8.3.1双曲线（题型战法）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

这是一份8.3.1双曲线（题型战法）-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用），文件包含831双曲线题型战法-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练新高考专用解析版docx、831双曲线题型战法-备战高三数学一轮复习题型与战法精准训练新高考专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
第八章 平面解析几何
8.3.1双曲线（题型战法）
知识梳理
一 定义及标准方程
定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（小于） 的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。符号表示：
方程：（1）焦点在x轴上： （2）焦点在y轴上：
二 简单几何性质

焦点在x轴上
焦点在y轴上



图形



标准方程


焦点



顶点


轴长
实轴长2a 虚轴长2b
实轴长2a 虚轴长2b
离心率


渐近线



通径


a,b,c关系


题型战法
题型战法一 双曲线的定义及辨析
典例1．已知，，若点满足，则P点的轨迹为（    ）
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．一条射线
【答案】D
【分析】利用|PF1|-|PF2|=|F1F2|得到点P在段的延长线上，从而得到答案.
【详解】已知，，点满足，且，即|PF1|-|PF2|=|F1F2|，可知点在线段的延长线上，
故P的轨迹方程为一条射线．
故选：D．
变式1-1．设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PA|-|PB||=3，则P点的轨迹是（    ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以P点的轨迹是双曲线.
故选：C.
变式1-2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】由双曲线定义可直接构造方程求得结果.
【详解】由双曲线方程知：；
根据双曲线定义知：，解得：（舍）或.
故选：B.
变式1-3．如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（    ）

A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点为，连接，根据双曲线的对称性得到，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，
因为双曲线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得，
所以.
故选：C.

变式1-4．P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为　　
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】可得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，由已知可得当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，可得答案.
【详解】解：易得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，此时==6+3=9
【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大是解题的关键.

题型战法二 双曲线中的焦点三角形
典例2．设点在双曲线上，若､为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线方程求得焦距，然后由双曲线的定义和已知焦半径之比，求得，从而得三角形周长．
【详解】解：由题意知，由双曲线定义知，又，
的周长为：.
故选：A.
变式2-1．已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（    ）
A．28 B．36 C．44 D．48
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义求解即可.
【详解】如图所示：

∵双曲线的左焦点为，
∴点是双曲线的右焦点，又，∴虚轴长为2b＝8，∴．
∵①，②，
∴①+②得，
∴的周长．
故选：C
变式2-2．设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义可得，又，进而即得.
【详解】∵双曲线，
∴，又点P在双曲线C的右支上，，
所以，，即，
又，
∴面积为.
故选：B.
变式2-3．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ）
A．24 B． C． D．30
【答案】A
【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长，进而求得的面积
【详解】由，可得
又是是双曲线上的一点，则，
则，，又
则，则
则的面积等于
故选：A
变式2-4．已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C的右支上一点，且，则的面积为（    ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据双曲线的标准方程求出，再根据双曲线的定义求出，利用余弦定理求出，利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】∵在双曲线中，，
∴.
∵，
∴.
∴在中，，
∴，
∴的面积为.
故选：A.
【点睛】本题考查了双曲线的定义、求焦点三角形面积，属于基础题.

题型战法三 双曲线上的点到焦点与定点距离的和、差最值
典例3．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（    ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【分析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案
【详解】由，得，则，
所以左焦点为，右焦点，
则由双曲线的定义得，
因为点在双曲线的两支之间，
所以，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为9，
故选：A
变式3-1．已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（    ）
A．6 B．7 C． D．5
【答案】A
【分析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.
【详解】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以．
故选：A

变式3-2．已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（    ）．
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】求得双曲线的，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接，交双曲线于，圆于，计算可得所求最小值．
【详解】解：由题意双曲线的一条渐近线方程为，可得，则，
可得双曲线，
焦点为，，
由双曲线的定义可得，
由圆可得圆心，半径，
，
连接，交双曲线于，圆于，
可得取得最小值，且为，
则的最小值为．
故选：．

变式3-3．已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（    ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面几何性质得结论．
【详解】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为，
所以，
当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号.
故选：C．
变式3-4．已知平面上定点和，又点为双曲线右支上的动点，则的最大值为（    ）.
A．8 B．10 C．11 D．13
【答案】D
【分析】由题意可得点为双曲线的左焦点，设点为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得，然后求出的最大值即可.
【详解】

由题意可得点为双曲线的左焦点，设点为双曲线的右焦点，
由双曲线的定义可得，
所以，

由图可得，当三点共线时，
取得最大值，最大值为，
所以的最大值为13，
故选：D
【点睛】本题主要考查的是双曲线定义的应用，属于常考题型.

题型战法四 根据方程表示双曲线求参数的范围
典例4．若方程表示双曲线，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义可知与同号，从而可求出m的取值范围
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，解得，
故选：A
变式4-1．已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（    ）．
A． B． C． D．或5
【答案】C
【分析】根据题意可得，解之即可得解.
【详解】解：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
则，解得．
故选：C.
变式4-2．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．且
【答案】A
【分析】根据双曲线定义，且焦点在y轴上，则可直接列出相关不等式.
【详解】若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则必有：，且
解得：
故选：
变式4-3．若方程表示双曲线，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的标准方程形式，直接列出不等关系即可解得答案.
【详解】因为方程表示双曲线，
所以 ，解得 ，
即 ，
故选：B.
变式4-4．已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的标准方程的特点列式可解得结果.
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，即，
所以且，
故选：D.

题型战法五 双曲线的标准方程
典例5．已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，，的面积为8，则双曲线的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由得，然后由三角形面积、双曲线的定义、勾股定理联立可求得得双曲线方程．
【详解】，是的中点，所以，
，则，
，解得，
所以双曲线方程为．
故选：D．
变式5-1．已知双曲线的虚轴长为，离心率为，则其方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到，结合，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，双曲线的虚轴长为，离心率为，
可得，即，
因为，解得：.
所以曲线的方程为.
故选：C.
变式5-2．已知，分别是双曲线的左､右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得，，在中，根据大边对大角可知为最小角，进而根据余弦定理求得，再得到，即可得到答案.
【详解】设点为双曲线右支上一点，则，
因为，且，
所以，，
由题，因为，则，所以为最小角，故，
所以在中，由余弦定理可得，，解得，
所以，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B
变式5-3．已知是双曲线：的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于.两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别根据所给双曲线方程求出，，根据解出即可.
【详解】设，
代入双曲线方程可得，
所以，
不妨取一条渐近线，则到直线的距离，
因为，
所以，
解得,
所以双曲线的方程为，
故选：A
变式5-4．若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆的方程解出两点坐标，利用双曲线的图像和性质计算即可.
【详解】将代入解得点坐标分别为，
因为两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，
所以双曲线焦点在轴上且，解得，
所以双曲线方程为：.
故选：B.

题型战法六 双曲线的轨迹方程
典例6．设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设动点，根据已知条件，结合斜率公式，即可求解.
【详解】解：设动点，则，
则，，，
直线与直线的斜率之积为定值，
，化简可得，，
故点的轨迹方程为.
故选：C.
变式6-1．动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先设，半径为，根据动圆与圆，都外切得到，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可.
【详解】圆：，圆心，半径 .
圆：，圆心，半径 .
设，半径为，因为动圆与圆，都外切，
所以，
所以的轨迹为以为焦点，的双曲线左支.
所以，，解得，
即的轨迹方程为：.
故选：D
变式6-2．在中，已知，且，则的轨迹方程是（ 　 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】据正弦定理，将化为，判断出点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，根据数据求出其方程即可．
【详解】，由正弦定理得，即，由双曲线的定义可知：点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且，，.
顶点的轨迹方程为，故选B
【点睛】本题考查双曲线轨迹方程的求解，同时也考查三角形正弦定理边角互化思想的应用，属于基础题.
变式6-3．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为
A． B．
C．（） D．（）
【答案】B
【解析】如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案.
【详解】如图所示：连接，根据垂直平分线知，
故，故轨迹为双曲线，
，，，故，故轨迹方程为.
故选：.

【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.
变式6-4．已知点和圆： ，是圆上的动点，直线与线段的垂直平分线交于点，则点所满足的轨迹方程为　　（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件判断出点满足双曲线的定义，由此求得点的轨迹方程.
【详解】画出去向如下图所示，根据线段垂直平分线的性质可知,故，所以点满足双曲线的定义，即，故点的轨迹方程为，故选C.

【点睛】本小题主要考查双曲线的定义以及双曲线标准方程的求法，考查垂直平分线的几何性质，属于基础题.

题型战法七 双曲线的渐近线
典例7．已知O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，O，则双曲线C的渐近线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得，即可求得，从而写出渐近线方程.
【详解】由已知，点的坐标为，故，
因为以F为圆心的圆经过点A，O，
所以，则△为等边三角形，
所以，则，
所以双曲线C的渐近线方程为.
故选：
变式7-1．已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据离心率求出的值，再根据渐近线方程求解即可.
【详解】因为双曲线焦点在轴上，所以渐近线方程为：，
又因为双曲线离心率为，且，
所以，
解得，即渐近线方程为：.
故选：A.
变式7-2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于，若，则的渐近线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线与圆相切及三角形的性质，结合双曲线的定义可得，进而得解.
【详解】
如图所示，设与圆相切于点，过作，
故，，
又，则，
则，，
由双曲线定义得，
即，
故渐近线方程为，
故选：B.
变式7-3．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，代入点的坐标，求出的值，即可的解.
【详解】设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，
代入点，得，解得 ，
所以所求双曲线方程为，即
故选：C.
变式7-4．过点，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据有相同的渐近线可设所求双曲线方程为，
把点代入即可求解.
【详解】设所求双曲线方程为，则
.
故所求双曲线方程是，即.
故选:D.

题型战法八 双曲线的离心率
典例8．已知双曲线的一个焦点到的一条渐近线的距离为， 则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可求出，两边平方得结合，代入即可得出答案.
【详解】因为的一个焦点到的一条渐近线的距离为，
不妨取渐近线方程为，即，
所以，，
两边平方得.又，所以，
化简得，所以.
故选：C.
变式8-1．设双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为（    ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的定义和三角形的面积公式，列出方程组求得的值，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可知，
设，可得，
又因为，若的面积为，所以，且，
联立方程组，可得，所以双曲线的离心率为.
故选：D.
变式8-2．已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】设，，，根据直线的斜率，以及，可得，再根据，即可求出．
【详解】解：设，，，，
，
，
，
．
故选：D．
变式8-3．如图，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知结合双曲线定义可得，在中利用勾股定理即可求出.
【详解】由题可得，因为，所以，
则在中，，即，即.
故选：A.
变式8-4．已知双曲线，其左、右焦点分别为，．点到的一条渐近线的距离为1，若双曲线的焦点在轴上且与具有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】先写出 的渐近线方程，根据点到直线距离公式求出b，再根据两双曲线渐近线相同，
求出 实轴与虚轴的关系即可求出其离心率.
【详解】设双曲线的半焦距为，则右焦点，其一条渐近线为，
根据点到直线距离公式有：，由于 ，解得 ；
设，其半焦距为，其渐近线方程为： ，
由题意知，所以，即，所以的离心率
；
故选：A.

题型战法九 双曲线的离心率的取值范围
典例9．、分别为双曲线：的左、右焦点，存在过的一条直线与双曲线的左支分别交于、两点且满足，则该双曲线的离心率的取值范围为（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用双曲线定义及求出,,在中利用余弦定理即可求解.
【详解】如图，

由双曲线定义知，，,
又
两式相加可得，，
所以，
在中，，设，
由于，则，
由余弦定理得: ,
即，
，
，
即.
故选：B
变式9-1．已知为双曲线的左焦点，若双曲线右支上存在一点，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设切点为,由勾股定理可得，进而可得的斜率，又点在双曲线的右支上，所以，计算可求得结果.
【详解】直线与圆相切，设切点为,则,，所以，则直线的斜率，
又点在双曲线的右支上，所以，即，
所以，所以，即，
故选:B.

变式9-2．设分别是双曲线左、右焦点，是双曲线右支上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线定义结合条件，求得，是双曲线右支上一点，则其应满足，从而求得离心率取值范围.
【详解】由双曲线定义知，，又，故，
是双曲线右支上一点，则其应满足，即，
故离心率的取值范围是
故选：B
变式9-3．已知是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义求出，再根据以及离心率公式可求得结果.
【详解】因为，且，所以，
由得，即，
所以，又，所以.
故选：A.
变式9-4．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，，两点在双曲线的右支上，为中点，为轴上一点，且.若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合已知条件求得的取值范围，由此求得双曲线离心率的取值范围.
【详解】，
由于是中点，所以轴，
由解得，
不妨设，
为轴上一点，设，
由，且得
，
即，即，
，
所以双曲线的离心率.
故选：C