8.2.1椭圆（题型战法）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

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第八章 平面解析几何8.2.1椭圆（题型战法）知识梳理一 椭圆1.定义及标准方程定义：平面内与两定点的距离的和等于常数（大于） 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。符号表示：（）方程：（1）焦点在轴上：  （2）焦点在轴上：  2.简单几何性质项目焦点在x轴上焦点在y轴上  图形 标准方程焦点顶点轴长长轴长2a短轴长2b长轴长2a短轴长2b离心率关系 通径题型战法题型战法一 椭圆的定义及辨析典例1．已知点，，动点P满足，动点P的轨迹是（    ）A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段【答案】A【分析】根据椭圆的定义即可得出答案.【详解】解：因为，所以动点P的轨迹是以为焦点的椭圆.故选：A.变式1-1．已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（    ）A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线【答案】C【分析】讨论与的大小关系，结合椭圆定义可知.【详解】解：因为 （当且仅当 时，等号成立，所以，当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆；当 时，，此时动点 的轨迹是线段．故选：C．变式1-2．椭圆上点到上焦点的距离为4，则点到下焦点的距离为（    ）A．6 B．3 C．4 D．2【答案】A【分析】根据椭圆方程求出，再根据椭圆的定义计算可得；【详解】解：椭圆，所以，即，设上焦点为，下焦点为，则，因为，所以，即点到下焦点的距离为；故选：A变式1-3．点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（    ）A．13 B．1 C．7 D．5【答案】D【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到，从而求出答案.【详解】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，故故选：D变式1-4．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，最大值为（    ）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值.【详解】∵在椭圆上∴∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.故选：D. 题型战法二 椭圆中的焦点三角形典例2．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（       ）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】根据椭圆的定义求解即可【详解】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知∴故选：C变式2-1．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用椭圆的定义进行求解即可.【详解】由.因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，所以，因此的周长为，故选：D变式2-2．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积.【详解】由椭圆方程得..故选：D.变式2-3．已知点分别是椭圆的左､右焦点,点P在此椭圆上,,则的面积等于（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据椭圆标准方程，可得，结合定义及余弦定理可求得值，由及三角形面积公式即可求解.【详解】椭圆则，所以，则由余弦定理可知代入化简可得，则，故选：B.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质的简单应用，正弦定理与余弦定理的简单应用，三角形面积公式的用法，属于基础题.变式2-4．已知椭圆左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆方程求得，由椭圆的定义，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．【详解】解：由题意，椭圆方程，可得，所以焦点，又由椭圆的定义，可得，因为，所以，在中，由余弦定理可得,所以，解得，又由，所以.故选:C． 题型战法三 椭圆上的点到焦点与定点距离的和、差最值典例3．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（    ）A．3 B．5 C． D．13【答案】B【分析】由，结合图形即得.【详解】因为椭圆，所以，，则椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得：，当点P在点处，取等号，所以的最大值为5，故选：B.变式3-1．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（    ）A． B．13 C．3 D．5【答案】B【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示：，故选：B变式3-2．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（    ）A．1 B．－1 C． D．【答案】A【分析】设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为，则，可得，所以，如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，此时取得最小值，又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．故选：A．变式3-3．已知F是椭圆=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（    ）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】D【分析】利用椭圆的定义转化为P到M和到另一焦点的距离的差的最大值来解决.【详解】解：如图，由椭圆=1，得 得，则椭圆右焦点为，则.当与射线与椭圆的交点重合时取到等号,的最大值为21.故选：D.变式3-4．已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义可得，然后结合图形可得答案.【详解】由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义知，所以.又，如图，设直线交椭圆于，两点.当为点时，最小，最小值为.故选：B【点睛】本题考查的是椭圆的定义的应用，属于常考题型. 题型战法四 根据方程表示椭圆求参数的范围典例4．若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，解之即可得解.【详解】解：因为方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选：C.变式4-1．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简方程为椭圆的标准方程，列出不等式，即可求解.【详解】将方程化为，因为是焦点在y轴上的椭圆，可得，解得.故选：B.变式4-2．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可【详解】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆则有：解得：故选：A变式4-3．若表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】以椭圆标准方程的性质去判断即可解决.【详解】由题只需，解得，故选：D变式4-4．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根据题意，由求解.【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得：，故选：B. 题型战法五 椭圆的标准方程典例5．中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴和短轴之和为36，椭圆上的点到一个焦点的最短距离为1，则椭圆的标准方程为（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】根据题意，列关于的方程组求解，然后写出焦点分别在轴上的标准方程.【详解】设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为，由题意，，得，椭圆焦点在轴或轴上，椭圆的标准方程为或.故选：C变式5-1．若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（    ）A． B．或C． D．【答案】B【分析】首先根据已知条件得到，，即可得到，，，再分类讨论即可得到答案.【详解】因为短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，所以，设，，，，因为焦点到椭圆上点的最短距离为，所以，即.，，.当焦点在轴时，椭圆的方程为，当焦点在轴时，椭圆的方程为.故选：B变式5-2．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先设，，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.【详解】设，，因为，，，所以，，所以，所以，所以．因为，所以．所以椭圆的方程是．故选：C变式5-3．以双曲线的焦点为椭圆C的长轴顶点，且过点的椭圆C的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出双曲线的焦点坐标，得出椭圆的半长轴长，设椭圆标准方程为，代入已知点，求解即可得到椭圆的标准方程.【详解】解：双曲线的焦点为，设椭圆标准方程为，则，又椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.故选：B.变式5-4．设分别为椭圆左、右焦点，点在椭圆C上，且，则椭圆C的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】把点坐标代入四个选项，可排除三个错误选项，第四个选项可检验满足题中其他条件．【详解】把代入各选项中方程，，，，ABC均排除，，D满足，此时，，，满足此条件．故选：D． 题型战法六 椭圆的轨迹方程典例6．在平面直角坐标系中，已知定点、，直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设动点P的坐标为，依题意得到方程，整理即得轨迹方程；【详解】解：设动点P的坐标为，则由条件得．即．所以动点P的轨迹C的方程为．故选：B．变式6-1．P是椭P作椭圆长轴的垂线,垂足为点M,则PM的中点的轨迹方程为(　　)A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：设中点坐标为，则，因在椭圆上，故而可求的关系式即中点的方程.详解：中点坐标为，则，因在椭圆上，故，故选B.点睛：求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.变式6-2．已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用相关点法即可求解.【详解】设线段的中点，，所以，解得，又点在圆上，则，即.故选：A变式6-3．已知的周长是20，且顶点B的坐标为，C的坐标为，则顶点A的轨迹方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据椭圆的定义确定点的轨迹是椭圆，确定得出方程.【详解】由题意可知，则点的轨迹是焦点在轴且中心为原点的椭圆，且点不在轴上，即故选：C变式6-4．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程.【详解】由题可得圆心，半径为6，是垂直平分线上的点，，，点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，，故点的轨迹方程为.故选：B. 题型战法七 椭圆的离心率典例7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】因为的周长为18，所以，结合题意可得，代入离心率公式运算求解．【详解】设焦距为．因为的周长为18，所以，所以．因为长半轴长为5，即所以椭圆C的离心率为故选：B．变式7-1．已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，，，再根据列式求解即可【详解】由已知得：，，所以， 由得：所以所以由得：所以   故选：C变式7-2．已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆定义得到，由得到，由勾股定理得到，两式结合求出，结合得到，求出离心率.【详解】由题意得：，则，由椭圆定义可知：，所以，即，所以，又，所以，即故E的离心率为.故选：C.变式7-3．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建立齐次式求解.【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可得，因为，所以，在中，，由余弦定理得，即所以所以的离心率.故选：C变式7-4．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，直线与直线的交点为P，若的面积是面积的2倍（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定的三角形面积关系，可求得，即可求得离心率.【详解】由题可知，故，所以与直线的交点P坐标为，由的面积是面积的2倍知，，．所以．故选：C 题型战法八 椭圆的离心率的取值范围典例8．已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据椭圆性质结合离心率运算处理．【详解】由题得：，所以故选：A．变式8-1．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上存在一点P满足，则椭圆的离心率取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量的坐标运算公式，结合椭圆中的关系、椭圆离心率的公式进行求解即可.【详解】设P点的坐标为，所以，因此，因为，所以，可得：，因为，所以可化简得：，故选：C变式8-2．已知圆：与圆：，若在椭圆上存在点P，使得过点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用相切得∠APO 45°，转化为，代入离心率公式求解即可.【详解】解：若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,设切点为A，由∠APO 45°即sin∠APO sin 45即则，故选：C.变式8-3．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点P的坐标，根据题意构造齐次方程，计算即可.【详解】设，则，∴，由，∴，化为，∴，整理得，∵，∴，解得，故选：B变式8-4．已知椭圆的左右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则该椭圆离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆定义及求出， 由即可求解．【详解】由椭圆的定义知：，因为，即，又因为，所以，所以有：，，故椭圆的离心率的取值范围是．故选：C