初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件第1课时习题

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1．在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝68°，∠B＝40°，∠A′＝68°，
∠C′＝72°，则这两个三角形(B)
A．全等或相似 B．相似
C．全等 D．无法确定
2．如图，已知在△ABC中，DE∥BC， eq \f(AE,AC) ＝ eq \f(1,3) ，DE＝2，则BC的长是(D)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．(2021·襄阳质检)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B.那么下列各判断中，错误的是(D)
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD
C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB
4．(2021·长治质检)如图，P为等边△ABC边BC上一点，且∠APD＝60°，BP＝4，CD＝3，则△ABC的边长为__16__.
5．(2021·朔州质检)如图，在△ABC中，D是BC上的点，且AB＝AC＝DC，∠B＝36°.求证：△ABC∽△DBA.
【证明】∵AB＝AC，∠B＝36°，
∴∠C＝36°.
又∵AC＝DC，
∴∠DAC＝ eq \f(180°－36°,2) ＝72°.
∴∠DAB＝180°－2×36°－72°＝36°，
∴∠DAB＝∠C.
又∵∠B是公共角，
∴△ABC∽△DBA.
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
(1)求证：△BDE∽△BAC；
(2)已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．
【解析】见全解全析
利用两边成比例且夹角相等判定两三角形相似
7. (2020·威海中考)如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补．若AC＝1.5，BC＝2，则OC＝__ eq \r(3) __．
8．(2021·德阳质检)如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝2，AB＝ eq \f(9,2) ，BC＝3.求证：△BCD∽△BAC.
【证明】∵BD＝2，AB＝ eq \f(9,2) ，BC＝3.
∴ eq \f(BD,BC) ＝ eq \f(2,3) ， eq \f(BC,BA) ＝ eq \f(\f(3,9),2) ＝ eq \f(2,3) ，
∴ eq \f(BD,BC) ＝ eq \f(BC,BA) ，
而∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC.
9．(2021·泸州质检)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝ eq \f(1,4) DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G，连接BE.
(1)求证：△ABE∽△DEF.
(2)若正方形的边长为4，求BG的长．
【解析】(1)∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90 °.
∵AE＝ED，∴AE∶AB＝1∶2，
∵DF＝ eq \f(1,4) DC，
∴DF∶DE＝1∶2，∴AE∶AB＝DF∶DE，
∴△ABE∽△DEF；
(2)∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，∴△EDF∽△GCF，
∴ED∶CG＝DF∶CF，
又∵DF＝ eq \f(1,4) DC，正方形的边长为4，
∴ED＝2，CG＝6，∴BG＝BC＋CG＝10.
1．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是(C)
A．都含有一个40°的内角
B．都含有一个50°的内角
C．都含有一个60°的内角
D．都含有一个70°的内角
2．(2021·黄石质检)如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有(C)
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
3．(2020·遂宁中考)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则 eq \f(BE,EG) 的值为(C)
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3) C． eq \f(2,3) D． eq \f(3,4)
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.CD是斜边AB上的高，若得到CD2＝BD·AD这个结论可证明__△ADC__∽__△CDB__．
5．(2021·安徽质检)如图，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝8 cm，D是AB上一点且AD＝2 cm，点E在边AC上，当AE＝ __ eq \f(8,3) 或1.5__ cm时，使得△ADE与△ABC相似．
6．(2021·重庆质检)如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC＝∠B，CD＝CE，证明△ACE∽△BAD.
【证明】∵CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠DAC＝∠B，∴△ACE∽△BAD.
7．(2021·商丘质检)如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG.
(1)求证：△ABC∽△ADE；
(2)若DE＝3, eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(2,5) ，求BC的长
【解析】(1)∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，
∴AF⊥BC，AG⊥DE，
∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，
∴∠BAF＋∠B＝90°，∠DAG＋∠ADG＝90°，
∵∠BAF＝∠DAG，
∴∠B＝∠ADG，
又∵∠EAD＝∠BAC，
∴△ABC∽△ADE；
(2)∵△ADE∽△ABC，∴ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(DE,BC) ，
又∵DE＝3, eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(2,5)
∴ eq \f(2,5) ＝ eq \f(3,BC) ，∴BC＝ eq \f(15,2) .
8．(2021·甘肃质检)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm.动点M，N从点C同时出发，均以每秒1 cm的速度分别沿CA，CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2 cm的速度沿BA向终点A移动．连接PM，PN.设移动时间为t(单位：秒，0(1)当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
(2)是否存在某一时刻t，使△PMN 的面积恰好是△ABC 面积的 eq \f(1,4) ；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【解析】见全解全析
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