一起，是正六边形的对角线，则等于
A．B．C．D．
4．（2023春•新野县期末）如图，在中，边上的高为
A．线段B．线段C．线段D．线段
5．（2022秋•江门期末）如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上点处，若，则的大小为
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题）
6．（2022秋•榆阳区校级期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为 ．
7．（2023春•沈北新区期末）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ．
8．（2022秋•和平区校级期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 ．
9．（2023春•霍林郭勒市校级期末）如图，五边形的内角都相等，且，，则 ．
10．（2023春•龙口市期末）如图，的度数为 ．
三、解答题（共2小题）
11．（2023春•成县期末）已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角多，求这个多边形的边数．
12．（2022秋•两江新区期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点．
（1）求的度数；
（2）过点作，交的延长线于点，求的度数．
判断三条线段能否组成三角形．若两条较短的线段长之和大于最长的线段的长，则三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．
（1）三角形的稳定性在生产和生活中应用广泛．例如房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（2）四边形没有稳定性．
（3）可以通过连接多边形的一对不相邻的顶点，改变它的不稳定性．
三角形的不同分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形．
1．从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点与垂足所连的线段是三角形的高．
（1）三角形的高必过三角形的顶点；
（2）三角形的高必垂直于三角形的一条边．
2．三角形的高是一条线段，而垂线是一条直线．
1．中线
（1）三角形的中线是一条线段．
（2）三角形被一边上的中线分成的两个小三角形的周长差的绝对值等于另两边的差的绝对值．
（3）三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心．
（4）中线把三角形分成面积相等的两个三角形．
2．角平分线
（1）三角形的角平分线是线段．一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部．
（2）三角形的“三线（高线、中线、角平分线）”都是线段．
1．中线：三角形的中线将原三角形分为面积相等的两部分．
2．三角形的角平分线平分以它的端点（三角形的顶点）为顶点的三角形的角．
3．三角形的面积=三角形的边长×该边上的高÷2．
1．在三角形中，已知两个内角的度数，或已知三角形中三个内角的数量关系时，可利用三角形内角和定理求180°求出各内角的度数．
2．利用三角形内角和定理判断三角形形状时，可不计算角度，只计算份数，如若已知三角形三个内角度数的比为，则可利用2+4=6<7，可知两个较小的角度数之和占6份，最大的角占7份，则是该三角形为钝角三角形．
3．与平行线结合求角时，运用平行线的性质将已知角或待求角转移到三角形中，然后结合三角形内角和定理进行计算求解．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
（3）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°．
直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
（3）性质和判定的推理依据都是三角形内角和定理．
1．多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：（1）画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．（2）每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
2．多边形内角和的问题，通过添加辅助线将其转化为三角形内角和的问题．
多边形内角和定理推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
3．多边形的外角和
（1）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
（2）借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
4．多边形的外角和定理常常与内角和公式以及邻补角的定义结合在一起使用，可以用于求多边形的边数或者求某一个角的度数．
5．多边形与平行线性质的综合
（1）多边形的对边所在直线平行时，延长两对边，得到内错角和同旁内角，利用平行线的性质解题．
（2）多边形的对边不平行，存在外部平行线时，利用平行线的性质与多边形内角或外角度数结合，求角度．
一、三角形的分类
1．定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
三角形用符号“△”表示，顶点为A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．
2．三角形的分类
（1）按角分类：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形；
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形；
③直角三角形：有一个内角为直角的三角形．
（2）按边分类：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角；
③等边三角形：三边都相等的三角形．
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角．
二、三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边．
判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
三、与“三线”有关的画图、计算与证明
1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；直角三角形三条高的交点是直角的顶点．
2．三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
注意：①三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
②中线把三角形分成面积相等的两个三角形．
3．三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
注意：一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
概括：三角形的“三线”都是线段．
四、稳定性的实际应用
1．三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就不会改变了，这个性质叫做三角形的稳定性．
三角形的稳定性在实际生活中有很多用处．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架、索道支架等都采用三角形结构，也是这个道理．
2．四边形没有稳定性．
五、三角形的内角和定理
1．三角形三个内角和等于180°．
2．几种常见的证明三角形内角和为的方法：
①添加平行线：
②折叠：
③把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．
3．三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
六、直角三角形
直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形．
常考知识点：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且该三角形是等腰直角三角形．
七、三角形的外角的性质
1．三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．
注意：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．三角形外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
③三角形的外角和等于360°．
八、多边形的对角线
1．多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形．
①多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
②多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．
③正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可）
④多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
边形的对角线：一个顶点有条对角线，共有条对角线．
九、多边形的内角和
1．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．
2．n边形的内角和为（n-2）·180°（n≥3）．
证明方法：
3．正多边形的每个内角都相等，都等于．
十、多边形的外角和
1．多边形的外角和为360°．
注意：在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关．
2．正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于．
考向解读
1．与三角形有关的线段
（1）掌握三角形的任意两边之和大于第三边的性质．
（2）理解三角形的高、中线、角平分线等概念，并会画这些特殊线段．
（3）知道三角形的三条中线交与一点（重心）、三条角平分线交于一点（内心）、三条高所在的直线交于一点（垂心），三条边的垂直平分线交于一点（外心）．
（4）知道三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理．
2．与三角形有关的角
知道三角形按边分类和按角分类的类型，体会分类讨论思想．
3．多边形及内角和
（1）理解三角形内角和定理的推导过程，掌握三角形的内角和定理；知道三角形的外角，初步掌握三角形外角的性质．
（2）理解多边形内角和公式的推导过程．
考点突破
考点目录
TOC \ "1-3" \h \z \u 考点01 三角形的三边关系 PAGEREF _Tc152086465 \h 6
考点02 三角形的稳定性 PAGEREF _Tc152086466 \h 8
考点03 三角形的分类 PAGEREF _Tc152086467 \h 9
考点04 三角形的高 PAGEREF _Tc152086468 \h 11
考点05 三角形的中线、角平分线 PAGEREF _Tc152086469 \h 13
考点06 “三线”综合问题 PAGEREF _Tc152086470 \h 16
考点07 三角形内角和定理 PAGEREF _Tc152086471 \h 20
考点08 三角形的外角性质 PAGEREF _Tc152086472 \h 22
考点09 直角三角形 PAGEREF _Tc152086473 \h 25
考点10 多边形及其内角和 PAGEREF _Tc152086474 \h 27
考点01 三角形的三边关系
【例题1】（2022秋•博山区校级期末）下列各组线段中，能构成三角形的是
A．2，5，7B．4，4，8C．4，5，6D．4，5，10
【例题2】（2023春•文山市期末）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【例题3】（2023春•电白区期末）如果三角形的两边长分别为2和6，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是
A．6B．13C．14D．15
考点02 三角形的稳定性
【例题1】（2022秋•魏都区校级期末）要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上 根木条．
A．1B．2C．3D．4
【例题2】（2023春•成县期末）如图，空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是
A．三角形两边之差小于第三边B．三角形两边之和大于第三边
C．三角形的稳定性D．垂线段最短
【例题3】（2023春•零陵区期末）如图是某校门口的电动伸缩门，电动伸缩门利用了 性质
A．四边形的不稳定性B．三角形的稳定性
C．四边形的稳定性D．三角形的不稳定性
考点03 三角形的分类
【例题1】（2022春•沙坪坝区校级期末）下列对的判断，错误的是
A．若，则是直角三角形
B．若，，则是锐角三角形
C．若，，则是钝角三角形
D．若，则是等腰直角三角形
【例题2】（2022春•承德县期末）如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．以上都有可能
【例题3】（2023春•绥棱县期末）三角形按角分可以分为锐角三角形，直角三角形和 ．
考点04 三角形的高
【例题1】（2022春•遵化市期末）如图所示在中，边上的高线画法正确的是
A．B．
C．D．
【例题2】（2022秋•岳阳县期末）下列图形中是的高的是
A．B．
C．D．
【例题3】（2023春•舞钢市期末）如图，，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，中，边上的高是线段 ．
考点05 三角形的中线、角平分线
【例题1】（2023春•枣庄期末）如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是
A．B．C．D．
【例题2】（2023春•台江区校级期末）如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多 ．
【例题3】（2023春•侯马市期末）如图，中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数．
考点06 “三线”综合问题
【例题1】（2023秋•红桥区期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．
（1）若是中线，，，则与的周长差为 ；
（2）若，是高，求的度数；
（3）若，是角平分线，求的度数．
【例题2】（2023秋•包河区期中）已知：如图，中，、分别是的高和角平分线，是的平分线，与交于，若，，求、的度数．
【例题3】（2023秋•苍南县月考）如图，是的高，是的角平分线，是中点，，．
（1）求的度数；
（2）若与的周长差为3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答．
考点07 三角形内角和定理
【例题1】（2023春•灌南县期末）如图，把沿翻折，叠合后的图形如图，若，，则的度数是
A．B．C．D．
【例题2】（2022秋•罗湖区期末）如图，已知中，若，，是边上一点，，则等于
A．B．C．D．
【例题3】（2022秋•新兴县期末）如图，，分别是的高和角平分线，，，则的度数为
A．B．C．D．
考点08 三角形的外角性质
【例题1】（2022秋•息县期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于
A．B．C．D．
【例题2】（2022秋•崂山区期末）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
【例题3】（2023春•唐山期末）如图，是的一个外角，，，则
A．B．C．D．
考点09 直角三角形
【例题1】（2022秋•嘉兴期末）若一个直角三角形其中一个锐角为，则该直角三角形的另一个锐角是
A．B．C．D．
【例题2】（2023春•白银区校级期末）如图，在中，，，过点作，垂足为，恰好是的平分线，则的度数为
A．B．C．D．
【例题3】（2023春•乐山期末）如图，在直角中，，是斜边上的高，．
求：（1）的度数；
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）
解：（1），（已知），
又 ，
．
（2） ，
（等式的性质）．
（已知），
（垂直定义），
（等量代换）．
考点10 多边形及其内角和
【例题1】若一个多边形的内角和是它的外角和的1.5倍，则这个多边形的边数为
A．5B．6C．7D．4
【例题2】（2023春•兴化市期末）一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为 ．
【例题3】（2023春•梅州期末）研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？
【回顾】如图①，请直接写出与、之间的数量关系： ；
【探究】如图②，是四边形的外角，求证：；
【结论】若边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则，与的数量关系是 ．
考技提升
一、选择题
1．（2023春•太康县期末）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则
A．B．C．D．
2．（2022秋•钦州期末）已知在中，，，则边的长可能是
A．2B．3C．4D．11
3．（2023春•阳城县期末）把边长相等的正五边形和正六边形按照如图的方式叠合在一起，是正六边形的对角线，则等于
A．B．C．D．
4．（2023春•新野县期末）如图，在中，边上的高为
A．线段B．线段C．线段D．线段
5．（2022秋•江门期末）如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上点处，若，则的大小为
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题）
6．（2022秋•榆阳区校级期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为 ．
7．（2023春•沈北新区期末）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ．
8．（2022秋•和平区校级期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 ．
9．（2023春•霍林郭勒市校级期末）如图，五边形的内角都相等，且，，则 ．
10．（2023春•龙口市期末）如图，的度数为 ．
三、解答题（共2小题）
11．（2023春•成县期末）已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角多，求这个多边形的边数．
12．（2022秋•两江新区期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点．
（1）求的度数；
（2）过点作，交的延长线于点，求的度数．
判断三条线段能否组成三角形．若两条较短的线段长之和大于最长的线段的长，则三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．
（1）三角形的稳定性在生产和生活中应用广泛．例如房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（2）四边形没有稳定性．
（3）可以通过连接多边形的一对不相邻的顶点，改变它的不稳定性．
三角形的不同分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形．
1．从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点与垂足所连的线段是三角形的高．
（1）三角形的高必过三角形的顶点；
（2）三角形的高必垂直于三角形的一条边．
2．三角形的高是一条线段，而垂线是一条直线．
1．中线
（1）三角形的中线是一条线段．
（2）三角形被一边上的中线分成的两个小三角形的周长差的绝对值等于另两边的差的绝对值．
（3）三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心．
（4）中线把三角形分成面积相等的两个三角形．
2．角平分线
（1）三角形的角平分线是线段．一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部．
（2）三角形的“三线（高线、中线、角平分线）”都是线段．
1．中线：三角形的中线将原三角形分为面积相等的两部分．
2．三角形的角平分线平分以它的端点（三角形的顶点）为顶点的三角形的角．
3．三角形的面积=三角形的边长×该边上的高÷2．
1．在三角形中，已知两个内角的度数，或已知三角形中三个内角的数量关系时，可利用三角形内角和定理求180°求出各内角的度数．
2．利用三角形内角和定理判断三角形形状时，可不计算角度，只计算份数，如若已知三角形三个内角度数的比为，则可利用2+4=6<7，可知两个较小的角度数之和占6份，最大的角占7份，则是该三角形为钝角三角形．
3．与平行线结合求角时，运用平行线的性质将已知角或待求角转移到三角形中，然后结合三角形内角和定理进行计算求解．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
（3）三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°．
直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
（3）性质和判定的推理依据都是三角形内角和定理．
1．多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：（1）画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．（2）每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
2．多边形内角和的问题，通过添加辅助线将其转化为三角形内角和的问题．
多边形内角和定理推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
3．多边形的外角和
（1）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
（2）借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
4．多边形的外角和定理常常与内角和公式以及邻补角的定义结合在一起使用，可以用于求多边形的边数或者求某一个角的度数．
5．多边形与平行线性质的综合
（1）多边形的对边所在直线平行时，延长两对边，得到内错角和同旁内角，利用平行线的性质解题．
（2）多边形的对边不平行，存在外部平行线时，利用平行线的性质与多边形内角或外角度数结合，求角度．
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