2021学年6.4 平面向量的应用学案

这是一份2021学年6.4 平面向量的应用学案，共6页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
【自主学习】
一．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
1.建立平面几何与向量的联系，用 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 ．
2.通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
3.把运算结果“翻译”成几何关系．
二．向量在物理中的应用
1.物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是 ．
2.物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 ．用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也用坐标运算．
3.力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|csθ(θ为F和s的夹角)．
【小试牛刀】
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，则直线AB与直线CD平行．( )
(2)若四边形ABCD是矩形，则必有eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0.( )
(3)力的合成与分解体现了向量的加减运算．( )
(4)动量mv是数乘向量．( )
(5)功是力F与位移s的数量积，即W＝F·s.( )
【经典例题】
题型一 向量在平面几何中的应用
点拨：向量法解决平面几何问题的两种方法
1.基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
2.坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．
一般地，题目中已建好坐标系或易建坐标系的问题适合用坐标法.
例1 如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2.求对角线AC的长．
分析：本题是求线段长度的问题，转化为求向量的模来解决．

【跟踪训练】1 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
题型二 向量在物理中的应用
例2 用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为 。
【跟踪训练】2已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．
【当堂达标】
1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是( )
A．(8,0)B．(9,1)
C．(－1,9)D．(3,1)
2.在四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，则四边形为( )
A．平行四边形B．矩形
C．等腰梯形D．菱形
3.已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10 m/s B．2eq \r(26) m/s
C．4eq \r(6) m/s D．12 m/s
4.在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则eq \(BA,\s\up15(→))·eq \(BC,\s\up15(→))＝ .
5.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝eq \f(1,2)DC．
求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．
6.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h，若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．
【参考答案】
【自主学习】
向量 向量问题 向量运算 向量 加减法运算
【小试牛刀】
(1) × (2) √ (3) √ (4) √ (5) √
【经典例题】
例1 解 设eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，
而|eq \(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)＝eq \r(5－2a·b)＝2，①
∴|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b.
∵由①得2a·b＝1.
∴|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝6，∴|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6).
【跟踪训练】1 [证明] 证法一：设eq \(AD,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
又eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(b,2)，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝b＋eq \f(a,2)，
所以eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(a,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(b,2)))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(b2,2)＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0.
故eq \(AF,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.
证法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \(DE,\s\up6(→))＝(1，－2)．
因为eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq \(AF,\s\up6(→))⊥eq \(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.
例2 10N 解析：如图，由题意得|eq \(OA,\s\up15(→))|＝|eq \(OB,\s\up15(→))|，∠AOB＝120°，|eq \(OG,\s\up15(→))|＝10 N，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则四边形OACB为菱形且∠CAO＝60°，eq \(OC,\s\up15(→))＝eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→))，|eq \(OC,\s\up15(→))|＝|eq \(OG,\s\up15(→))|＝10 N，所以|eq \(OA,\s\up15(→))|＝|eq \(OB,\s\up15(→))|＝10 N.
【跟踪训练】2解：(1)eq \(AB,\s\up15(→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·eq \(AB,\s\up15(→))＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·eq \(AB,\s\up15(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
所以力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.
(2)W＝F·eq \(AB,\s\up15(→))＝(F1＋F2)·eq \(AB,\s\up15(→))＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．
所以合力F对质点所做的功为－102 J.
【当堂达标】
1.B 解析：∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故选B．
2.D 解析：由eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，得eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为平行四边形．又eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D．
3.B 解析：设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝eq \r(v2－2v·v1＋v\\al(2,1))＝2eq \r(26)(m/s)．故选B.
4.16 解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝4eq \r(2)，∠ABC＝45°，∴eq \(BA,\s\up15(→))·eq \(BC,\s\up15(→))＝4eq \r(2)×4×cs45°＝16.
5. 解 (1)设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.∴|eq \(AD,\s\up6(→))|2＝eq \(AD,\s\up6(→))2＝(eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b)2＝eq \f(4,9)a2＋2×eq \f(2,9)a·b＋eq \f(1,9)b2＝eq \f(4,9)×9＋2×eq \f(2,9)×3×3×cs120°＋eq \f(1,9)×9＝3.
故AD＝eq \r(3).
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角．
∵csθ＝eq \f(\(AD,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(2,3)a＋\f(1,3)b·b,\r(3)×3)＝eq \f(\f(1,3)b2＋\f(2,3)a·b,3\r(3))＝eq \f(\f(1,3)×9＋\f(2,3)×3×3×－\f(1,2),3\r(3))＝0，
∴θ＝90°，即∠DAC＝90°
6.解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h，该帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2，由题意，可得向量v1＝(20cs60°，20sin60°)＝(10,10eq \r(3))，向量v2＝(20,0)，则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10,10eq \r(3))＋(20,0)＝(30,10eq \r(3))，
所以|v|＝eq \r(302＋10\r(3)2)＝20eq \r(3)(km/h)．
因为tanα＝eq \f(10\r(3),30)＝eq \f(\r(3),3)(α为v和v2的夹角，α为锐角)，
所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20eq \r(3) km/h.素 养 目 标
学 科 素 养
1．能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．
2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法和步骤．
1.数学运算;
2.数学抽象；
3.数学建模.