专题24.4 垂直于弦的直径-垂径定理（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题24.4 垂直于弦的直径-垂径定理（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题24.4 圆的对称性-垂径定理（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=16，OE=6，则⊙O的直径为（　　）

A．8 B．10 C．16 D．20
2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（　　）

A．3 B．6 C．6 D．6
3．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（       ）

A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．
5．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ）

A．若平分，则 B．若，则平分
C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分
6．如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
7．下列命题中假命题是（       ）
A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心
C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦
8．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，则下列结论正确的是（       ）

A． B．
C．垂直平分 D．垂直平分
9．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的倍，C为中点，AB、OC交于点P，则四边形OACB是（     ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
11．如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则以、、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（       ）

A． B． C． D．
12．我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? "意思是： 如图，CD是⊙O的直径， 弦 AB⊥CD于P，CP=1寸，AB=10寸，则直径CD的长是   （       ）寸

A．20 B．23 C．26 D．30
二、填空题
13．圆的半径为，圆心到弦的距离为，则_______．
14．如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝_______．

15．如图，的半径为4，，是的弦，且，，，则和之间的距离为______．

16．某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与的距离为4米，且弧所在圆的半径为10米，则路面的宽度为_____米．

17．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，AD=cm，则AB=________cm．

18．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．

19．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是_________．

20．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．

21．在进行垂径定理的证明教学中，老师设计了如下活动：先让同学们在圆中作了一条直径MN，然后任意作了一条弦（非直径）．如图1，接下来老师提出问题：在保证弦AB长度不变的情况下，如何能找到它的中点？在同学们思考作图验证后，小华说了自己的一种想法：只要将弦AB与直径MN保持垂直关系，如图2，它们的交点就是弦AB的中点，请你说出小华此想法的依据是__．

22．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．

23．如图，某小区的一个圆形管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是______cm．

24．已知的半径为2，弦，是上一点，且，直线与交于点，则的长为________．
三、解答题
25．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．
(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；
(2)连接AD，求三角形OAD的面积．






26．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（寸），锯道长1尺（1尺=10寸）．问这块圆形木材的直径（）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．







27．已知：如图，在中，为互相垂直的两条弦，，D、E为垂足．
(1)若，求证：四边形为正方形．
(2)若，判断与的大小关系，并证明你的结论．










28．如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，求OF的长．
































参考答案
1．D
【分析】
连接OC，由垂径定理可知，点E为CD的中点，且OE⊥CD，在Rt△OEC中，根据勾股定理，即可得出OC，从而得出直径．
解：
连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
∴CE=CD=8，
∵OE=6．
在Rt△OEC中，由勾股定理得：
OC2=OE2+EC2，即OC2=62+82
解得：OC=10
∴直径AB=2OC=20．
故选D．
【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理．熟练掌握定理是解答关键.
2．C
【分析】
连接OC，求出∠COB=45°，根据垂径定理求出CD=2CE，根据勾股定理求出CE即可．
解：连接OC，

则OC=AB=×12=6，
∵OA=OC，∠CAB=22.5°，
∴∠CAB=∠ACO=22.5°，
∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，
∵AB⊥CD，AB为直径，
∴CD=2CE，∠CEO=90°，
∴∠OCE=∠COB=45°，
∴OE=CE，
∵CE2+OE2=OC2，
∴2CE2=62，
解得：CE=3，
即CD=2CE=6，
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，垂径定理等知识点，能求出CE=OE是解此题的关键．
3．B
【分析】
连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可．
解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，

∵AB⊥CD，
∴AM=BM=AB=8，
在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，
∴MD=CD-CM=20-16=4．
故选：B．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
4．B
【分析】
根据垂径定理即可判断．
解：是的直径，弦于点，
，， ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
5．C
【分析】
根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断．
解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；
B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意；
D、若也是直径，则原说法不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键．
6．C
【分析】
根据垂径定理判断即可；
解：∵直径垂直于弦于点，则由垂径定理可得，，，，故选项A，B，D正确；无法得出，故C错误．
故选C．
【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
7．A
【分析】
根据垂径定理及其推论分别进行判断．
解：A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．
故选：A．
【点拨】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质．
8．D
【分析】
由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．
解：连接OA，

条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意；
∵OC⊥AB于点E，
∴OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意；
选项C不符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
9．C
【分析】
根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得的长
解：点C是AB的中点，
⊙O的半径为5，弦AB＝8，

在中

故选C
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
10．C
【分析】
根据弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，判定出四边形OACB是平行四边形，再由，即可判定四边形OACB是菱形.
解：∵弦AB的长是半径OA的倍，C为的中点，OC为半径，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形OACB是平行四边形，
又∵，
∴四边形OACB是菱形.
【点拨】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定，以及垂径定理的推论，读懂题意是解题的关键．
11．A
【分析】
根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
解：如图，作弦、的垂直平分线，
∵点、、的坐标分别为，，，
所以弦，弦，
∴弦的垂直平分线与轴相交于点，弦的垂直平分线与轴相交于点，
∴两条垂直平分线的交点即为三角形外接圆的圆心，且点的坐标是．
故选：．

【点拨】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心，熟知垂径定理是解题的关键．
12．C
【分析】
连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DP垂直AB得到点P为AB的中点，由AB=6可求出AP的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OP，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．
解：连接OA，

∵AB⊥CD，且AB=10寸，
∴AP=BP=5寸，
设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x，
∵CP=1，
∴OP=x-1，
在直角三角形AOP中，根据勾股定理得：
x2-（x-1）2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25，
即2x=26，
∴CD=26（寸）．
故选：C．
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
13．
【分析】
根据题意，画出图形，利用垂径定理，可得 ，然后利用勾股定理求出，即可求解．
解：根据题意画出如下图形，半径 ， ，则 ，

∵半径 ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本意主要考查了垂径定理，勾股定理，利用垂径定理，得到是解题的关键．
14．16
【分析】
连接，由垂径定理可得，在中利用勾股定理即可求得的长，进而求得．
解：连接，

∵OE⊥AB于E，
∴，
在中，，OE＝6，
∴，
∴，
故答案为：
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
15．
【分析】
作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，根据平行线的性质等到，再利用垂径定理得到，再由勾股定理解得OE，OF的长，继而分类讨论解题即可．
解：作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，如图，




在中，


在中，


当圆心O在AB与CD之间时，

当圆心O不在AB与CD之间时，

即AB和CD之间的距离为，
故答案为：．
【点拨】本题考查勾股定理、垂径定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．16
【分析】
先根据勾股定理CF=米，根据垂径定理求出DF=CF=8米，然后根据四边形ABCD为矩形，得出AB=DC=16米即可．
解：∵EF=4米，OC=OE=10米，
∴OF=OE-EF=6米，
在Rt△OEC中，CF=米，
∵OF⊥DC，DC为弦，
∴DF=CF=8米，
∴DC=2×8=16米，
∴四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC=16米，
故答案为：16．
【点拨】本题考查勾股定理，垂径定理，矩形性质，掌握勾股定理，垂径定理，矩形性质是解题关键．
17．
【分析】
根据∠D=30°，直角三角形中30°角对应的直角边等于斜边的一半计算出AH，再根据垂直于弦的直径平分弦得到AB=2AH计算出AB．
解：在中，∠D=30°
∴
∴cm
∵弦AB⊥CD
∴cm
故答案为：
【点拨】本题考查直角三角形和圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
18．
【分析】
先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．
解：由题意得：，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
19．（3，1）
【分析】
根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点D即为圆心，且坐标是（3，1）．
故答案为：（3，1）．

【点拨】此题考查了垂径定理的推论，能够准确确定一个圆的圆心．
20．．
【分析】
直接利用垂径定理推论得出圆心位置，进而利用点坐标得出原点位置即可得出答案．
解：如图示，∵点A的坐标为（0，3），
据此建立平面直角坐标系如下图所示，

连接，，作，的中垂线，交点是点
则，该圆弧所在圆的圆心坐标是：．
故答案是：．
【点拨】本题主要考查了垂径定理以及坐标与图形的性质，正确得出圆心位置是解题关键．
21．等腰三角形三线合一的性质
【分析】
连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，依据等腰三角形的性质判断．
解：连接OA、OB，则△OAB是等腰三角形，当MN⊥AB时，一定有MB过AB的中点，依据三线合一的性质可得．

故答案是：等腰三角形三线合一的性质．
【点拨】本题考查了垂径定理，正确转化为等腰三角形的性质解决问题是关键．
22．48
【分析】
根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案：
解：∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OC．
∵∠A=42°，
∴∠ACO=∠A=42°．
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC．
∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．
故答案为：48．
23．100
【分析】
由垂径定理和勾股定理计算即可．
解：如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与BD垂直相交于点C．
设AO=OB=r
则OC=r-20，BC=
有

化简得r=50
故新管道直径为100cm．

故答案为：100．
【点拨】本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题．
24．1或3
【分析】
根据垂径定理建立直角三角形，再运用勾股定理求得，进而分两种情况讨论即可．
解：如图，连接，
，由垂径定理可知，，，
则在中，，
或，
故答案为：1或3．

【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理计算圆周上点到弦得距离，熟练掌握基本定理，准确分类讨论是解题关键．
25．(1)见分析(2)10
【分析】
（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；
（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．
(1)解：如图，点E即为所求；

(2)解：如图，连接AD，

∵⊙O的直径是10，
∴OD=5，
由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了垂径定理、三角形的面积公式，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
26．这块圆形木材的直径（）是26寸
【分析】
设的半径为x寸，根据题意可得，在中，，，勾股定理求解即可．
解：设的半径为x寸，
∵，寸，
∴寸，
在中，，，
由勾股定理得，
解得.
∴的直径（寸）.
答：这块圆形木材的直径（）是26寸.
【点拨】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．
27．(1)见分析(2)OD＜OE
【分析】
（1）先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥AC得到AD＝AB，AE＝AC，且∠ADO＝∠AEO＝90°，加上∠DAE＝90°，则可判断四边形ADOE是矩形，由于AB＝AC，所以AD＝AE，于是可判断四边形ADOE是正方形；
（2）由（1）得四边形ADOE是矩形，可得OE＝AD＝AB，OD＝AE＝AC，又AB＞AC，即可得出OE和OD的大小关系．
(1)证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴四边形ADOE为矩形，
且OD平分AB，OE平分AC，
∴BD＝AD＝AB，AE＝EC＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∴四边形ADOE为正方形．
(2)解：OD＜OE，
理由如下：由（1）得四边形ADOE是矩形，
∴OE＝AD，OD＝AE，
∵AD＝AB，AE＝AC，
∴OE ＝AB，OD＝AC，
又∵AB＞AC，
∴OD＜OE．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、也考查了正方形的判定．
28．1.4
【分析】
根据垂径定理得到，，根据勾股定理求出AE．设，再次根据勾股定理得到等式，代入求值即可解答．
解：连接OC，

∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
设，
∵在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，即．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．