1.1.1 集合（题型战法）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.1.1 集合（题型战法）知识梳理一 集合及其表示方法1．   元素与集合的概念（1）集合：把一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象组成一个集合．（2）元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素.2．集合的元素具有以下特点：确定性、互异性、无序性.3．元素与集合的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作．（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作．4．实数集、有理数集、整数集、正整数集、自然数集、分别用字母、、、、来表示．5．集合的分类（1）空集：不含任何元素，记作.（2）非空集合：有限集：含有有限个元素；无限极：含有无限个元素.6.集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、数轴法、韦恩图法.二 集合的基本关系1.子集一般地，如果集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集.记作：.2.真子集一般地，如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合称为集合的真子集，记作：AB或BA.3.集合的相等一般地，如果集合和集合的元素完全相同，则称集合与集合相等.记作A＝B.4.子集或真子集的个数（1）集合元素个数为n,子集个数为        （2）集合元素个数为n,真子集个数为（3）集合元素个数为n,非空子集个数为 （4）集合元素个数为n,非空真子集个数为三 集合的基本运算1．交集的概念一般地，给定两个集合A，B，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作A交B.2.交集运算的性质交集运算具有以下性质，对于任意两个集合A，B，都有：（1）A∩B＝B∩A；（2）A∩A=A；（3）A∩∅=∅∩A＝∅；（4）如果A⊆B，则A∩B=＝A，反之也成立.3.并集的概念一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作A并B 4.并集运算的性质类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合A，B，都有：（1）A∪B＝B∪A；（2）A∪A＝A；（3）A∪∅=∅∪A＝A；（4）如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立.5.全集的概念在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示.6.补集的概念如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作UA，读作A在U中的补集.7.补集运算的性质事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下性质：（1）A∪（UA）= U；（2）A∩（UA）=∅；（3）U（UA）= A.题型战法题型战法一 元素与集合典例1．若M＝{x|x>－1}，则下列选项正确的是（       ）A．0⊆M B．{0}∈M C．∅∈M D．{0}⊆M【答案】D【解析】【分析】利用元素与集合，集合与集合的关系求解.【详解】因为M＝{x|x>－1}，所以{0}⊆M，故选：D变式1-1．给出下列四个关系：π∈R， 0∉Q ，0.7∈N， 0∈∅，其中正确的关系个数为（       ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】【分析】根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系.【详解】∵R表示实数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，∅表示空集，∴π∈R，0∈Q，0.7∉N，0∉∅，∴正确的个数为1 .故选:D.变式1-2．下列关系中，正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合的关系.【详解】对于A，，所以A错误；对于B，不是整数，所以，所以B错误；对于C，，所以C正确；对于D， 因为不含任何元素，则，所以D错误.故选：C.变式1-3．若集合，则下列选项正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合，集合与集合的关系判断.【详解】因为集合是奇数集，所以，，，A，故选：C变式1-4．若集合，则下列四个命题中，正确的命题是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐个分析判断【详解】对于A，因为，所以，所以A错误，对于B，因为是集合，且，所以，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，因为1是元素，，所以D错误，故选：C 题型战法二 集合中元素的特征典例2．已知集合，若，则实数的值为（       ）．A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值.【详解】，且，或⑴、当即或，①、当时，，，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；②、当时，，，此时，符合题意；⑵、当即时，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去；综上所述：实数的值为1.故选：B变式2-1．下面能构成集合的是（       ）A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生【答案】B【解析】【分析】结合集合中元素的特征，对选项逐个分析可选出答案.【详解】由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性； 对于B，大于5小于11的偶数为，可以构成集合；对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性.故选：B.变式2-2．若，则的可能值为（       ）A．0，2 B．0，1C．1，2 D．0，1，2【答案】A【解析】【分析】根据，分，，讨论求解.【详解】因为，当时，集合为，不成立；当时，集合为，成立；当时，则（舍去）或，当时，集合为，成立；∴或.故选：A变式2-3．若，则a的值为（       ）A．或1或2 B．或1 C．或2 D．2【答案】D【解析】【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可.【详解】因为，所以或3或，当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意.故选：D变式2-4．已知集合 ，且 ，则实数m的值为（       ）A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【答案】A【解析】【分析】依题意可得或，求出方程的根，再代入集合中检验即可；【详解】解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；故选：A 题型战法三 集合的基本关系典例3．集合的子集个数为（       ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】【分析】求出集合后可得其子集的个数.【详解】,故该集合的子集的个数为：.故选：C.变式3-1．集合的一个真子集可以为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式，即可求出集合，再根据选项判断即可；【详解】解：由，即，解得，所以，所以的一个真子集可以为．故选：C变式3-2．已知集合，，则（       ）A．AB B．BA C． D．【答案】B【解析】【分析】解不等式，得到，进而判断两集合的关系.【详解】，解得：，所以，故BA，其他选项均不正确.故选：B.变式3-3．下列集合与集合相等的是(　　)A．(1,2022) B．C． D．{(2022,1)}【答案】C【解析】【分析】根据集合相等，元素相同即可求解.【详解】(1,2022)表示一个点，不是集合，A不符；集合的元素是点，与集合A不相等，B不符；，故C符合题意；集合{(2022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符题意.故选：C.变式3-4．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；③空集是任意集合的子集，故，正确；④空集没有任何元素，故，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B. 题型战法四 根据集合的包含关系求参数典例4．已知集合，，若，则实数a满足（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由并集结果得到，分和讨论，得到实数a的取值范围.【详解】因为，所以，当时，，即，满足题意；当时，若，则或4，当时，，满足题意；当时，，满足题意；若，则-2,2是方程的两根，显然，故不合题意，综上：实数a满足.故选：D变式4-1．已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】集合，根据，分和两种情况讨论即可得答案.【详解】解：集合，，当，即时，显然满足条件；当时，，因为，所以或，即或，解得或；综上，实数的取值组成的集合是.故选：D.变式4-2．已知集合，集合，若，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由集合包含关系可直接构造不等式组求得结果.【详解】，，，且，解得：，即的取值范围为.故选：D.变式4-3．已知集合，，，则实数a的取值集合为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先解出集合A，再根据确定集合B的元素，可得答案.【详解】由题意得，，∵，，∴实数a的取值集合为,故选:C.变式4-4．设，，，若P=Q，则（     ）.A． B． C．.0 D．1【答案】A【解析】【分析】利用两个集合相等，元素相同，得到，进而求出答案.【详解】由题意得：，所以故选：A  题型战法五 集合的交并补运算典例5．已知集合或，，则  （       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】首先根据对数函数的性质得到不等式，解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得；【详解】解：因为，所以，即，解得或，所以，所以，又或，所以，所以；故选：A变式5-1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得；【详解】解：由，即，解得或，即或，所以，又，所以；故选：C变式5-2．设集合，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由补集和交集的定义可求得结果.【详解】由题设可得，故，故选：B.变式5-3．已知全集，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出集合U，再求.【详解】.因为，，所以.故选：D变式5-4．记全集，设集合则（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】本题只要在数轴上画出相应的区间，再求交集即可.【详解】对于集合A：，∴即是或；对于集合B：，即是或者；在数轴上作图如下：故选：A. 题型战法六 韦恩图的应用典例6．如图所示，阴影部分表示的集合是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用韦恩图的定义直接表示.【详解】由图可知阴影部分属于A，不属于B，故阴影部分为，故选：A.变式6-1．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先求出，依题意阴影部分表示，再根据补集的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以，由韦恩图可知阴影部分表示；故选：A变式6-2．记全集，，，图中阴影部分所表示的集合是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】理解题目所给图形的含义，按交并补的定义计算即可.【详解】由题图知，阴影部分所表示的集合是，∵，，∴，故，故选：D.变式6-3．已知集合，，图中阴影部分为集合M，则M中的元素个数为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由Venn图得到求解.【详解】如图所示，，，解得且，又，，，，所以M中元素的个数为3故选：C变式6-4．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据阴影部分表示的集合为求解.【详解】因为集合，所以或，又因为或，所以阴影部分表示的集合为或，故选：A 题型战法七 集合新定义问题典例7．定义集合 且.己知集合，，，则中元素的个数为（       ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】首先要理解A-B的含义，然后按照集合交并补的运算规则即可.【详解】因为，，所以，又因为，所以.故选：B.变式7-1．设P，Q是两个非空集合，定义集合间的一种运算“” ，且．若，则（       ）A．或 B． C． D．或【答案】A【解析】【分析】利用集合交并运算分别求出，，结合集合运算的新定义求即可.【详解】由题设，，，所以或.故选：A变式7-2．定义集合运算：.若集合，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先由题意求出和，然后再求【详解】因为，所以，所以当时，，所以，所以 ，故选：D变式7-3．若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（       ）A．3个 B．4个 C．7个 D．8个【答案】C【解析】【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可.【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合中，为影子关系的集合有.故选：C变式7-4．给定集合A， 若对于任意， 有， 且，则称集合A为闭集合， 下列结论正确的个数是（       ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合；③若集合为闭集合， 则为闭集合；④若集合为闭集合， 且，则存在，使得.A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】①举例判断；②由闭集合的定义判断；③举例判断；④举例判断.【详解】①因为,故错误； ②设，则，故正确；③设，则，，故错误；④设，且，由，则存在故正确；故选：C