专题24.10 圆周角（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题24.10 圆周角（知识讲解）

【学习目标】

1.了解并圆周角的概念，识别圆周角；

2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；

【要点梳理】

【知识点一】定义：顶点在圆上,角的两边都与圆相交的角。(两条件缺一不可)；

【知识点二】圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。

【知识点三】圆周角定理推论：

推论1：在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等；

推论2：直径(半圆)所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦为直径。

【知识点四】常见的辅助线作法：

① 常见辅助线：有直径可构成直角，有90度圆周角可构成直径；

② 找圆心的方法:作两个90度圆周角所对两弦交点)。

【知识点五】圆内接四边形性质：

1、圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补。(任意一个外角等于它的内对角)

【知识点六】补充知识点：

补充1：两条平行弦所夹的弧相等；

补充2：圆的两条弦1在圆外相交时,所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半；（2)在圆内相交时,所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半；

补充3：同弧所对的(在弧的同侧)圆内部角最大其次是圆周角,最小的是圆外角。

【典型例题】

类型一、圆周角概念

1．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？

【答案】特征见分析，(c)图中∠3、∠4、∠BAD是圆周角

解：(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；

(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；

(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．

(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；

(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.

【点拨】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键．

举一反三：

【变式】判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：

【答案】图（3）是圆周角．图（1）（2）的顶点没有在圆上，图（4）（5）中角的两边没有都与圆相交，都不是圆周角．

【分析】根据圆周角的定义对各图进行判断即可．

解：图（3）顶点在圆上，并且两边都与圆相交，是圆周角．图（1）（2）的顶点没有在圆上，图（4）（5）中角的两边没有都与圆相交，都不是圆周角．

【点拨】本题考查了圆周角定义，解题关键是明确顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

类型二、利用圆周角定理求值或证明

2．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：

(1)      AC＝BD；  (2)  △ABE∽△DCE．

【分析】

（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可；

（2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似．

解：(1)∵＝

∴＝

∴

∴BD=AC

(2)∵∠B=∠C；∠AEB=∠DEC

∴△ABE∽△DCE

【点拨】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键．

举一反三：

【变式1】如图，在菱形ABCD中，，P为AC，BD的交点，经过A，B，P三点．

(1)  求证：AB为的直径．

(2)  请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹）．

【分析】

（1）根据菱形的性质可得∠APB=90°，再由90°角所对的弦为圆的直径，即可求证；

（2）延长DA交于点Q，连接PQ，则PQ即为所求，理由：连接BQ，根据AB为的直径，可得∠AQB=90°，从而得到∠BDQ+∠PBQ=90°，再由菱形的性质可得∠ABP+∠PBQ=90°，再由圆周角定理，即可求解．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，即∠APB=90°，

∵经过A，B，P三点．

∴AB为的直径；

(2)解：如图，延长DA交于点Q，即为所求，

理由：连接BQ，

∵AB为的直径，

∴∠AQB=90°，

∴∠BDQ+∠PBQ=90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AB=AD，

∴∠APB=90°，∠BDQ=∠ABP，

∴∠ABP+∠PBQ=90°，

∵∠ABP+∠BAP=90°，   

∴∠BAP=∠PBQ，

∵∠BAP=∠BQP，

∴∠PBQ =∠BQP，

∴BP=PQ．

【点拨】本题主要考查了圆周角定理，菱形的性质，熟练掌握圆周角定理，菱形的性质是解题的关键．

【变式2】如图，在中，，以AC为直径作⊙O分别交AB、BC于点D、E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接AF．

(1)  求证：；

(2)  若，求AF的长．

【答案】(1)见分析 (2)

【分析】

（1）根据，，根据等边对等角即可得证；

（2）证明四边形是平行四边形，连接，根据直径所对的圆周角是直角，根据等腰三角形的性质可得，根据平行四边形的性质即可求得的长．

解：(1)，

，

，

，

，

(2) ，

，

，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

连接，

是直径，

，

，

，

，

．

【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使，连接BD，ED．

(1)求证：；

(2)若，，⊙O的直径长为          ．

【答案】(1) 见分析 (2) 10

【分析】

（1）根据同弧所对的弦相等可得AD=CD，再由圆内接四边形的性质得到∠A=∠DCE，证明△ABD≌△CED，根据全等三角形的性质，即可证明结论；

（2）连接OA，OD，根据圆周角定理，可得∠AOD=60°，根据等边三角形的判定定理可得△AOD是等边三角形，故半径为5，即可求得直径．

(1)证明：∵D是弧AC的中点，

∴，

∴AD=CD，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A=∠DCE，

在△ABD和△CED中，

，

∴△ABD≌△CED（SAS），

∴BD=ED．

(2)解：连接OA，OD，如图，

∵D是弧AC的中点，

∴，

∴∠ABD=∠CBD=，

∴∠AOD=2∠ABD=2×30°=60°，

∵OA=OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴半径OA= AD=5，

∴直径长=10．

故答案为：10．

【点拨】本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、同弧所对的弦相等、圆周角定理、等边三角形的判定与性质．

举一反三：

【变式1】如图， A，是半圆上的两点，是的直径，，是的中点．

(1)  在上求作一点，使得最短；

(2)  若，求的最小值．

【答案】(1) 作图见分析  (2)

【分析】

（1）作出B关于CD的对称点，连接，交CD于P点，P就是所求的点；

（2）延长AO交圆与E，连接，可以根据圆周角定理求得的度数，根据等腰三角形的性质求得∠A的度数，然后在直角中，解直角三角形即可求解．

(1)解： 作，交圆于，然后连接，交CD于P点，P就是所求的点；

此时：

(2) : 延长AO交圆于E，连接．

∵，

∴，

∵∠AOD=80°，B是的中点，

∴．

∴，

又∵，

∴．

∵AE是圆的直径，

∴， 而

∴直角中，，

∴

【点拨】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，以及圆周角的性质定理，正确求得的度数是关键．

【变式2】如图，点A，B分别在∠DPE两边上，且，点C在∠DPE平分线上．

(1)连接AC，BC，求证：；

(2)连接AB交PC于点O，若，，求PO的长；

(3)若，且点O是的外心，请直接写出四边形PACB的形状．

【答案】(1)证明见分析(2)(3)正方形，理由见分析

【分析】

（1）证明△PAC≌△PBC即可得到结论；

（2）根据已知条件得到∠APC=∠BPC=30°，OP⊥AB于O，求得AO=3，再利用勾股定理即可得到结论；

（3）先证明在以O为圆心，OP为半径的圆上，再证明∠APB=∠PBC=∠BCA=∠CAP=90°， 可得四边形为矩形，再证明 根据正方形的判定定理即可得到结论．

(1) 证明：∵点C在∠DPE平分线上，

∴ ，

又∵PA=PB，PC=PC，

∴△PAC≌△PBC（SAS）；

(2)解：∵

∴∠APC=∠BPC=30°，OP⊥AB于O；

∵PA=6，

∴AO=3，

(3)解：如图，

∵点O是△PAB的外心，

∴OA=OB=OP，而OP=OC，

在以O为圆心，OP为半径的圆上，

为圆的直径，

∴∠APB=∠PBC=∠BCA=∠CAP=90°，

∴四边形为矩形，

平分

∴四边形为正方形．

【点拨】本题考查了圆的综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，圆的确定，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．

类型三、 同弧或等弧所对的圆周角相等

4．已知：如图，中，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，若．求证：．

【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，可得，根据弦与圆周角的关系可得，进而证明，可得，根据已知条件，等量代换即可得证．

解：连接，如图，

AB为直径的⊙O，

，

，

，

，

，

又，

，

，

，

．

【点拨】本题考查了弦与圆周角的关系，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．

举一反三：

【变式1】如图，AB为的直径，，于D，交BE于F，连接CB．求证：．

【分析】连接AE，根据同圆等弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据垂直的定义得到，从而可以推出得到．

解：证明：连接AE，

∵，

∴，

∵AB为直径，

∴，

∴，

∵于D，

∴，

∴，

∴，

∴

∴．

【点拨】本题主要考查了同圆中等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，垂直的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．

【变式2】如图，△ABC内接于⊙O，设∠B＝α，请用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）．

(1)  在图①中画一个度数是2α的圆心角；

(2)  在图②中作出∠C的余角．

【分析】

（1）根据同弧所对的圆心角等于其所对的圆周角的2倍，分别连接OC、OA，可得∠COA＝2α；

（2）连接OA，延长OA交圆于P连接PC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠PCA＝90°，可得∠PCB是∠ACB的余角．

解：(1)如图①，连接OA、OC，

∵∠ABC和∠AOC是所对的圆周角和圆心角，∠B＝α，

∴∠AOC=2∠ABC=2α．

∴∠AOC即为所求．

(2)如图②，连接OA，延长OA交圆于P，连接PC，

∵AP为直径，

∴∠ACP=90°，

∴∠ACB+∠PCB=90°，

∴∠PCB是∠ACB的余角，

∴∠PCB即为所求．

【点拨】本题主要考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角；熟练掌握圆周角定理是解题关键．

类型四、半圆或直径所对的圆周角等于90度

5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，点C是弧AB的三等分点，AD=6，BD=8．求BC的长．

【答案】5

【分析】先利用直径所对的圆周角是直角，求得∠ADB和∠ACB的度数，结合已知条件利用勾股定理求得直径AB的长，再根据点C是弧AB的三等分点得到∠BOC的度数，进而利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．

解：∵AB是直径

∴∠ADB=∠ACB=90°

∴AB=

∵点C是弧AB的三等分点

∴∠BOC= =60°

∴∠BAC=30°

∴BC=AB=5

【点拨】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，正确识图是解题的关键．

举一反三：

【变式1】请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留画图痕迹，不写作法）

已知四边形ABCD内接于，且已知．

(1)  在图1中已知，在上求作一个度数为30°的圆周角；

(2)  在图2中，已知，在上求作一个度数为30°的圆周角．

【分析】

（1）连接BD，利用圆周角定理结合圆内接四边形的性质可得 结合得出答案；

（2）如图，作直径AE，连接AC，利用圆周角定理得出进而得出答案．

(1)解：如图1，（或）即为所求作的角，

(2)解：如图2，，

【点拨】本题主要考查了复杂作图以及圆周角定理的应用，正确应用圆周角定理是解题关键．

【变式2】 如图，四边形ABCD内接于，连接AC、BD，BD是的直径，且，．求证：．

【分析】要证，只要证，可先证△ABC是等边三角形，求得，，即可．

解：∵，BD是的直径，

∴，，

∵，

∴△ABC是等边三角形，

∴，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了圆周角定理的推论及等边三角形的判定，直径所对的圆周角等于90°，通过计算角的度数证线段相等是解决问题的关键．

类型五、90度的圆周角所对的弦为直径，所对的弧为半圆

6．已知P是上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接AP、BP．若．

（1）如图1，当，，时，求的半径；

（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积

（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）；见分析

【分析】

（1）连接AB，由已知得到∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°，根据圆周角定理证得AB是⊙O的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；

（2）证明是等腰直角三角形，得出，根据可得结论；

（3）连接OA、OB、OQ，由∠APQ=∠BPQ证得，即可证得OQ⊥AB，然后根据三角形内角和定理证得∠NOQ=90°，即NO⊥OQ，即可证得AB∥ON．

解：（1）连接AB，如图1，

∵，

∴，

∴AB是的直径，

∴，

∴的半径为；

（2）连接AQ，BQ，如图2，

∵

∴

∵

∴

∴是等腰直角三角形

∵，

∴

∴

（3），理由如下：连接OQ，如图3，

∵，

∴，

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴

∴

【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．

举一反三：

【变式1】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．

（1）求证：DE＝DB；

（2）若∠BAC＝90°，BD＝5，求△ABC外接圆的半径．

【答案】（1）见分析；（2）△ABC外接圆的半径：r

【分析】

（1）结合角平分线的定义，首先证明D为弧BC的中点，从而证得∠DBC＝∠BAE，再利用等角对等边证明即可；

（2）在（1）的基础上，连接CD，利用等弧所对的弦相等，从而得到等腰直角三角形，进而求解即可．

解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，

∴，

∴∠DBC＝∠CAD，

∴∠DBC＝∠BAE，

∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，

∴∠DBE＝∠DEB，

∴DE＝DB；

（2）解：连接CD，如图所示：

由（1）得：，

∴CD＝BD＝5，

∵∠BAC＝90°，

∴BC是直径，

∴∠BDC＝90°，

∴BC5，

∴△ABC外接圆的半径：r．

【点拨】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．

【变式2】仅用无刻度直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹）

（1）在图1中，锐角△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D. 请画出△ABC的角平分线AM；

（2）在图2中，点C在半圆内，请作出△ABC中AB边上的高．

【答案】（1）见分析； （2）见分析．

【分析】

（1）根据垂径定理延长OD交半圆于点E，弧BE与弧CE相等，则他们所对的圆周角相等，即可求得；

（2）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90°，画图即可．

解：（1）延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点M，AM即为所求；

（2）延长AC、BC分别交半圆于点E、D，连接BE、AD并延长交于点P，连接PC并延长交AB于点F，则线段CF即为所求的高：

【点拨】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．