高中人教A版 (2019)第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词同步训练题

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

选题明细表

基础巩固

1.命题“每个二次函数的图象都开口向下”的否定是(　C　)

A.每个二次函数的图象都不开口向上

B.存在一个二次函数,其图象开口向下

C.存在一个二次函数,其图象开口向上

D.每个二次函数的图象都开口向上

解析:所给命题为全称量词命题,故其否定应为存在量词命题.故选C.

2.已知命题p:∀x∈R,x2+1>0,则命题p的否定为(　A　)

A.∃x∈R,x2+1≤0  B.∀x∈R,x2+1<0

C.∃x∉R,x2+1≤0   D.∀x∈R,x2+1≤0

解析:所给命题为全称量词命题,故其否定应为存在量词命题.故选A.

3.命题“∃x∈Q,|x|+x≥0”的否定是(　C　)

A.∃x∈Q,|x|+x<0

B.∀x∈(∁RQ),|x|+x<0

C.∀x∈Q,|x|+x<0

D.∀x∈Q,|x|+x≥0

解析:因为存在量词命题的否定是全称量词命题,故选C.

4.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是(　B　)

A.任意一个有理数,它的平方是有理数

B.任意一个无理数,它的平方不是有理数

C.存在一个有理数,它的平方是有理数

D.存在一个无理数,它的平方不是无理数

解析:命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.

5.“有一个平行四边形,它的对角线不相等”的否定是　　　　　  　,是　　　　　命题(填“真”或“假”). 

解析:“有一个平行四边形”中含有存在量词,因此这是一个存在量词命题,其否定应是全称量词命题,原命题是一个真命题,因此其否定是一个假命题.

答案:任意平行四边形的对角线相等　假

6.若命题“∃x∈R,x2-x+a<0”是假命题,则实数a的取值范围是　　　.

解析:因为命题“∃x∈R,x2-x+a<0”是假命题,所以命题的否定

“∀x∈R,x2-x+a≥0”为真命题,所以Δ=1-4a≤0,解得a≥.

答案:{a|a≥}

能力提升

7.(多选题)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的是(　AC　)

A.∃x∈R,x2-x+<0

B.所有的正方形都是矩形

C.∃x∈R,x2+2x+2≤0

D.至少有一个实数x,使x3+1=0

解析:命题的否定是全称量词命题,即该命题为存在量词命题,故排除B.

再根据命题的否定为真命题,即该命题为假命题.又D为真命题,

故选AC.

8.命题“∀x∈N*,x2∈N*且x2≥x”的否定形式是(　D　)

A.∀x∈N*,x2∉N*且x2<x

B.∀x∈N*,x2∉N*或x2<x

C.∃x∈N*,x2∉N*且x2<x

D.∃x∈N*,x2∉N*或x2<x

解析:原命题是全称量词命题,则其否定是存在量词命题,即∃x∈N*,

x2∉N*或x2<x.故选D.

9.已知命题q:“三角形有且只有一个外接圆”,则﹁q为　　　.

解析:﹁q为存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有

外接圆.

答案:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆

10.判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题,并判断其

真假.

(1)存在一个三角形,其内角和不等于180°;

(2)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解;

(3)存在实数x,使得=2.

解:(1)存在量词命题,是假命题.

(2)当a=0,b=0时,方程ax+b=0有无数解,

当a=0,b≠0时,方程ax+b=0无解,

所以该命题是全称量词命题,是假命题.

(3)因为=2,

所以2x2-2x+1=0,Δ=4-4×2×1=-4<0,

所以不存在实数x,使得=2,

所以该命题是存在量词命题,是假命题.

11.“存在x∈R,函数y=mx2+x-m-a的图象和x轴没有公共点”为假命题,求实数a的取值范围.

解:由题意“任意x∈R,函数y=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点”为真命题.

(1)当m=0时,y=x-a与x轴恒相交,所以a∈R.　

(2)当m≠0时,二次函数y=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ=1+4m(m+a)≥0恒成立,

即4m2+4am+1≥0恒成立.

即二次函数y=4m2+4am+1的图象与x轴最多有一个公共点,

其充要条件是Δ=(4a)2-16≤0,

解得-1≤a≤1.

综上所述,当m=0时,a∈R;

当m≠0时,-1≤a≤1.

应用创新

12.“∃x∈{x|1≤x≤2},ax2+1≤0”为真命题的充要条件是(　B　)

A.a≤-1 B.a≤-

C.a≤-2 D.a≤0

解析:“∃x∈{x|1≤x≤2},使ax2+1≤0”为真命题,等价于当

x∈{x|1≤x≤2}时,a≤(-)max,x∈{x|1≤x≤2}时,-1≤-≤-,

所以(-)max=-.所以“∃x∈{x|1≤x≤2},ax2+1≤0”为真命题的充要条件是a≤-.故选B.