数学必修 第二册6.4 平面向量的应用同步测试题

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6.4.3.3正余弦定理应用举例

本节课知识点目录：
1、 求角度；
2、 求距离。
3、 仰角与俯角
4、 求高度
5、综合
-----典例精讲




一、正余弦定理应用1：求角度
方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图所示)


【典型例题】
【例1】今年第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图，点，正北方向的市受到台风侵袭，一艘船从点出发前去实施救援，以的速度向正北航行，在处看到岛在船的北偏东方向，船航行后到达处，在处看到岛在船的北偏东方向.此船从点到市航行过程中距离岛的最近距离为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造三角形运用正弦定理求解三角形即可得出结果.
【详解】如图，中，，，，，

由正弦定理得，
所以船与岛的最近距离：
故选：C.
【例2】．“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际台作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cos∠DEF=_______.

【答案】
【分析】先利用勾股定理分别求得，进而利用余弦定理求得结果
【详解】如图，作∥交于，交于，则
,
,
，
在中，由余弦定理得
,
故答案为：


【例3】甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解　如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，

则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)，
B＝180°－60°＝120°，
由＝，得
sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°