专题24.6 垂直于弦的直径-垂径定理（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题24.6 垂直于弦的直径-垂径定理（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共43页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题24.6 垂直于弦的直径-垂径定理（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（     ）

A．3 B． C． D．
2．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（       ）
A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm
3．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．
4．如图，在中，点在弦上移动，连接过点作交于点．若则的最大值是（   ）

A． B． C． D．
5．如图，一圆与y轴相交于点B（0，1），C两点，与x轴相切于点A（3，0），则点C的坐标是（       ）

A．（0，5） B．（0，） C．（0，9） D．（0，）
6．已知锐角，如图，
（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；
（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，；
（3）连接．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的个数为的（       ）

①；②若．则；③；④；⑤；
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
7．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙OO于点F，若AC=12，AE=3，则⊙O的直径长为（　　　）

A．10 B．13 C．15 D．16
8．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA+PB的最小值是（　　）．

A．20 B． C．14 D．
9．⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（    ）
A． B．1 C． D．
10．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：
将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图．
将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图．
将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图．
连结AE、AF、BE、BF，如图．
经过以上操作，小芳得到了以下结论：
；四边形MEBF是菱形；为等边三角形；：：．以上结论正确的有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，下列结论中正确的有（　　）①CE＝OE②∠C＝50°   ③＝④AD＝2OE

A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
12．如图，已知A为半径为3的上的一个定点，B为上的一个动点（点B与A不重合），连接AB，以AB为边作正三角形ABC．当点B运动时，点C也随之变化，则O、C两点之间的距离的最大值是______．

13．如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为__________cm2

14．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝_____．

15．如图，在半径为3的中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使，连接AC、BC、CD，如果，那么CD等于______．

16．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是 __________________．

17．如图，为半圆弧的中点，为弧上任意一点，且与交于点，连接． 若，则的最小值为_________

18．如图所示，在内有折线，其中，则的长为__________．

19．如图，已知是半圆O的直径，，点C，D在半圆上，，，点P是上的一个动点，则的最小值为_______．

20．已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，则AB的长为_____cm．
21．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为_____________（结果保留）．

22．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________．

23．如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是____度．

三、解答题
24．如图，是的直径，平分，过点的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，，，．填空：
①当的度数为 时，四边形为菱形；
②若，，则 ．







25．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．
(1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；
(2)若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数；
(3)若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长．






26．如图所示，的半径是2，直线与相交于、两点，、是上的两个动点，且在直线的异侧，若，求四边形面积的最大值.








27．已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°．
（1）点O到弦AB的距离为　　；．
（2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′；
①若∠α=30°，试判断点A′与⊙O的位置关系；
②若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长；
③若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围．


















28．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，，组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．























参考答案
1．D
【分析】
由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解．
解：

取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短




点P是BO的中点
在中，
是等边三角形

在中，
．

【点拨】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．
2．B
【分析】
分两种情况讨论，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．
解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，
∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），
如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝14（cm），
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），
∴AC＝＝＝80（cm）；
如图2，同理可得，OM＝14cm，
∵OC＝50cm，
∴MC＝＝36（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故选：B．


【点拨】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据题意画出图形、利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．
3．D
【分析】
把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，求出∠F=90°，CE长，OE的最小值为EC-OC．
解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，
∴∠FCA=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠FCA=∠CAO，
∴CF∥AB，
∵是弧的中点，
∴FE⊥AB，
∴∠F=∠BGE=90°，
∵FC=FE=2，
∴EC=，
∵OE≥EC-OC
即OE≥-2，
的最小值为，
故选：D．

【点拨】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线,根据三角形三边关系确定OE的取值范围．
4．D
【分析】
连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．
解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO=90∘，
∴CD=，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D. B两点重合，
∴CD=CB=AB=×2=1．
即CD的最大值为1．
故答案为：D．

【点拨】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，求出点C的位置是解题的关键．
．
5．C
【分析】
设圆心为M，连接CM，由圆M与x轴相切，得到M的纵坐标等于半径也等于ON，在中，设BC=x利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解，即可得到结果．
解：过点M作MN⊥y轴，连接CM，∵圆M与x轴相切于点A（3，0），BC=x，
∴MN=3，ON=1+，MC=ON
在中，
由勾股定理得：



x=8
又∵B（0，1），∴点C的坐标是（0，9）
故答案为：C．

【点拨】本题考查了切线的性质、坐标与图形的性质、以及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
6．C
【分析】
由作图知，OM=OC=OD，再利用对称的性质逐一判断可得．
解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故①正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故②正确；
∵所对的圆心角是，所对的圆周角是
∴，故③不正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON，
∴∠OCD=∠OCM=
∴∠MCD=180°-∠COD，
又∠CMN=∠AON=∠COD，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故④正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故⑤错误；
①②④正确
故选C
【点拨】本题考查作图-复杂作图，弧、圆心角和弦之间的关系，平行线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．C
【分析】
连接OF，根据DE⊥AB，AB为⊙O的直径，推出，由D是弧AC的中点，推出，得到AC=DF=12，求出EF=6，设OA=x，利用勾股定理求出x=7.5，即可得到答案.
解：如图，连接OF，
∵DE⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴.
∵D是弧AC的中点，
∴，
∴，
∴AC=DF=12，
∴EF=6，
设OA=x，
∵OF2=OE2+EF2，
∴x2=（x-3）2+62，
解得：x=7.5，
∴⊙O的直径长为15，
故选：C.

【点拨】此题考查圆的垂径定理，弧、弦、圆心角定理，勾股定理，将求直径长转化为求半径长由此利用勾股定理解答是解题的关键.
8．B
【分析】
连接OA、OB，根据AC⊥MN，BD⊥MN，经勾股定理计算得到OC、OD；延长BD与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线AG上时，取最小值；过G作GH⊥AC于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到AG的值，即可完成求解．
解：如图，连接OA、OB

∵AC⊥MN，BD⊥MN
∴，
∵MN＝20，A、B是⊙O上的两点
∴
∴，
∴，
∴
延长BD与⊙O相交于点G
∵MN为⊙O的直径，BD⊥MN
∴，
∴
当点P在直线AG上时，取最小值，且最小值
过G作GH⊥AC于点H
又∵AC⊥MN，BD⊥MN
∴，，
∴四边形是矩形
∴，
∴
∴
∴PA+PB的最小值是：
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理、圆的垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解．
9．B
【分析】
根据弧的度数求得弧所对的圆心角的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠A的度数，从而根据直角三角形的性质进行求解．
解：∵弦AB所对的劣弧为120°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=30°，
又OC⊥AB，
∴OC=OA=1；
故选：B．

【点拨】本题主要考查垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
10．D
【分析】
根据折叠的性质可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD∥EF，从而判定①正确；
根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到②正确；根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根据等边对等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM=30°，从而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF=60°，从而判定△AEF是等边三角形，③正确；
设圆的半径为r，求出EN= ，则可得EF=2EN=，即可得S四边形AEBF：S扇形BEMF的答案，所以④正确．
解：∵纸片上下折叠A、B两点重合，
∴∠BMD=90°，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴∠BNF=90°，
∴∠BMD=∠BNF=90°，
∴CD∥EF，故①正确；
根据垂径定理，BM垂直平分EF，
又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴BN=MN， ∴BM、EF互相垂直平分，
∴四边形MEBF是菱形，故②正确；
∵ME=MB=2MN，
∴∠MEN=30°，
∴∠EMN=90°-30°=60°，
又∵AM=ME（都是半径），
∴∠AEM=∠EAM，
∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°，
∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，
同理可求∠AFE=60°， ∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，故③正确；
设圆的半径为r，则EN=， ∴EF=2EN=，
∴S四边形AEBF：S扇形BEMF=
故④正确，
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．
【点拨】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键．
11．B
【分析】
根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．
解：∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，
∴CE＝DE，，，
∴∠BOC＝2∠A＝40°，，
即，故③正确；
∵∠OEC＝90°，∠BOC＝40°，
∴∠C＝50°，故②正确；
∵∠C≠∠BOC，
∴CE≠OE，故①错误；
作OP∥CD，交AD于P，
∵AB⊥CD，
∴AE＜AD，∠AOP＝90°，
∴OA＜PA，OE＜PD，
∴PA+PD＞OA+OE
∵OE＜OA，
∴AD＞2OE，故④错误；
故选：B．

【点拨】此题考查圆的垂径定理，圆心角、弧、弦的定理，直角三角形两锐角互余及边的关系，平行线的性质.
12．
【分析】
连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．证明△BAO≌△CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得结论．
解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．

∵OA=ON，OA=AN，
∴AO=ON=AN，
∴△OAN是等边三角形，
∴∠OAN=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BAC=∠OAN=60°，
∴∠BAO=∠CAN，
∴△BAO≌△CAN（SAS），
∴OB=CN=3，
∵OC≤ON+CN=6，
∴OC的最大值为6，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的解题关键．
13．2
【分析】
连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．根据S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，当xy的值最大时，△DEF的面积最大；根据矩形的性质，通过判定四边形ODCE是矩形，得；根据勾股定理、完全平方公式的性质分析，可得结论．
解：连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．

∵
∴OG⊥AB，
∵S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，
∴xy的值最大时，△DEF的面积最大，
∵CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴
∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴2xy≤4，
∴xy≤2，
∴xy的最大值为2，
∴△DEF的面积的最大值为2 cm2
故答案为：2．
【点拨】本题考查了圆、勾股定理、中心对称、矩形、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理、完全平方公式的性质，从而完成求解．
14．
【分析】
过点作于，过点作于，连接，如图，设，利用得到，，再利用点为弧的中点得到，所以，，接着证明△，则，，则可列方程，然后解方程求出，从而得到的长．
解：过点作于，过点作于，连接，如图，

设，
，
，，
点为弧的中点，
，
，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，，
，
在和△中
，
△，
，，
，
，解得，
．
故答案为4．
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、旋转的性质，解题的关键是在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
15．
【分析】
如图，连OA，OB．利用垂径定理和勾股定理求BE，利用中位线定理求CD．
解：如图，连OA，OB，

∵B是弧AC的中点，AB＝BC＝BD，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
由垂径定理知，OB⊥AC，点E是AC的中点，
设,则,
由勾股定理知，， ，
∴,
∵AB＝2，AO＝BO=3，
∴,
解得， ，
即
∵∠AEB＝∠ACD＝90°，
∴BE∥CD，
∵点B是AD的中点，所以BE是△ACD的中位线，所以CD＝2BE＝ ．
故答案为：
【点拨】本题利用了垂径定理，勾股定理求解
16．
【分析】
延长CP交⊙O于N，连接DN，易证PM＝DN，所以当DN为直径时，PM的值最大，当DN＝AC时，PM最小，即可求得PM的取值.
解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN．

∵AB⊥CN，
∴CP＝PN，
∵CM＝DM，
∴PM＝DN，
∴当DN为直径时，PM的值最大，最大值为，
当DN＝NC时，PM最小，最小值为0，
∴PM的范围是≤PM≤．
故答案为：
【点拨】本题考查的是圆的综合题，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题.
17．
【分析】
设半圆弧所在圆的圆心为，连接，分别过点作的垂线，两垂线交于点，延长至点，使得，连接，先根据正方形的判定与性质可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后判断出点四点共圆，且所在圆的圆心为点，由此可得，最后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短求出最小值即可得．
解：如图，设半圆弧所在圆的圆心为，连接，分别过点作的垂线，两垂线交于点，延长至点，使得，连接，

为半圆弧的中点，
，
又，
四边形是正方形，
，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，，
由圆周角定理得：，
，即，
，
，
又，
点四点共圆，且所在圆的圆心为点，
，
由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短得：，即，当且仅当点共线时，等号成立，
则的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的判定与性质、圆周角定理、圆心角定理等知识点，通过作辅助线，构造出点四点共圆是解题关键．
18．
【分析】
过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为点D、E，延长DO交BC于点H，连接OB，然后根据含30°角的直角三角形的性质可求OD的长，进而可得BD，然后利用勾股定理及垂径定理可求解问题．
解：过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为点D、E，延长DO交BC于点H，如图所示：

∴BE=CE，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴OH=4，
∵∠HDB=90°，
∴∠HOE=30°，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【点拨】本题主要考查垂径定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
19．
【分析】
如图，连接AD，PA，OD．先证明PA＝PB，再根据PD+PB＝PD+PA≥AD，求出AD即可解决问题．
解：如图，连接AD，PA，OD．
∵OC⊥AB，OA＝OB，
∴PA＝PB，∠COB＝90°，
∵2，
∴∠DOB90°＝60°，
∵OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB•cos∠ABD＝3，
∵PB+PD＝PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥3，
∴PD+PB的最小值为3，
故答案为：3

【点拨】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，三角函数等知识，根据OC为AB的垂直平分线得到AD为的最小值是解题的关键．
20．或
【分析】
根据A点所在的位置分类讨论：①若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，连接AO并延长交BC于点D，利用A、O都在BC中垂线上可得AO垂直平分BC，再利用勾股定理求出BD，从而求出AB；②若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC于点D，原理同上．
解：①若等腰三角形的顶点A在优弧BC上时，如图，连接AO并延长交BC于点D，连接OB，

∵AB=AC
∴点A在BC的中垂线上
∵圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线
∴AO垂直平分BC
∵⊙O的半径为5cm ,点O到BC的距离为3cm
∴OA=OB=5，OD=3
∴AD=8
根据勾股定理：
∴再根据勾股定理：；
②若等腰三角形的顶点A在劣弧BC上时，连接AO交BC于点D，连接OB，

∵AB=AC
∴点A在BC的中垂线上
∵圆心O也在BC中垂线上，根据两点确定一条直线
∴AO垂直平分BC
∵⊙O的半径为6cm ,点O到BC的距离为2cm
∴OA=OB=5，OD=3
∴AD=2
根据勾股定理：
∴再根据勾股定理：；
综上所述：或．
【点拨】此题考查的是垂径定理的应用，勾股定理，利用等腰三角形的顶点在圆上的不同位置分类讨论是解决此题的关键．
21．
【分析】
连接OD、OC，求出∠AOD=∠COD=∠BOC=，证得△AOD、△COD、△BOC都是等边三角形，得到OA=OB=BC=4cm，利用圆的周长公式求出答案.
解：如图，连接OD、OC，
∵，是的直径，
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=,
∵OA=OD=OC=OB，
∴△AOD、△COD、△BOC都是等边三角形，
∴OA=OB=BC=4cm，
∴的周长=（cm），
故答案为：.

【点拨】此题考查了弧、弦、圆心角定理：等弦所对的圆心角相等，等边三角形的判定定理及性质定理，圆的周长计算公式.
22．
【分析】
先找出折痕CD取最大值和最小值时，点E的位置，再利用折叠的性质、垂径定理、勾股定理求解即可得．
解：由题意，有以下两个临界位置：
（1）如图，当被折的圆弧与直径AB相切时，折痕CD的长度最短，此时点与圆心O重合，

连接OD，
由折叠的性质得：，
，
在中，，
由垂径定理得：；
（2）当CD和直径AB重合时，折痕CD的长度最长，此时，
又要使被折的圆弧与直径AB至少有一个交点，
；
综上，折痕CD的长度取值范围是，
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，正确找出两个临界位置是解题关键．
23．120
【分析】
本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．
解：连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：
因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，
由垂径定理得：AH=AM，
又因为OA=OA，故△OAH△OAM（HL）．
∴∠OAH=∠OAM．
又∵OA=OB,AD=EB,
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,
∴△ODA△OEB（SAS）,
∴∠DOA=∠EOB,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．
又∵∠C=60°以及同弧，
∴∠AOB=∠DOE=120°．
故本题答案为：120．

【点拨】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握．
24．（1）见分析；（2）①60°；②1
【分析】
（1）连接OD，则OD⊥ED，由OA=OD，得∠OAD=∠ODA，根据AD平分∠BAC，可推得OD∥AE，从而可得结论；
（2）①当四边形OBDC为菱形时，则OB=BD，又OB=OD，则得△OBD是等边三角形，从而易得∠BAC=60°；
② 连接BC交OD于点F，则可知∠ACB=90°，且由勾股定理可计算得BC=4；由AD平分∠BAC可得BD=CD，再由OB=OC， 得OD垂直平分线段BC，从而得F点为BC的中点，得CF=2；易得四边形CFDE为矩形，故可得DE=CF，且∠CDE=∠DCB，再由AD为角平分线，可得∠CDE=∠EAD，从而可得△DCE∽△ADE，有对应边成比例，设AE=x，则可得关于x的方程，解方程即可求得结果．
解：（1）连接．

是的切线，
．
平分，
．
，
，
，
，
．
（2）①四边形是菱形，
，BD∥OC，
∵OB=OD
，
是等边三角形．
∴∠B=60°，
∵BD∥OC，
∴∠AOC=∠B=60°，
∵OA=OC ，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
故答案为： ．

②如图，连接BC交OD于F．   
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，AC=3，
∴由勾股定理得：．
∵AD平分∠BAC，
∴ ，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OD垂直平分线段BC，
∴CF=，
∵∠E=∠ODE=∠ECF=90°,
∴四边形ECFD是矩形，
∴DE=CF=2，DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB，
∵∠DCB=∠BAD，∠EAD=∠BAD，
∴∠CDE=∠EAD，
∴△DCE∽△ADE，
∴，
即，
设CE=x，则AE=AC+CE=3+x．
∴x(3+x)=4，
解方程得：x=1，或x=-4（舍去），
∴CE=1．

故答案为：．
【点拨】本题综合考查了圆的性质、三角形相似的判定和性质、菱形的性质；（2）中②的关键是得到OD垂直平分BC，从而得出四边形CFDE是矩形．
25．(1)∠CPD是直径AB的“回旋角”，理由见分析；(2)“回旋角”∠CPD的度数为45°；(3)满足条件的AP的长为3或23．
【分析】
（1）由∠CPD、∠BPC得到∠APD，得到∠BPC＝∠APD，所以∠CPD是直径AB的“回旋角”；（2）利用CD弧长公式求出∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，利用∠CPD为直径AB的“回旋角”，得到∠APD＝∠BPC，∠OPE＝∠APD，得到∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，即点D，P，E三点共线，∠CED＝∠COD＝22.5°，
得到∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，则∠APD＝∠BPC＝67.5°，所以∠CPD＝45°；（3）分出情况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理（2）的方法得到点D，P，F在同一条直线上，得到△PCF是等边三角形，连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于G，
利用sin∠DOG，求得CD，利用周长求得DF，过O作OH⊥DF于H，利用勾股定理求得OP，进而得到AP；在OB上时，同理OA计算方法即可
解：∠CPD是直径AB的“回旋角”，
理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，
∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BPC＝∠APD，
∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；
(2)如图1，∵AB＝26，
∴OC＝OD＝OA＝13，
设∠COD＝n°，
∵的长为π，
∴
∴n＝45，
∴∠COD＝45°，
作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，
∴∠BPC＝∠OPE，
∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，
∴∠APD＝∠BPC，
∴∠OPE＝∠APD，
∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，
∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，
∴点D，P，E三点共线，
∴∠CED＝∠COD＝22.5°，
∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，
∴∠CPD＝45°，
即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，
(3)①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，
∴PF＝PC，
同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，
∵直径AB的“回旋角”为120°，
∴∠APD＝∠BPC＝30°，
∴∠CPF＝60°，
∴△PCF是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，
连接OC，OD，
∴∠COD＝120°，
过点O作OG⊥CD于G，
∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，
∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝
∴CD＝，
∵△PCD的周长为24+13，
∴PD+PC＝24，
∵PC＝PF，
∴PD+PF＝DF＝24，
过O作OH⊥DF于H，
∴DH＝DF＝12，
在Rt△OHD中，OH＝
在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，
∴OP＝10，
∴AP＝OA﹣OP＝3；
②当点P在半径OB上时，
同①的方法得，BP＝3，
∴AP＝AB﹣BP＝23，
即：满足条件的AP的长为3或23．

【点拨】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论
26．四边形面积最大，为.
【分析】
过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．
解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，

∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=2，
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．
故答案为4．
【点拨】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
27．（1）1；（2）①点A′在⊙O上；②；③0°＜α＜30°或60°≤α＜120°
【分析】
（1）如图，作辅助线；证明∠AOC=60°，得到OC=1．
（2）①证明∠PAB=90°，得到PB是⊙O的直径；证明∠PA′B=90°，即可解决问题．
②证明∠A′BP=∠ABP=60°；借助∠APB=60°，得到△PAB为正三角形，求出AB的长即可解决问题．
③直接写出α的取值范围即可解决问题．
解：
解：（1）如图，过点O作OC⊥AB于点C；
∵OA=OB，
则∠AOC=∠BOC=×120°=60°，
∵OA=2，
∴OC=1．
故答案为1．
（2）①∵∠AOB=120°
∴∠APB=∠AOB=60°，
∵∠PBA=30°，
∴∠PAB=90°，
∴PB是⊙O的直径，
由翻折可知：∠PA′B=90°，
∴点A′在⊙O上．
②由翻折可知∠A′BP=∠ABP，
∵BA′与⊙O相切，
∴∠OBA′=90°，
∴∠ABA′=120°，
∴∠A′BP=∠ABP=60°；
∵∠APB=60°，
∴△PAB为正三角形，
∴BP=AB；
∵OC⊥AB，
∴AC=BC；而OA=2，OC=1，
∴AC=，
∴BP=AB=2．
③α的取值范围为0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．
【点拨】该题主要考查了翻折变换、垂径定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换、垂径定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
28．（1）见分析；（2）见分析；（3），理由见分析
【分析】
（1）连接，，易证为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得．
（2）根据圆内接四边形的性质，先，再证为等腰三角形，进一步证得，从而证得结论．
（3）根据，从而证明，得出，然后判断出，进而求得．
解：证明：（1）如图1，连接，，

是劣弧的中点，
，
，
，
，，
，
为等腰三角形，
，
；
（2）如图2，延长、相交于点，再连接，

是圆内接四边形，
，
是劣弧的中点，
，
，
为等腰三角形，
，，
，
，

（3）．
连接，，，、相交于点，

弧弧，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了垂径定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握垂径定理在5个条件中，1．平分弦所对的一条弧；2．平分弦所对的另一条弧；3．平分弦；4．垂直于弦；5．经过圆心（或者说直径）．只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个．