必修 第一册1.5 全称量词与存在量词免费课堂检测

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

基础过关练

题组一　全称量词命题和存在量词命题的否定

1.(2020山东滨州高一上期末)设命题p:所有的矩形都是平行四边形,则¬p为(　　)

A.所有的矩形都不是平行四边形

B.存在一个平行四边形不是矩形

C.存在一个矩形不是平行四边形

D.不是矩形的四边形不是平行四边形

2.(2020安徽临泉第一中学高二上期中)已知命题p:∀x∈{x|x>1},x2+16>8x,则命题p的否定为(　　)

A.¬p:∀x∈{x|x>1},x2+16≤8x

B.¬p:∀x∈{x|x>1},x2+16<8x

C.¬p:∃x∈{x|x>1},x2+16≤8x

D.¬p:∃x∈{x|x>1},x2+16<8x

3.对于命题p:∃x∈R,使得x2+x+1<0,则¬p是(　　)

A.∀x∈R,x2+x+1≥0

B.∃x∈R,x2+x+1≠0

C.∀x∈R,x2+x+1>0

D.∃x∈R,x2+x+1<0

4.(2020辽宁丹东高一上期末)命题“存在实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根”的否定是(　　)

A.存在实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0无实数根

B.不存在实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根

C.对任意实数m,都能使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根

D.至多有一个实数m,使关于x的方程x2+mx-1=0有实数根

5.若命题p:∀x∈R,<0,则¬p:　　　　　　　　. 

6.若命题p:∀a,b∈R,方程ax2+b=0恰有一解,则¬p:　　　　　　　　. 

题组二　全称量词命题和存在量词命题的否定的真假判断

7.(2020湖南雅礼中学高一10月月考)给出下列四个命题:

①有理数是实数;

②有些平行四边形不是菱形;

③∀x∈R,x2-2x>0;

④∃x∈R,2x+1为奇数.

以上命题的否定为真命题的是(深度解析)

A.①④ B.②④

C.①②③④ D.③

8.下列命题的否定为假命题的是(　　)

A.∃x∈Z,1<4x<3 B.∃x∈Z,5x+1=0

C.∀x∈R,x2-1=0 D.∃x∈R,x2+3x+2=0

9.已知命题p:∃x∈R,x-2>,命题q:∀x∈R,x2>0,则(　　)

A.命题p,q都是假命题

B.命题p,q都是真命题

C.命题p,¬q都是真命题

D.命题p,¬q都是假命题

10.(多选)对下列命题进行否定,得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有(　　)

A.∃x∈R,x2-x+<0

B.所有的正方形都是矩形

C.∃x∈R,x2+2x+2≤0

D.至少有一个实数x,使x3+1=0

题组三　全称量词命题和存在量词命题的否定的应用

11.已知p:∀1≤x≤4,x-a≥0,q:∃x∈R,x2+2x+2-a=0.若命题¬p是真命题,且命题q是真命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.a=1 B.a≤1 C.a≥1 D.a>1

12.已知命题p:∃x∈R,|x|2-2|x|+m=0.若¬p是假命题,求实数m的取值范围.

13.已知命题p:∀x∈{x|0<x<1},x+m-1<0,命题q:∀x∈{x|x>0},mx2+4x-1≠0.若p是真命题,q是假命题,求实数m的取值范围.深度解析

答案全解全析

基础过关练

1.C　命题p:所有的矩形都是平行四边形,¬p:存在一个矩形不是平行四边形,故选C.

2.C　在¬p中,量词“∀”改为“∃”,结论“x2+16>8x”改为“x2+16≤8x”,故选C.

3.A　在¬p中,量词“∃”改为“∀”,结论“x2+x+1<0”改为“x2+x+1≥0”,故选A.

4.B　由命题的否定知选B.

5.答案　∃x∈R,>0或x-2=0

6.答案　∃a,b∈R,方程ax2+b=0无解或有两个解

7.D　①“有理数是实数”为真命题,则命题的否定是假命题;

②“有些平行四边形不是菱形”为真命题,则命题的否定是假命题;

③当x=0时,不等式x2-2x>0不成立,

∴“∀x∈R,x2-2x>0”为假命题,则命题的否定是真命题;

④“∃x∈R,2x+1为奇数”为真命题,则命题的否定是假命题.

故满足条件的命题序号是③,故选D.

名师点睛　本题主要考查命题的否定以及命题的真假判断,先判断原命题的真假是解决本题的关键.

8.D　命题的否定为假命题等价于原命题是真命题,由1<4x<3得<x<,这样的整数x不存在,故A为假命题,其否定为真命题;5x+1=0,x=-∉Z,故B为假命题,其否定为真命题;当x=0时,x2-1≠0,故C为假命题,其否定为真命题;存在实数x=-1或x=-2,有x2+3x+2=(x+1)(x+2)=0,故D为真命题,从而D的否定是假命题.

9.C　当x=9时,9-2>=3,∴p为真命题.∵∀x∈R,x2≥0,∴q是假命题,¬q是真命题.故选C.

10.AC　命题的否定是全称量词命题,则原命题为存在量词命题,故排除B选项.命题的否定为真命题,则原命题为假命题.又选项A,C中的命题为假命题,选项D中的命题为真命题,故选AC.

11.D　若p:“∀1≤x≤4,x-a≥0”为真命题,则a小于或等于x的最小值,即a≤1,∴当命题¬p是真命题时,命题p为假命题,从而a>1.

若q:“∃x∈R,x2+2x+2-a=0”为真命题,则Δ=4-4(2-a)≥0,解得a≥1.

∵命题¬p是真命题,且命题q是真命题,∴需满足解得a>1,故选D.

12.解析　∵¬p是假命题,∴p是真命题.

也就是∃x∈R,使得|x|2-2|x|=-m,即方程|x|2-2|x|=-m有解.

又|x|2-2|x|=(|x|-1)2-1≥-1,当x=±1时等号成立,因此-m≥-1,即m≤1.

∴实数m的取值范围是{m|m≤1}.

13.解析　若p是真命题,则x+m-1<0对于0<x<1恒成立,即m-1<-x对0<x<1恒成立.

当0<x<1时,-1<-x<0,所以m-1≤-1,即m≤0.

若命题q是假命题,则¬q:∃x∈{x|x>0},mx2+4x-1=0为真命题.

即关于x的方程mx2+4x-1=0有正实数根.

当m=0时,方程为4x-1=0,有正实数根;

当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,即m≥-4.设两个实数根分别为x1,x2.

①当方程有两个正实数根时,x1+x2=->0,且x1x2=->0,解得m<0,此时-4≤m<0;

②当方程有一正一负两个实数根时,x1x2=-<0,解得m>0,此时m>0.

综上所述,m≥-4.

因为p是真命题,q是假命题,所以实数m的取值范围是{m|-4≤m≤0}.

名师点睛　在与全称量词命题、存在量词命题有关的问题中,如果从原来的命题出发解决问题不方便,那么可以先否定原来的命题,再依据补集思想解决原问题.