2020-2021学年4 探索三角形相似的条件第1课时课后练习题

这是一份2020-2021学年4 探索三角形相似的条件第1课时课后练习题，共14页。试卷主要包含了所有的等腰三角形都相似，所有的等腰直角三角形都相似，所有的直角三角形都相似等内容，欢迎下载使用。
必备知识·基础练
(打“√”或“×”)
1．所有的等腰三角形都相似．( × )
2．所有的等腰直角三角形都相似 ( √ )
3．所有的直角三角形都相似．( × )
4．两条直角边对应成比例的直角三角形相似( √ )
5．有一个角是70 °的两个等腰三角形相似( × )
知识点1 相似三角形的定义
1．下列说法中正确的是( C )
A．两个直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似
C．两个等边三角形相似 D．两个锐角三角形相似
【解析】A、只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故选项错误；B、因为没有说明角或边满足的条件，故选项错误；C、因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故选项正确；D、因为没有说明角或边满足的条件，故选项错误．
2．如果两个相似三角形的相似比为2∶3，两个三角形的周长的和是100 cm，那么较小的三角形的周长为__40__cm.
【解析】设较小的三角形的周长为x cm，则较大的三角形的周长为(100－x)cm，
∵两个相似三角形的相似比为2∶3，
∴两个相似三角形的周长比为2∶3，
∴ eq \f(x,100－x) ＝ eq \f(2,3) ，
解得，x＝40.
知识点2 两角分别相等的两个三角形相似
3.(概念运用题)如图，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是( C )
【解析】A.剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；B.剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意；C.只有一个角相等，故判断不了两三角形相似，符合题意．D.剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意．
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝∠ACD，则图中相似三角形有( C )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【解析】∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ACD∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∵∠B＝∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
故共4对．
5．(2021·上海期中)如图，在△ABC中，点D在BC边上，如果要判定△ACD∽△BCA，那么需要增加的一个条件可以是__∠DAC＝∠ABC(答案不唯一)__．
【解析】∵从图中可知∠C为公共角，
∴如果再加上∠DAC＝∠ABC或∠ADC＝∠BAC都可判定△ADC∽△ABC.
6．(2021·北京期中)如图，AC，BD相交于点O，且∠ABO＝∠C.
求证：△AOB∽△DOC.
【证明】∵AC，BD相交于点O，
∴∠AOB＝∠DOC，
又∵∠ABO＝∠C，
∴△AOB∽△DOC.
知识点3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
7．(2021·青岛期中)如图所示的4个三角形中，相似三角形有( A )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【解析】观察图象可知，图中有3个直角三角形，一个锐角三角形，其中左边的两个直角三角形的直角边的比都是1∶2，所以这两个直角三角形相似．
8.(2021·济南期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为__2 eq \r(3) 或 eq \f(8\r(3),3) __．
【解析】∵∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，
∴AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝ eq \r(82－42) ＝4 eq \r(3) ，
∵D为AB的中点，
∴AD＝ eq \f(1,2) AB＝4，
∴以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，
①若△ADE∽△ABC，则 eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(AE,AC) ，
即 eq \f(4,8) ＝ eq \f(AE,4\r(3)) ，
解得AE＝2 eq \r(3) ；
②若△AED∽△ABC，则 eq \f(AE,AB) ＝ eq \f(AD,AC) ，
即 eq \f(AE,8) ＝ eq \f(4,4\r(3)) ，
解得AE＝ eq \f(8\r(3),3) ，
综上所述，AE的长为2 eq \r(3) 或 eq \f(8\r(3),3) .
9．(2021·广州期末)如图，已知AD·AC＝AB·AE，∠DAE＝∠BAC.求证：△DAB∽△EAC.
【证明】∵AD·AC＝AB·AE，
∴ eq \f(AD,AE) ＝ eq \f(AB,AC) ，
∵∠DAE＝∠BAC.
∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC.
关键能力·综合练
1．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上(不与点A，C重合)，DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是( C )
A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD
【解析】∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA.
2．(概念应用题)(2021·揭阳期中)如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是( B )
A． eq \f(AC,AD) ＝ eq \f(AB,AC) B． eq \f(BC,BD) ＝ eq \f(AB,BC)
C．∠ACD＝∠B D．∠ADC＝∠ACB
【解析】A.根据两边成比例夹角相等，可以证明三角形相似，本选项不符合题意．
B．无法判断三角形相似，本选项符合题意．
C．根据两角对应相等的两个三角形相似，可以判断两个三角形相似，本选项不符合题意．
D．根据两角对应相等的两个三角形相似，可以判断两个三角形相似，本选项不符合题意．
3．(2021·上海期中)如图，在正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点(与点A，D不重合)，∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交边CD于点M，那么下列结论中，错误的是( D )
A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG
C．△ABG∽△CFB D．△ABF∽△CBG
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA＝∠ACB＝∠DAC＝∠CAB＝∠EBM＝45°，
∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；
∵∠EBM＝∠DCA，∠MGC＝∠BGF，
∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；
∴∠CMG＝∠CFB，
∵CD∥AB，
∴∠CMG＝∠ABG，
∴∠CFB＝∠ABG，
又∵∠CAB＝∠BCF＝45°，
∴△BCF∽△GAB，故选项C不合题意；
∵∠CAB＝∠ACB＝∠FBG＝45°，
∴∠ABF＋∠CBG＝45°，
∴∠ABF≠∠CBG，
∴△ABF与△CBG不相似，故选项D符合题意．
4．在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D.请你添加一个适当的条件：__∠B＝
∠DEF(答案不唯一)__，使得△ABC∽△DEF.(注：不能添加任何数字、辅助线和字母)
【解析】添加∠B＝∠DEF.
理由：∵∠A＝∠D，∠B＝∠DEF.
∴△ABC∽△DEF.
5．(2021·南京期中)在平面直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为__(－1，0)或者(1，0)__时，使得△BOC∽△AOB.
【解析】∵点A为(4，0)，∴AO＝4；
∵点B为(0，2)，∴OB＝2.
若△BOC∽△AOB.
则： eq \f(OC,OB) ＝ eq \f(OB,OA) .
即： eq \f(OC,2) ＝ eq \f(2,4) ，∴OC＝1.
故点C为(－1，0)或者(1，0).
6．(2021·北京期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.请写出一对相似三角形，并证明．
【解析】△BEC∽△ADC(答案不唯一)，
证明如下：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
又∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°.
∴∠ADC＝∠BEC＝90°.
又∵∠C＝∠C，
∴△BEC∽△ADC.
7．(素养提升题)(2020·武汉中考)问题背景
如图(1)，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用
如图(2)，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上， eq \f(AD,BD) ＝ eq \r(3) ，求 eq \f(DF,CF) 的值；
拓展创新
如图(3)，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2 eq \r(3) ，直接写出AD的长．
【解析】问题背景
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(AC,AE) ，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE， eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(AD,AE) ，
∴△ABD∽△ACE；
尝试应用
如图1，连接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由(1)知△ABD∽△ACE，
∴ eq \f(AE,EC) ＝ eq \f(AD,BD) ＝ eq \r(3) ，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴ eq \f(AD,AE) ＝ eq \r(3) ，
∴ eq \f(AD,EC) ＝ eq \f(AD,AE) × eq \f(AE,CE) ＝ eq \r(3) × eq \r(3) ＝3.
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，∴ eq \f(DF,CF) ＝ eq \f(AD,CE) ＝3.
拓展创新
如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，
∴ eq \f(BD,MD) ＝ eq \f(DC,DA) ，
又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC＋∠CDM＝∠ADM＋∠MDC，
即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，
∴ eq \f(BM,CA) ＝ eq \f(DM,AD) ＝ eq \r(3) ，
∵AC＝2 eq \r(3) ，∴BM＝2 eq \r(3) × eq \r(3) ＝6，
∴AM＝ eq \r(BM2－AB2) ＝ eq \r(62－42) ＝2 eq \r(5) ，
∴AD＝ eq \f(1,2) AM＝ eq \r(5) .
易错点 对应关系不明确导致漏解．
【案例】(2021·天津质检)如图，正方形ABCD边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，且△AED与以点M，N，C为顶点的三角形相似，则CM的长是多少？
【解析】∵正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，
∴AE＝1，
∴DE＝ eq \r(AD2＋AE2) ＝ eq \r(22＋12) ＝ eq \r(5) ，
当△AED∽△CNM时， eq \f(AD,CM) ＝ eq \f(DE,MN) ，即 eq \f(2,CM) ＝ eq \f(\r(5),1) ，
解得CM＝ eq \f(2\r(5),5) ，
当△AED∽△CMN时， eq \f(AE,CM) ＝ eq \f(DE,MN) ，即 eq \f(1,CM) ＝ eq \f(\r(5),1) ，
解得CM＝ eq \f(\r(5),5) .
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