24.3 正多边形和圆-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（人教版）

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24.3正多边形和圆
课后培优练

培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（        ）

A．72° B．60° C．48° D．36°
【答案】A
【详解】
解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为，
故选：A．
2．如图，正六边形内接于⊙，正六边形的周长是12，则⊙的半径是（        ）

A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】
解：连接OB，OC，

∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC=2，
∴⊙O的半径是2，
故选：B．
3．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（        ）

A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【详解】
如图，过A作AC⊥OB于C，

∵圆的内接正十二边形的圆心角为=30°，
∵OA=1，
∴AC=OA=，
∴S△OAB=×1×=，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×=3，
故选：B．
4．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（　 　）

A．30° B．36° C．45° D．72°
【答案】B
【详解】
解：如图，连接OC，OD．

∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B
5．先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：由于圆内接正方形的边长与圆的半径的比为，内接正方形的内切圆的半径与正方形的边长的比为，
即这样做一次后，圆的内接正方形的边长为×=1；
做第二次后的正方形的边长为；
依次类推可得：第n个正方形的边长是（）n-1，
则做第7次后的圆的内接正方形的边长为．
故选：A．
6．正六边形的半径为，则该正六边形的边长是（    ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【详解】
解：如图，∵这个多边形为正六边形，
∴这个多边形的一个内角的度数为，
∴∠OAB=60°，
∴∠AOG=30°，
在中，，
∴，
∴
故选A．

二、填空题
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是______________       

【答案】30°．
【详解】
在正六边形ABCDEF中，∠BCD=120°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=（180°-120°）=30°，
故答案为 30°．
8．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为_________．

【答案】十二
【详解】
解：如图，连接，，

，
，
而，
这个正多边形为正十二边形，
故答案为：十二．
9．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为_____°．

【答案】132
【详解】
由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，
∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°，
故答案为：132．
10．如图，是⊙O的弦，，交⊙O于点．连接，，．若是⊙O的内接正六边形的一边，则的度数为__________．

【答案】
【详解】
解：∵AB是⊙O的内接正六边形的一边，
∴，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠ABC=∠AOC=15°，
故答案为：15°．
三、解答题
11．如图，已知圆O内接正六边形的边长为，求这个正六边形的边心距n，面积S．

【答案】，
【详解】
解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：

∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴，
∴，
∴．
12．如图，是的内接正五边形．求证：.

【答案】证明见解析
【详解】
证明：∵是正五边形，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
13．已知正六边形内接于，图中阴影部分的面积为，则的半径为多少？

【答案】半径
【详解】
解：连接DO并延长，交BF于点G．

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴阴影部分为正三角形，
设边长是a，则FG=a，DG=a，
则面积是a×a=，即=，
解得a=4，
则DG=BD•sin60°=4×=6
∴半径OD=DG=6×=4．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：如图1，

∵ 为圆内接正三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
如图2，

∵四边形 是圆内接正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
如图3，

∵正六边形为圆内接正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 该三角形的三边长分别为 ，
∵ ，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积为
故选：C
2．图，已知正五边形内接于，连接，相交于点，则的度数（        ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：如图所示：

∵五边形ABCDE为正五边形，
∴BC=CD=DE，∠BCD=∠CDE=108°，
∴∠CBD=∠CDB=∠CED=∠DCE==36°，
∴∠BFC=∠BDC+∠DCE=72°．
故选：B．
3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（        ）

A．8 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【详解】
解：连接OA、OD、OF，如图，

∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=30°，
∴n==12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．
4．如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边AB作正方形ABCD，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转，使AB与正八边形的另一边重合，则正方形ABCD与正方形重叠部分的面积为（        ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
正八边形的内角，正方形绕点B顺时针旋转，使BC与正八边形的另一边重合，
．
．
如解图，延长至点D，DC与相交于点E，
．
．

∴正方形与正方形重叠部分的面积
故选：A．
5．如图，正六边形ABCDEF内接于，过点O作弦BC于点M，若的半径为4，则弦心距OM的长为（　　　）

A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】
解：如图，连接OB、OC．

∵ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，OB=OC=4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=4，
∵OM⊥BC，
∴BM=CM=2，
在Rt△OBM中，，
故选：A．
6．如图，是上的5等分点，连接，得到一个五角星图形和五边形．有下列3个结论：①，②，③．其中正确的结论是（        ）

A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【详解】
解：、、、、是上的5等分点，
，
，故①正确；
、、、、是上的5等分点，
的度数，
，
，
；
连接

、、、、是上的5等分点，
，
，
，
，故②正确；
连接，，
则，
，
，
，
，
，③错误．
故选：B．
二、填空题
7．如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，则它的外接圆圆心的坐标是______．

【答案】
【详解】
解：如图所示，连接PO，PA，过点P作PG⊥OA于点G，则，
∵多边形为正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
又∵PG⊥OA，
∴PG平分，
∴，
又∵OA=6，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴的坐标是，
故答案为：

8．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为．如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则___________．

【答案】
【详解】
解：如图，由题意，△8-△12=（S圆-S八边形）-（S圆-S十二边形）
=S十二边形-S八边形
=12××1×1×sin30°-8××1×1×sin45°
=3-2．
故答案为：3-2．

9．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为__．

【答案】九
【详解】
如图，设正多边形的外接圆为，连接，，

，
，
而，
这个正多边形为正九边形，
故答案为：九．
10．如图，作半径为a的⊙O的内接正方形ABCD，然后作正方形ABCD的内切圆，得第二个圆，再作第二个圆的内接正方形A1B1C1D1，又作正方形A1B1C1D1的内切圆，得第三个圆…，如此下去，则第n个圆的半径为_______．

【答案】
【详解】
第一个圆的半径为：，即；
第二个圆的半径为：，
第三个圆的半径为：，

第个圆的半径为： ，
故答案为：．
三、解答题
11．已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．
（1）求∠A、∠B的度数；
（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．

【答案】（1）60°、90°；（2）
【详解】
解：（1）设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，
解得，x＝30°，
∴∠A、∠B分别为60°、90°；
（2）连接AC，

∵∠B＝90°，
∴AC为圆的直径，AC＝＝5，△ABC的面积＝×3×4＝6，∠D＝90°，
∵点D为的中点，
∴AD＝CD＝AC＝，
∴△ADC的面积＝，
∴四边形ABCD的面积＝6+＝．
12．如图所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB．求证：五边形AEBCD是正五边形．

【答案】见解析
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°.
又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°，
即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE，
∴ ，
∴A，E，B，C，D是⊙O的五等分点，
∴五边形AEBCD是正五边形．
13．如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH＝120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．

（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM＝∠BMH．
（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．
【答案】（1）见解析；（2）猜想：FM＝MH．证明见解析．
【详解】
（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴每个内角均为120°．
∵∠FMH＝120°，A、M、B在一条直线上，
∴∠AFM+∠FMA＝∠FMA+∠BMH＝60°，
∴∠AFM＝∠BMH．
（2）解：猜想：FM＝MH．
证明：①当点M与点A重合时，∠FMB＝120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM＝MH．
②当点M与点A不重合时，
如图，在AF上截取FP＝MB，连接PM．
∵AF＝AB，FP＝MB，
∴PA＝AM
∵∠A＝120°，
∴∠APM＝×（180°﹣120°）＝30°，
有∠FPM＝150°，
∵BQ平分∠CBN，
∴∠MBQ＝120°+30°＝150°，
∴∠FPM＝∠MBH，
由（1）知∠PFM＝∠HMB，
∴△FPM≌△MBH．
∴FM＝MH．

培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（        ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：连接OC、OD、OE，如图所示：

∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
2．（2022·四川雅安·中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（　 　）

A．3 B． C． D．3
【答案】C
【详解】
∵圆O的周长为，设圆的半径为R，
∴
∴R=3
连接OC和OD，则OC=OD=3
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=，
∴△OCD是等边三角形，OG垂直平分CD，
∴OC=OD=CD，
∴
故选 C

3．（2022·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（        ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝＝，
∴A（1，），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），
故选：B
4．（2022·甘肃武威·中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（     ）

A．2mm B． C． D．4mm
【答案】D
【详解】
连接CF与AD交于点O，
∵为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，
故选：D．

5．（2022·四川成都·中考真题）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（       ）

A． B． C．3 D．
【答案】C
【详解】
解：连接OB，OC，

∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
6．（2021·贵州安顺·中考真题）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（        ）


A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，
故选：A．
二、填空题
7．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，在正六边形中，连接，则____________度．

【答案】30
【详解】

连接BE，交CF与点O，连接OA，
在正六边形中，
，



，
故答案为：30．
8．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．

【答案】12
【详解】
连接AO，如图，

∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
9．（2022·浙江丽水·中考真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是___________．

【答案】
【详解】
解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，

三个正六边形，O为原点，





同理：

三点共线，
关于O对称，

故答案为：
10．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．

【答案】
【详解】
解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，
由正六边形是轴对称图形可得：
由正六边形是中心对称图形可得：
∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，
由正六边形的性质可得：为等边三角形， 而


则


故答案为：

【点睛】
三、解答题
11．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．

(1)求的度数．
(2)是正三角形吗？请说明理由．
(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【答案】(1)；(2)是正三角形，理由见解析；(3)
【解析】
(1)解：∵正五边形．
∴，
∴，
∵，
∴(优弧所对圆心角)，
∴；
(2)解：是正三角形，理由如下：
连接，

由作图知：,
∵，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴是正三角形；
(3)∵是正三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
12．（2020·四川雅安·中考真题）如图，四边形内接于圆，，对角线平分．
（1）求证：是等边三角形；
（2）过点作交的延长线于点，若，求的面积．

【答案】（1）见解析；（2）；
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形；

（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD=90°
∵∠ADC=120°，
∴∠ADM=60°，
∴∠DAM=30°，
∴DM=AD=1，AM=，
∵CD=3，
∴CM=CD+DE=1+3=4，
∴S△ACD=CD-AM=×3×=，
在Rt△AMC中，∠AMD=90°，
∴AC=，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=，
∴BN=，
∴S△ABC=××=，
∴四边形ABCD的面积=+=，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC=180°，
∵∠ADC=120°，
∴∠E=60°，
∴∠E=BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB=∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.
13．（2020·山东威海·中考真题）如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，，过点作，交于点

求证：（1）；
（2）为⊙O的切线．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】
证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAM＝∠EBC，
∵AE平分∠BAM，
∴∠BAE＝∠EAM，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠EAM，
∴∠BCE＝∠EBC，
∴BE＝CE；
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，

∵OB＝OC，EB＝EC，
∴直线EO垂直平分BC，
∴EO⊥BC，
∵EF//BC，
∴EO⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线．