2020-2021学年第二十八章 锐角三角函数综合与测试同步测试题

第二十八章 锐角三角函数 综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．【2022·长春】如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C.设∠ABC＝α，下列关系式正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．sin α＝  B．sin α＝  C．sin α＝  D．sin α＝

 (第1题)　　　 (第2题)　　　 (第4题)

2．【2022·玉林】如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是(　　)

A．∠BAD  B．∠ACB  C．∠BAC  D．∠DAC

3．利用科学计算器计算cos 50°，按键顺序正确的是(　　)

A.      

B.    

C.    

D.    

4．【2021·宜昌】如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cos∠ABC的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

5．市防控办准备制作一批如图所示的核酸检测点指示牌，若指示牌的倾斜角为α，铅直高度为h，则指示牌的边AB的长等于(　　)

A．h sin α  B.   C．h cos α  D.

6．若锐角α满足cos α<且tan α<，则α的取值范围是(　　)

A．30°<α<45°  B．45°<α<60°

C．60°<α<90°  D．30°<α<60°

7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan B＝3，则BD等于(　　)

A．2  B．3  C．3  D．2

 (第7题)　   　 (第8题)   　　 (第9题)

8．【教材P77练习T2变式】雪上项目占据了2022年北京冬奥会的大部分比赛项目，有自由式滑雪、越野滑雪、跳台滑雪、无舵雪橇、有舵雪橇、高山滑雪等．如图，某滑雪运动员在坡度为5：12的雪道上下滑65 m，则该滑雪运动员沿竖直方向下降的高度为(　　)

A．13 m  B．25 m  C.m  D．156 m

9．【教材P85复习题T11变式】【2022·宜宾】如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3.将△BCD折叠到△BED的位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

10．【教材P77练习T1变式】如图，点A到点C的距离为100 m，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为(　　)

A．100 m  B．200 m    C. m  D．50 m

二、填空题(每题3分，共24分)

11．若sin θ＝，则锐角θ的度数是________．

12．【教材P84复习题T2改编】在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，cos A＝，则AC＝________．

13．如图，P(12，a)在反比例函数y＝的图象上，PH⊥x轴于点H，则cos∠POH的值为________．

 (第13题)　　　 (第14题)　　　 (第15题)

14．桔槔是我国古代井上汲水的工具．它是在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端A处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端B处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔槔的使用体现了我国古代劳动人民的智慧．如图是《天工开物·水利》中的桔槔图，若竹竿A，B两处的距离为10 m，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿AB与绳子的夹角为53°，则绑重物的B端与悬绑汲器的绳子之间的距离约是________m(忽略提水时竹竿产生的形变．参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)．

15．【2022·通辽】如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝________．

16．【教材P75例4改编】如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90 m，那么该建筑物的高度BC约为____________m(结果精确到1 m)．

 (第16题)　    　 (第17题)  　　 (第18题)

17．【2021·海南】如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0，)，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是____________．

18．【2022·凉山州】如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tan α的值为________．

三、解答题(19～22题每题10分，其余每题13分，共66分)

19．【教材P84复习题T3改编】计算：

(1)【2022·张家界】2cos 45°＋(π－3.14)0＋|1－|＋；

(2)sin2 45°－cos 60°－＋2sin2 60°·tan 60°.

20．【教材P84复习题T1变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a＝3b，求∠B的正弦值、余弦值和正切值．

21．【教材P81活动2变式】【2022·荆州】荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外，如图①②，某校学生测量其高AB(含底座)，先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°，再由点C向城徽走6.6 m到E处，测得顶端A的仰角为45°.已知B，E，C三点在同一直线上，测角仪离地面的高度CD＝EF＝1.5 m，求城徽的高AB(参考数据：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625)．

22．2021年3月1日，我国第一部流域保护法——《中华人民共和国长江保护法》正式实施．作为我国经济发展的重要引擎，长期以来，生态保护为发展让路一直是长江流域生态环境保护工作的痛点，长江保护法最大的特点就是将“生态优先、绿色发展”的国家战略写入法律．如图，已知渔政执法船某一时刻在长江流域巡航时，在A处观测到码头C位于渔政执法船的南偏东37°方向上，从A出发以30 km/h的速度向正南方向行驶，2 h到达B处，这时观测到码头C位于渔政执法船的北偏东45°方向上．若此时渔政执法船返回码头C，大约需要多长时间(结果精确到0.1 h，参考数据：≈1.41，sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈)?

23．【2022·玉林】如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F.

(1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．

24．【教材P85复习题T14拓展】【2022·张家界】阅读下列材料：

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：＝.

证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D，则：

在Rt△BCD中，CD＝a sin B；

在Rt△ACD中，CD＝b sin A，

∴a sin B＝b sin A.

∴＝

根据上面的材料解决下列问题：

(1)如图②，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：＝.

(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图③，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80 m，求这片区域的面积(结果保留根号，参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)．

答案

一、1.D　2.D　3.A　4.B　5.B　

6. B　点规律：对于锐角α ，cos α随着α的增大而减小，tan α随着α的增大而增大．

7．A　8.B　9.C　10.D

二、11.60°　12.5　13.　14.8　15.－1　

16．208　17.(4，)　

18.  

点思路：易知∠A＝α，∠B＝β，从而可得∠A＝∠B. 易证△AOC∽△BCD，从而列出比例式求出OC的长，最后根据正切的定义得解．

三、19.解：(1)原式＝2×＋1＋－1＋2＝＋1＋－1＋2＝2＋2；

(2)原式＝()2－－＋2×()2×＝－－＋2××＝－＝.

20．解：由2a＝3b，可得＝.

设a＝3k(k＞0)，则b＝2k，由勾股定理，得c＝＝＝k，

∴sin B＝＝＝，

cos B＝＝＝，

tan B＝＝＝.

21．解：如图，延长DF交AB于点G，则∠AGF＝90°，DF＝CE＝6.6 m，CD＝EF＝BG＝1.5 m.

设FG＝x m，∴DG＝FG＋DF＝(x＋6.6)m.

在Rt△AGF中，∠AFG＝45°，

∴AG＝FG·tan 45°＝x m.

在Rt△AGD中，∠ADG＝32°，

∴tan 32°＝＝≈0.625，

解得x≈11.

经检验，x≈11是原方程的根．

∴AB＝AG＋BG≈11＋1.5＝12.5(m)．

答：城徽的高AB约为12.5 m.

22．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.

由题意得AB＝30×2＝60(km)，∠A＝37°，∠B＝45°.

设BD＝x km.

在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∠BDC＝90°，

∴CD＝BD＝x km，BC＝x km.

在Rt△ACD中，∵∠A＝37°，∠ADC＝90°，

∴AD＝≈ km.

∵AD＋BD＝AB，

∴x＋x≈60，解得x≈.

∴BC≈×≈36.26(km)．

∴36.26÷30≈1.2(h)．

答：渔政执法船返回码头C，大约需要1.2 h.

23．(1)证明：如图，连接OD.

∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°.

∵AD平分∠CAB，

∴∠OAD＝∠EAD.

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠OAD.

∴∠ODA＝∠EAD.

∴OD∥AE.

∴∠ODF＝∠AEF＝90°.

又∵D在⊙O上，

∴EF是⊙O的切线．

(2)解：如图，连接BC，交OD于点H.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵AB＝10，AC＝6，

∴BC＝＝＝8.

∵∠E＝∠ACB＝90°，

∴BC∥EF.

∴∠OHB＝∠ODF＝90°.

∴OD⊥BC.

∴CH＝BC＝4.

∵CH＝BH，OA＝OB，

∴OH＝AC＝3.

∴DH＝OD－OH＝AB－OH＝5－3＝2.

∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，

∴四边形ECHD是矩形．

∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2.∴AE＝6＋2＝8.

∵∠DAB＝∠DAE，

∴tan∠DAB＝tan∠DAE＝＝＝.

24．(1)证明：如图①，过点A作AD⊥BC于点D.

在Rt△ABD中，AD＝csin B；

在Rt△ACD中，AD＝bsin C，

∴csin B＝bsin C.

∴＝.

(2)解：如图②，过点A作AE⊥BC于点E.

∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，

∴∠C＝60°.

在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 60°＝80×＝40(m)．

∵＝，

∴BC＝≈＝90(m)．

∴S△ABC＝BC·AE≈×90×40＝1 800(m2)．

∴这片区域的面积大约是1 800 m2.