资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩5页未读，
继续阅读
所属成套资源：2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）
成套系列资料，整套一键下载
专题05 规律探究-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）
展开
这是一份专题05 规律探究-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版），文件包含专题05规律探究压轴题专项讲练苏科版解析版docx、专题05规律探究压轴题专项讲练苏科版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
专题05 规律探究（压轴题专项讲练）
【典例1】观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ 2＝ 2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ 2＝ 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
【思路点拨】
（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（3）利用（2）中的结论进行计算．
【解答过程】
解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案为：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[n(n+1)2]2，
故答案为：（1+2+3+...+n）；[n(n+1)2]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[20×(1+20)2]2﹣[15×(1+15)2]2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．
1．（2021•昭阳区校级模拟）按一定规律排列的单项式：−a32，a64，−a98，a1216，…，则第n个单项式是（ ）
A．（﹣1）n﹣1a3n2n−1 B．（﹣1）na3n2n
C．（﹣1）n﹣1a3n2n D．（﹣1）na3(n−1)2n−1
【思路点拨】
由所给的单项式可看出，分母为2n，分子为a3n，奇数项为负，偶数项为正，据此即可作答．
【解答过程】
解：∵−a32=（﹣1）1×a3×121，
a64=（﹣1）2×a3×222，
−a98=（﹣1）3×a3×323，
a1216=（﹣1）4×a3×424，
…，
∴第n个单项式为：（﹣1）na3n2n．
故选：B．
2．（2021•五华区二模）列数81，82，83，84，…，82022，其中个位数字是8的数有（ ）
A．672个 B．506个 C．505个 D．252个
【思路点拨】
前面5个数的个位数分别是8，4，2，6，8，从而发现这列数的个位数字以8，4，2，6，每4个数循环出现，据此可解答．
【解答过程】
解：∵81的个位数字是8，
82的个位数字是4，
83的个位数字是2，
84的个位数字是6，
85的个位数字是8，
86的个位数字是4，
…
∴这列数的个位数字以8，4，2，6，每4个数循环出现，
∵2022÷4＝505…2，
∴第2021个数的个位数是8，
∴个数数字是8的个数为：505+1＝506（个）．
故选：B．
3．（2020秋•天桥区期末）对一组数（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定Pn（x，y）＝P1（Pn﹣1（x，y））为大于1的整数．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2），则＝P2021（1，﹣1）＝（ ）
A．（0，﹣21010） B．（21010，﹣21010）
C．（0，21011） D．（21011，21011）
【思路点拨】
根据数字的变化规律进行计算即可．
【解答过程】
解：根据题意的数字变换可知：
P1 （1，﹣1）＝（0，2），
P2 （1，﹣1）＝（2，﹣2），
P3 （1，﹣1）＝（0，4），
P4 （1，﹣1）＝（4，﹣4），
P5 （1，﹣1）＝（0，8），
P6 （1，﹣1）＝（8，﹣8），
…
发现规律：
当n为奇数时，
Pn（1，﹣1）＝（0，2n+12），
∴P2021（1，﹣1）＝（0，21011），
故选：C．
4．（2021•房县一模）将正整数按如图所示的位置顺序排列：
根据排列规律，则2021应在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【思路点拨】
规律：在A位置的数被4除余2，在B位置的数被4除余3，在C位置的数被4整除，在D位置的数被4除余1；由2021÷4＝505…1，即可得出结果．
【解答过程】
解：2021÷4＝505…1，
∴2021应在1的位置，也就是在D处．
故选：D．
5．（2020秋•巴南区期末）如图，古希腊人常用小石子（小黑点）在沙滩上摆成各种图形来研究数．例如：图1表示数字1，图2表示数字5，图3表示数字12，图4表示数字22，…，依次规律，图6表示数字（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
【思路点拨】
由图形可看出每一条边的小石子数是一样的，从而不难发现每增加一层，其增加的小石子数为3n﹣2，从而可求解．
【解答过程】
解：观察图形发现：
图1有1个小石子，
图2有1+（3×2﹣2）＝5个小石子，
图3有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）＝12个小石子，
图4有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）+（3×4﹣2）＝22个小石子，
图5有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）+（3×4﹣2）+（3×5﹣2）＝35个小石子，
图6有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）+（3×4﹣2）+（3×5﹣2）+（3×6﹣2）＝51个小石子，
故选：C．
6．（2021•玉林）观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Yn表示，则Y9﹣Y4＝（ ）
A．15×24 B．31×24 C．33×24 D．63×24
【思路点拨】
根据已知图中规律可得：Yn＝1+2+22+23+24+25+26+27+•••+2n﹣1，相减可得结论．
【解答过程】
解：由题意得：
第1个图：Y1＝1，
第2个图：Y2＝3＝1+2，
第3个图：Y3＝7＝1+2+22，
第4个图：Y4＝15＝1+2+22+23，
•••
第9个图：Y9＝1+2+22+23+24+25+26+27+28，
∴Y9﹣Y4＝24+25+26+27+28＝24（1+2+22+23+24）＝24×（3+4+8+16）＝24×31．
故选：B．
7．（2021•北碚区校级模拟）汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点…依此规律则，图⑧中共有圆点的个数是（ ）
A．63 B．75 C．88 D．102
【思路点拨】
观察并比较每两个相邻的“汉字”的相同与不同之处，得出每两个相邻的“汉字”中后一个“汉字”前半部分与前一个“汉字”的前半部分圆点数量相等，后一个“汉字”的后半部分的圆点数总是前一个“汉字”后半部分顶部加上图案序号多2个的圆点与底部添加两个圆点，进而解决该题．
【解答过程】
解：在图①中，圆点个数为y1＝12个．
在图②中，圆点个数为y2＝y1+2+4＝18个．
在图③中，圆点个数为y3＝y2+2+5＝25个．
在图④中，圆点个数为y4＝y3+2+6＝33个．
..．
以次类推，在图⑧中，圆点个数为y8＝y7+（2+10）＝y6+（2+9）+12
＝y5+（2+8）+11+12
＝y4+（2+7）+10+11+12
＝33+9+10+11+12
＝75．
故选：B．
8．（2021•城中区四模）观察下面三行数：
﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…；①
0，12，﹣24，84，﹣240，…；②
﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…；③
然后在每行中取第6个数，则这三个数的和为 ．
【思路点拨】
根据题目中的数字，可以写出每行的第n个数，从而可以发现第②行数与第①行数的关系，然后写出每行中的第6个数，再相加即可．
【解答过程】
解：∵﹣3，9，﹣27，81，﹣243…； ①
0，12，﹣24，84，﹣240…； ②
﹣1，3，﹣9，27，﹣81…； ③
∴第一行的第n个数为（﹣3）n，第二行的第n个数为（﹣3）n+3，第三行的第n个数为(−3)n3，
∴第②行数与第①行数的关系是：第②行数的数字等于对应的第①行的数字加3；
当n＝6时，第一行的数为（﹣3）6，第二行的数为（﹣3）6+3，第三行的数为(−3)63，
（﹣3）6+[（﹣3）6+3]+(−3)63
＝729+（729+3）+7293
＝729+732+243
＝1704，
故答案为：1704．
9．（2020秋•天桥区期末）小刚在做数学题时，发现下面有趣的结果：
第1行：3﹣2＝1
第2行：8+7﹣6﹣5＝4
第3行：15+14+13﹣12﹣11﹣10＝9
第4行：24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17＝16
……
根据以上规律，“2021”在第m行，从左往右数第n个，那么m+n＝ ．
【思路点拨】
根据左起第一个数3，8，15，24…的变化规律得出第n行左起第一个数为（n+1）2﹣1，每一行数的个数为2n+1，由此估算出2021所在的行数，以及所在行数的位置即可．
【解答过程】
解：∵（43+1）2﹣1＝1935，
（44+1）2﹣1＝2024，
∴2021这个数出现在第44行，左起第2024﹣2021+1＝4个数．
∴m＝44，n＝4，
∴m+n＝44+4＝48，
故答案为48．
10．（2021•蚌埠二模）观察下列等式：
第1个等式：12＝13；
第2个等式：（1+2）2＝13+23；
第3个等式：（1+2+3）2＝13+23+33；
第4个等式：（1+2+3+4）2＝13+23+33+43；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出第n（n为正整数）个等式： （用含n的等式表示）；
（3）利用你发现的规律求113+123+133+…+1003值．
【思路点拨】
（1）根据题目中给出的等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出第n个等式；
（3）结合（2）可以求出所求式子的值．
【解答过程】
解：（1）根据题意可知：第5个等式为：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；
故答案为：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；
（2）根据（1）可得：第n（n为正整数）个等式为：（1+2+3+4+5+...+n）2＝13+23+33+43+53+...n3；
故答案为：（1+2+3+4+5+...+n）2＝13+23+33+43+53+...n3；
（3）113+123+133+…+1003
＝13+23+33+43+53+...1003﹣（13+23+33+43+53+...103）
＝（1+2+3+...+100）2﹣（1+2+3+...+10）2
＝50502﹣552
＝25499475．
11．（2021春•庐阳区校级期末）观察下列等式：
①11×3=12×（1−13）；②13×5=12×（13−15）；③15×7=12×（15−17）…
根据上述等式的规律，解答下列问题：
（1）请写出第④个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含有n的等式表示），并证明这个等式．
（3）应用你发现的规律，计算：
21×3+23×5+25×7+27×9⋯+22019×2021．
【思路点拨】
（1）根据题目中的例子写出第④个式子即可；
（2）由所给的例子不难看出第n个等式为：1(2n−1)(2n+1)=12×[12n−1−12n+1]，把等式右边进行运算即可证明；
（3）所求的式子先提取一个2出来，再利用发现的规律进行运算即可．
【解答过程】
解：（1）第④个等式为：17×9=12×(17−19)；
故答案为：17×9=12×(17−19)；
（2）∵①11×3=12×（1−13），整理得：1(2×1−1)×(2×1+1)=12×(12×1−1−12×1+1)；
②13×5=12×（13−15），整理得1(2×2−1)×(2×2+1)=12×(12×2−1−12×2+1)；
③15×7=12×（15−17），整理得：1(2×3−1)×(2×3+1)=12×(12×3−1−12×3+1)；
…
∴第n个等式为：1(2n−1)(2n+1)=12×[12n−1−12n+1]，
证明：右边=12×[2n+1(2n−1)(2n+1)−2n−1(2n−1)(2n+1)]
=12×2n+1−2n+1(2n−1)(2n+1)
=12×2(2n−1)(2n+1)
=1(2n−1)(2n+1)，
∴左边＝右边．
（3）21×3+23×5+25×7+27×9+⋯+22019×2021
＝2×（11×3+13×5+15×7+17×9+⋯+12019×2021）
＝2×12×（1−13+13−15+15−17+17−19+⋯+12019−12021）
＝1−12021
=20202021．
12．（2020秋•福田区期末）如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：
解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式
在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式
式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解运用】计算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．
【思路点拨】
（1）利用题中的方法求出原式的值即可；
（2）根据题中的方法利用加法即可．
【解答过程】
解：（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3+32+33+…+3101，②
②﹣①得：2S＝3101﹣1，即S=3101−12，
则原式=3101−12；
（2）设S＝1﹣3+32﹣33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3﹣32+33﹣…+3101，②
②+①得：4S＝3101+1，即S=3101+14，
则原式=3101+14．
13．（2021春•邗江区校级期末）（1）填空：21﹣20＝2（ ）、22﹣21＝2（ ）、23﹣22＝2（ ）、…
（2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式： ；
（3）直接计算：2200﹣2199﹣2198﹣…﹣22﹣21＝ ；
（4）利用（2）中发现的规律计算：21000+21001+21002+…+22020+22021．
【思路点拨】
（1）通过计算即可填空；
（2）结合（1）中式子的规律，即可写出第n个等式；
（3）根据（2）中式子的规律，即可计算；
（3）利用（2）中发现的规律计算即可．
【解答过程】
解：（1）21﹣20＝20、22﹣21＝21、23﹣22＝22，
故答案为：0、1、2；
（2）第n个等式：2n﹣2n﹣1＝2n﹣1；
故答案为：2n﹣2n﹣1＝2n﹣1；
（3）2200﹣2199﹣2198﹣…﹣22﹣21
＝2199﹣2198﹣…﹣22﹣21
＝2198﹣…﹣22﹣21
＝22﹣21
＝21
＝2；
故答案为：2；
（4）21000+21001+21002+…+22020+22021
＝（21001﹣21000）+（21002﹣21001）+（21003﹣21002）+…+（22022﹣22021）
＝21001﹣21000+21002﹣21001+21003﹣21002+…+22022﹣22021
＝22022﹣21000．
14．（2021•西城区校级开学）计算：13(1+12)(1+13)+14(1+12)(1+13)(1+14)+⋯+12021(1+12)(1+13)(1+14)⋯(1+12021)．
【思路点拨】
将各项化简然后提取2倍，再裂项相消计算即可．
【解答过程】
解：原式=1332×43+1432×43×54+...+1202132×43×54×...×20222021
=13×24+14×25+...+12021×22022
＝2×（13×14+14×15+...+12021×12022）
＝2×（13−14+14−15+...+12021−12022）
＝2×（13−12022）
=6731011．
15．（2021•西城区校级开学）（12+13+⋯+12021）+（23+24+⋯+22021）+（34+35+⋯+32021）+…+（20192020+20192021）+20202021．
【思路点拨】
先去括号通分，然后找规律计算即可．
【解答过程】
解：原式=12+1+23+1+2+34+1+2+3+45+...+1+2+3+...+20202021
=12+22+32+42+...+20202
=1+2+3+4+...+20202
=2020×(2020+1)22
＝505×2021
＝1020605．
16．（2021•安徽模拟）观察下列图形与等式：
（1）观察图形，写出第（7）个等式： ；根据图中规律，写出第n个图形的规律： ；（用含有n的式子表示）
（2）求出10+11+…+80的值．
【思路点拨】
（1）观察图形的变化可得第（7）个等式，进而可得第n个图形的规律；
（2）根据（1）中第n个图形的规律即可进行计算．
【解答过程】
解：（1）根据图形的变化可知：第（7）个等式为：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；
所以第n个图形的规律为：（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2；
故答案为：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2；
（2）因为（1+2+3+4+...+80）×2+81＝812，
（1+2+3+4+..+9）×2+10＝102，
1+2+3+4+...+80=812−812=3240，
1+2+3+4+...+9=102−102=45，
所以10+11+…+80＝（1+2+3+4+...+80）﹣（1+2+3+4+...+9）＝3195．
17．（2021•瑶海区二模）将围棋的白色棋子按如图所示的方式排列，图中的白色棋子被折线隔开分成若干层，第一层有1个白色棋子，第二层有3个白色棋子，第三层有5个白色棋子，第四层有7个白色棋子，…，以此类推，请观察图形规律，解答下列问题：
（1）第n层有 个白色棋子，图中从第一层到第n层一共有 个白色棋子；
（2）利用发现的规律计算：1921+1923+1925+…+2021的和．
【思路点拨】
（1）根据已知数据即可得出每一小层白色棋子个数是连续的奇数，进而得出答案；
（2）利用前面的规律即可得出答案．
【解答过程】
解：（1）根据题意得，
第一层有2×1﹣1＝1个白色棋子，
第二层有2×2﹣1＝3个白色棋子，
第三层有2×3﹣1＝5个白色棋子，
第四层有2×4﹣1＝7个白色棋子，
…，
∴第n层由2n﹣1（个）白色棋子；
从第一层到第二层共有1+3＝4＝22个白色棋子；
从第一层到第三层共有1+3+5＝9＝32个白色棋子；
从第一层到第四层共有1+3+5+7＝16＝42个白色棋子；
⋯
∴图中从第一层到第n层一共有 1+3+5+7+⋯+（2n﹣1）＝n2（个）白色棋子；
故答案为：（2n﹣1）；n2．
（2）1921+1923+1925+…+2021
＝（1+3+5+7+⋯+2021）﹣（1+3+5+7+⋯+1919）
＝10112﹣9602
＝100521．
18．（2021•砀山县一模）如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律．
根据此规律，回答下列问题：
（1）第5个图中4个数的和为 ．
（2）a＝ ；c＝ ．
（3）根据此规律，第n个正方形中，d＝2564，则n的值为 ．
【思路点拨】
（1）观察图形可得第5个图中4个数，相加即可求解；
（2）由已知图形得出a＝（﹣1）n•2n﹣1，b＝2a＝（﹣1）n•2n，c＝b+4＝（﹣1）n•2n+4，即可求解；
（3）根据d＝a+b+c＝5×（﹣1）n•2n﹣1+4＝2564求解可得．
【解答过程】
解：（1）第5个图形中的4个数分别是﹣16，﹣32，﹣28，﹣76
4个数的和为：﹣16﹣32﹣28﹣76＝﹣152．
（2）a＝（﹣1）n•2n﹣1；
b＝2a＝（﹣1）n•2n，
c＝b+4＝（﹣1）n•2n+4．
（3）根据规律知道，若d＝2564＞0，
则n为偶数，
当n为偶数时a＝2n﹣1，b＝2n，c＝2n+4，2n﹣1+2n+2n+4＝2564，
依题意有2n﹣1+2n+2n＝2560，
解得n＝10．
故答案为：﹣152；（﹣1）n•2n﹣1；（﹣1）n•2n+4；10．
19．（2020秋•海淀区校级期中）德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做如下：
取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；
将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；
再将剩下四条线段分别等三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；
…，
一直如此操作下去，在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多．
如图是最初几个阶段，
（1）当达到第5个阶段时，余下的线段条数为 ；
（2）当达到第n个阶段时（n为正整数），去掉的线段的长度之和为 ．（用含n的式子表示）
【思路点拨】
根据题意具体表示出前几个式子，然后推而广之发现规律．
【解答过程】
解：（1）根据题意知：第一阶段时，余下的线段的条数为2，
第二阶段时，余下的线段的条数为4＝22，
第三阶段时，余下的线段的条数为8＝23…
以此类推，
第五个阶段时，余下的线段的条数为25＝32；
故答案为：32；
（2）根据题意知：第一阶段时，余下的线段长度为23，
第二阶段时，余下的线段长度为23×23=（23）2，
第三阶段时，余下的线段长度为23×23×23=（23）3，
…
以此类推，
当达到第n个阶段时（n为正整数），余下的线段长度为（23）n．
∴当达到第n个阶段时（n为正整数），去掉的线段的长度之和为1﹣（23）n，
故答案为1﹣（23）n．
20．（2020秋•锦江区校级期中）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数．
（1）当图（1）中小圆圈有10层的时候小圆圈的个数是： ；
（2）图（2）中的小圆圈一共有 个（用含n的代数式表示）
（3）如果图（1）中的圆圈共有13层，图（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边第三个圆圈中的数是 ；
（4）我们自上往下，在每个圆圈中都按图（4）的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，一共填写13层，求图（4）中所有圆圈中各数的绝对值之和．
【思路点拨】
（1）计算第10层小圆圈的个数，就是计算1加到10的数的和；
（2）计算n层时，一共圆圈的个数，再乘以2得图（2）圆圈的个数；
（3）首先计算12层圆圈的个数，可得第13层第1个数，由此得第三个圆圈中的数；
（4）首先计算圆圈的个数，把所有数的绝对值相加即可．
【解答过程】
解：（1）如图（1），当小圆圈有10层时，图中共有：1+2+3+…+10＝55个圆圈；
故答案为：55；
（2）当有n层时，一个正三角形共有：1+2+3+…+n=n(n+1)2个圆圈，
∴图（2）中的小圆圈一共有：n（n+1）个，
故答案为：n（n+1）；
（3）图（1）中，当有12层时，图中共有：1+2+3+…+12＝78个圆圈；
∴如果图（1）中的圆圈共有13层，最底层最左边第一个圆圈中的数是79，
则第三个圆圈中的数是：78+3＝81，
故答案为：81；
（4）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+13=13(1+13)2=91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，
所以图4中所有圆圈中各数的绝对值之和为：
|﹣23|+|﹣22|+…+|﹣1|+0+1+2+…+67，
＝（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+67），
＝276+2278，
＝2554．
专题05 规律探究（压轴题专项讲练）
【典例1】观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ 2＝ 2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ 2＝ 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
【思路点拨】
（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（3）利用（2）中的结论进行计算．
【解答过程】
解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案为：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[n(n+1)2]2，
故答案为：（1+2+3+...+n）；[n(n+1)2]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[20×(1+20)2]2﹣[15×(1+15)2]2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．
1．（2021•昭阳区校级模拟）按一定规律排列的单项式：−a32，a64，−a98，a1216，…，则第n个单项式是（ ）
A．（﹣1）n﹣1a3n2n−1 B．（﹣1）na3n2n
C．（﹣1）n﹣1a3n2n D．（﹣1）na3(n−1)2n−1
【思路点拨】
由所给的单项式可看出，分母为2n，分子为a3n，奇数项为负，偶数项为正，据此即可作答．
【解答过程】
解：∵−a32=（﹣1）1×a3×121，
a64=（﹣1）2×a3×222，
−a98=（﹣1）3×a3×323，
a1216=（﹣1）4×a3×424，
…，
∴第n个单项式为：（﹣1）na3n2n．
故选：B．
2．（2021•五华区二模）列数81，82，83，84，…，82022，其中个位数字是8的数有（ ）
A．672个 B．506个 C．505个 D．252个
【思路点拨】
前面5个数的个位数分别是8，4，2，6，8，从而发现这列数的个位数字以8，4，2，6，每4个数循环出现，据此可解答．
【解答过程】
解：∵81的个位数字是8，
82的个位数字是4，
83的个位数字是2，
84的个位数字是6，
85的个位数字是8，
86的个位数字是4，
…
∴这列数的个位数字以8，4，2，6，每4个数循环出现，
∵2022÷4＝505…2，
∴第2021个数的个位数是8，
∴个数数字是8的个数为：505+1＝506（个）．
故选：B．
3．（2020秋•天桥区期末）对一组数（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定Pn（x，y）＝P1（Pn﹣1（x，y））为大于1的整数．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2），则＝P2021（1，﹣1）＝（ ）
A．（0，﹣21010） B．（21010，﹣21010）
C．（0，21011） D．（21011，21011）
【思路点拨】
根据数字的变化规律进行计算即可．
【解答过程】
解：根据题意的数字变换可知：
P1 （1，﹣1）＝（0，2），
P2 （1，﹣1）＝（2，﹣2），
P3 （1，﹣1）＝（0，4），
P4 （1，﹣1）＝（4，﹣4），
P5 （1，﹣1）＝（0，8），
P6 （1，﹣1）＝（8，﹣8），
…
发现规律：
当n为奇数时，
Pn（1，﹣1）＝（0，2n+12），
∴P2021（1，﹣1）＝（0，21011），
故选：C．
4．（2021•房县一模）将正整数按如图所示的位置顺序排列：
根据排列规律，则2021应在（ ）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【思路点拨】
规律：在A位置的数被4除余2，在B位置的数被4除余3，在C位置的数被4整除，在D位置的数被4除余1；由2021÷4＝505…1，即可得出结果．
【解答过程】
解：2021÷4＝505…1，
∴2021应在1的位置，也就是在D处．
故选：D．
5．（2020秋•巴南区期末）如图，古希腊人常用小石子（小黑点）在沙滩上摆成各种图形来研究数．例如：图1表示数字1，图2表示数字5，图3表示数字12，图4表示数字22，…，依次规律，图6表示数字（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
【思路点拨】
由图形可看出每一条边的小石子数是一样的，从而不难发现每增加一层，其增加的小石子数为3n﹣2，从而可求解．
【解答过程】
解：观察图形发现：
图1有1个小石子，
图2有1+（3×2﹣2）＝5个小石子，
图3有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）＝12个小石子，
图4有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）+（3×4﹣2）＝22个小石子，
图5有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）+（3×4﹣2）+（3×5﹣2）＝35个小石子，
图6有1+（3×2﹣2）+（3×3﹣2）+（3×4﹣2）+（3×5﹣2）+（3×6﹣2）＝51个小石子，
故选：C．
6．（2021•玉林）观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Yn表示，则Y9﹣Y4＝（ ）
A．15×24 B．31×24 C．33×24 D．63×24
【思路点拨】
根据已知图中规律可得：Yn＝1+2+22+23+24+25+26+27+•••+2n﹣1，相减可得结论．
【解答过程】
解：由题意得：
第1个图：Y1＝1，
第2个图：Y2＝3＝1+2，
第3个图：Y3＝7＝1+2+22，
第4个图：Y4＝15＝1+2+22+23，
•••
第9个图：Y9＝1+2+22+23+24+25+26+27+28，
∴Y9﹣Y4＝24+25+26+27+28＝24（1+2+22+23+24）＝24×（3+4+8+16）＝24×31．
故选：B．
7．（2021•北碚区校级模拟）汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点…依此规律则，图⑧中共有圆点的个数是（ ）
A．63 B．75 C．88 D．102
【思路点拨】
观察并比较每两个相邻的“汉字”的相同与不同之处，得出每两个相邻的“汉字”中后一个“汉字”前半部分与前一个“汉字”的前半部分圆点数量相等，后一个“汉字”的后半部分的圆点数总是前一个“汉字”后半部分顶部加上图案序号多2个的圆点与底部添加两个圆点，进而解决该题．
【解答过程】
解：在图①中，圆点个数为y1＝12个．
在图②中，圆点个数为y2＝y1+2+4＝18个．
在图③中，圆点个数为y3＝y2+2+5＝25个．
在图④中，圆点个数为y4＝y3+2+6＝33个．
..．
以次类推，在图⑧中，圆点个数为y8＝y7+（2+10）＝y6+（2+9）+12
＝y5+（2+8）+11+12
＝y4+（2+7）+10+11+12
＝33+9+10+11+12
＝75．
故选：B．
8．（2021•城中区四模）观察下面三行数：
﹣3，9，﹣27，81，﹣243，…；①
0，12，﹣24，84，﹣240，…；②
﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…；③
然后在每行中取第6个数，则这三个数的和为 ．
【思路点拨】
根据题目中的数字，可以写出每行的第n个数，从而可以发现第②行数与第①行数的关系，然后写出每行中的第6个数，再相加即可．
【解答过程】
解：∵﹣3，9，﹣27，81，﹣243…； ①
0，12，﹣24，84，﹣240…； ②
﹣1，3，﹣9，27，﹣81…； ③
∴第一行的第n个数为（﹣3）n，第二行的第n个数为（﹣3）n+3，第三行的第n个数为(−3)n3，
∴第②行数与第①行数的关系是：第②行数的数字等于对应的第①行的数字加3；
当n＝6时，第一行的数为（﹣3）6，第二行的数为（﹣3）6+3，第三行的数为(−3)63，
（﹣3）6+[（﹣3）6+3]+(−3)63
＝729+（729+3）+7293
＝729+732+243
＝1704，
故答案为：1704．
9．（2020秋•天桥区期末）小刚在做数学题时，发现下面有趣的结果：
第1行：3﹣2＝1
第2行：8+7﹣6﹣5＝4
第3行：15+14+13﹣12﹣11﹣10＝9
第4行：24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17＝16
……
根据以上规律，“2021”在第m行，从左往右数第n个，那么m+n＝ ．
【思路点拨】
根据左起第一个数3，8，15，24…的变化规律得出第n行左起第一个数为（n+1）2﹣1，每一行数的个数为2n+1，由此估算出2021所在的行数，以及所在行数的位置即可．
【解答过程】
解：∵（43+1）2﹣1＝1935，
（44+1）2﹣1＝2024，
∴2021这个数出现在第44行，左起第2024﹣2021+1＝4个数．
∴m＝44，n＝4，
∴m+n＝44+4＝48，
故答案为48．
10．（2021•蚌埠二模）观察下列等式：
第1个等式：12＝13；
第2个等式：（1+2）2＝13+23；
第3个等式：（1+2+3）2＝13+23+33；
第4个等式：（1+2+3+4）2＝13+23+33+43；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出第n（n为正整数）个等式： （用含n的等式表示）；
（3）利用你发现的规律求113+123+133+…+1003值．
【思路点拨】
（1）根据题目中给出的等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出第n个等式；
（3）结合（2）可以求出所求式子的值．
【解答过程】
解：（1）根据题意可知：第5个等式为：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；
故答案为：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；
（2）根据（1）可得：第n（n为正整数）个等式为：（1+2+3+4+5+...+n）2＝13+23+33+43+53+...n3；
故答案为：（1+2+3+4+5+...+n）2＝13+23+33+43+53+...n3；
（3）113+123+133+…+1003
＝13+23+33+43+53+...1003﹣（13+23+33+43+53+...103）
＝（1+2+3+...+100）2﹣（1+2+3+...+10）2
＝50502﹣552
＝25499475．
11．（2021春•庐阳区校级期末）观察下列等式：
①11×3=12×（1−13）；②13×5=12×（13−15）；③15×7=12×（15−17）…
根据上述等式的规律，解答下列问题：
（1）请写出第④个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含有n的等式表示），并证明这个等式．
（3）应用你发现的规律，计算：
21×3+23×5+25×7+27×9⋯+22019×2021．
【思路点拨】
（1）根据题目中的例子写出第④个式子即可；
（2）由所给的例子不难看出第n个等式为：1(2n−1)(2n+1)=12×[12n−1−12n+1]，把等式右边进行运算即可证明；
（3）所求的式子先提取一个2出来，再利用发现的规律进行运算即可．
【解答过程】
解：（1）第④个等式为：17×9=12×(17−19)；
故答案为：17×9=12×(17−19)；
（2）∵①11×3=12×（1−13），整理得：1(2×1−1)×(2×1+1)=12×(12×1−1−12×1+1)；
②13×5=12×（13−15），整理得1(2×2−1)×(2×2+1)=12×(12×2−1−12×2+1)；
③15×7=12×（15−17），整理得：1(2×3−1)×(2×3+1)=12×(12×3−1−12×3+1)；
…
∴第n个等式为：1(2n−1)(2n+1)=12×[12n−1−12n+1]，
证明：右边=12×[2n+1(2n−1)(2n+1)−2n−1(2n−1)(2n+1)]
=12×2n+1−2n+1(2n−1)(2n+1)
=12×2(2n−1)(2n+1)
=1(2n−1)(2n+1)，
∴左边＝右边．
（3）21×3+23×5+25×7+27×9+⋯+22019×2021
＝2×（11×3+13×5+15×7+17×9+⋯+12019×2021）
＝2×12×（1−13+13−15+15−17+17−19+⋯+12019−12021）
＝1−12021
=20202021．
12．（2020秋•福田区期末）如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：
解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式
在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式
式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解运用】计算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．
【思路点拨】
（1）利用题中的方法求出原式的值即可；
（2）根据题中的方法利用加法即可．
【解答过程】
解：（1）设S＝1+3+32+33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3+32+33+…+3101，②
②﹣①得：2S＝3101﹣1，即S=3101−12，
则原式=3101−12；
（2）设S＝1﹣3+32﹣33+…+3100，①
①式两边都乘以3，得3S＝3﹣32+33﹣…+3101，②
②+①得：4S＝3101+1，即S=3101+14，
则原式=3101+14．
13．（2021春•邗江区校级期末）（1）填空：21﹣20＝2（ ）、22﹣21＝2（ ）、23﹣22＝2（ ）、…
（2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式： ；
（3）直接计算：2200﹣2199﹣2198﹣…﹣22﹣21＝ ；
（4）利用（2）中发现的规律计算：21000+21001+21002+…+22020+22021．
【思路点拨】
（1）通过计算即可填空；
（2）结合（1）中式子的规律，即可写出第n个等式；
（3）根据（2）中式子的规律，即可计算；
（3）利用（2）中发现的规律计算即可．
【解答过程】
解：（1）21﹣20＝20、22﹣21＝21、23﹣22＝22，
故答案为：0、1、2；
（2）第n个等式：2n﹣2n﹣1＝2n﹣1；
故答案为：2n﹣2n﹣1＝2n﹣1；
（3）2200﹣2199﹣2198﹣…﹣22﹣21
＝2199﹣2198﹣…﹣22﹣21
＝2198﹣…﹣22﹣21
＝22﹣21
＝21
＝2；
故答案为：2；
（4）21000+21001+21002+…+22020+22021
＝（21001﹣21000）+（21002﹣21001）+（21003﹣21002）+…+（22022﹣22021）
＝21001﹣21000+21002﹣21001+21003﹣21002+…+22022﹣22021
＝22022﹣21000．
14．（2021•西城区校级开学）计算：13(1+12)(1+13)+14(1+12)(1+13)(1+14)+⋯+12021(1+12)(1+13)(1+14)⋯(1+12021)．
【思路点拨】
将各项化简然后提取2倍，再裂项相消计算即可．
【解答过程】
解：原式=1332×43+1432×43×54+...+1202132×43×54×...×20222021
=13×24+14×25+...+12021×22022
＝2×（13×14+14×15+...+12021×12022）
＝2×（13−14+14−15+...+12021−12022）
＝2×（13−12022）
=6731011．
15．（2021•西城区校级开学）（12+13+⋯+12021）+（23+24+⋯+22021）+（34+35+⋯+32021）+…+（20192020+20192021）+20202021．
【思路点拨】
先去括号通分，然后找规律计算即可．
【解答过程】
解：原式=12+1+23+1+2+34+1+2+3+45+...+1+2+3+...+20202021
=12+22+32+42+...+20202
=1+2+3+4+...+20202
=2020×(2020+1)22
＝505×2021
＝1020605．
16．（2021•安徽模拟）观察下列图形与等式：
（1）观察图形，写出第（7）个等式： ；根据图中规律，写出第n个图形的规律： ；（用含有n的式子表示）
（2）求出10+11+…+80的值．
【思路点拨】
（1）观察图形的变化可得第（7）个等式，进而可得第n个图形的规律；
（2）根据（1）中第n个图形的规律即可进行计算．
【解答过程】
解：（1）根据图形的变化可知：第（7）个等式为：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；
所以第n个图形的规律为：（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2；
故答案为：（1+2+3+4+5+6）×2+7＝72；（1+2+3+...+n﹣1）×2+n＝n2；
（2）因为（1+2+3+4+...+80）×2+81＝812，
（1+2+3+4+..+9）×2+10＝102，
1+2+3+4+...+80=812−812=3240，
1+2+3+4+...+9=102−102=45，
所以10+11+…+80＝（1+2+3+4+...+80）﹣（1+2+3+4+...+9）＝3195．
17．（2021•瑶海区二模）将围棋的白色棋子按如图所示的方式排列，图中的白色棋子被折线隔开分成若干层，第一层有1个白色棋子，第二层有3个白色棋子，第三层有5个白色棋子，第四层有7个白色棋子，…，以此类推，请观察图形规律，解答下列问题：
（1）第n层有 个白色棋子，图中从第一层到第n层一共有 个白色棋子；
（2）利用发现的规律计算：1921+1923+1925+…+2021的和．
【思路点拨】
（1）根据已知数据即可得出每一小层白色棋子个数是连续的奇数，进而得出答案；
（2）利用前面的规律即可得出答案．
【解答过程】
解：（1）根据题意得，
第一层有2×1﹣1＝1个白色棋子，
第二层有2×2﹣1＝3个白色棋子，
第三层有2×3﹣1＝5个白色棋子，
第四层有2×4﹣1＝7个白色棋子，
…，
∴第n层由2n﹣1（个）白色棋子；
从第一层到第二层共有1+3＝4＝22个白色棋子；
从第一层到第三层共有1+3+5＝9＝32个白色棋子；
从第一层到第四层共有1+3+5+7＝16＝42个白色棋子；
⋯
∴图中从第一层到第n层一共有 1+3+5+7+⋯+（2n﹣1）＝n2（个）白色棋子；
故答案为：（2n﹣1）；n2．
（2）1921+1923+1925+…+2021
＝（1+3+5+7+⋯+2021）﹣（1+3+5+7+⋯+1919）
＝10112﹣9602
＝100521．
18．（2021•砀山县一模）如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律．
根据此规律，回答下列问题：
（1）第5个图中4个数的和为 ．
（2）a＝ ；c＝ ．
（3）根据此规律，第n个正方形中，d＝2564，则n的值为 ．
【思路点拨】
（1）观察图形可得第5个图中4个数，相加即可求解；
（2）由已知图形得出a＝（﹣1）n•2n﹣1，b＝2a＝（﹣1）n•2n，c＝b+4＝（﹣1）n•2n+4，即可求解；
（3）根据d＝a+b+c＝5×（﹣1）n•2n﹣1+4＝2564求解可得．
【解答过程】
解：（1）第5个图形中的4个数分别是﹣16，﹣32，﹣28，﹣76
4个数的和为：﹣16﹣32﹣28﹣76＝﹣152．
（2）a＝（﹣1）n•2n﹣1；
b＝2a＝（﹣1）n•2n，
c＝b+4＝（﹣1）n•2n+4．
（3）根据规律知道，若d＝2564＞0，
则n为偶数，
当n为偶数时a＝2n﹣1，b＝2n，c＝2n+4，2n﹣1+2n+2n+4＝2564，
依题意有2n﹣1+2n+2n＝2560，
解得n＝10．
故答案为：﹣152；（﹣1）n•2n﹣1；（﹣1）n•2n+4；10．
19．（2020秋•海淀区校级期中）德国数学家康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，做如下：
取一条长度为1的线段三等分后，去掉中间段，余下两条线段，达到第1阶段；
将剩下的两条线段分别三等分后，各去掉中间段，余下四条线段，达到第2阶段；
再将剩下四条线段分别等三等分后，各去掉中间段，余下八条线段，达到第3阶段；
…，
一直如此操作下去，在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多．
如图是最初几个阶段，
（1）当达到第5个阶段时，余下的线段条数为 ；
（2）当达到第n个阶段时（n为正整数），去掉的线段的长度之和为 ．（用含n的式子表示）
【思路点拨】
根据题意具体表示出前几个式子，然后推而广之发现规律．
【解答过程】
解：（1）根据题意知：第一阶段时，余下的线段的条数为2，
第二阶段时，余下的线段的条数为4＝22，
第三阶段时，余下的线段的条数为8＝23…
以此类推，
第五个阶段时，余下的线段的条数为25＝32；
故答案为：32；
（2）根据题意知：第一阶段时，余下的线段长度为23，
第二阶段时，余下的线段长度为23×23=（23）2，
第三阶段时，余下的线段长度为23×23×23=（23）3，
…
以此类推，
当达到第n个阶段时（n为正整数），余下的线段长度为（23）n．
∴当达到第n个阶段时（n为正整数），去掉的线段的长度之和为1﹣（23）n，
故答案为1﹣（23）n．
20．（2020秋•锦江区校级期中）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数．
（1）当图（1）中小圆圈有10层的时候小圆圈的个数是： ；
（2）图（2）中的小圆圈一共有 个（用含n的代数式表示）
（3）如果图（1）中的圆圈共有13层，图（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边第三个圆圈中的数是 ；
（4）我们自上往下，在每个圆圈中都按图（4）的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，一共填写13层，求图（4）中所有圆圈中各数的绝对值之和．
【思路点拨】
（1）计算第10层小圆圈的个数，就是计算1加到10的数的和；
（2）计算n层时，一共圆圈的个数，再乘以2得图（2）圆圈的个数；
（3）首先计算12层圆圈的个数，可得第13层第1个数，由此得第三个圆圈中的数；
（4）首先计算圆圈的个数，把所有数的绝对值相加即可．
【解答过程】
解：（1）如图（1），当小圆圈有10层时，图中共有：1+2+3+…+10＝55个圆圈；
故答案为：55；
（2）当有n层时，一个正三角形共有：1+2+3+…+n=n(n+1)2个圆圈，
∴图（2）中的小圆圈一共有：n（n+1）个，
故答案为：n（n+1）；
（3）图（1）中，当有12层时，图中共有：1+2+3+…+12＝78个圆圈；
∴如果图（1）中的圆圈共有13层，最底层最左边第一个圆圈中的数是79，
则第三个圆圈中的数是：78+3＝81，
故答案为：81；
（4）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+13=13(1+13)2=91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，
所以图4中所有圆圈中各数的绝对值之和为：
|﹣23|+|﹣22|+…+|﹣1|+0+1+2+…+67，
＝（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+67），
＝276+2278，
＝2554．
相关试卷
专题2.2 图形规律问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）： 这是一份专题2.2 图形规律问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版），文件包含专题22图形规律问题压轴题专项讲练人教版原卷版docx、专题22图形规律问题压轴题专项讲练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
专题12 角度的计算-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）： 这是一份专题12 角度的计算-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版），文件包含专题12角度的计算压轴题专项讲练苏科版解析版docx、专题12角度的计算压轴题专项讲练苏科版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
专题11 线段的计算-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）： 这是一份专题11 线段的计算-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版），文件包含专题11线段的计算压轴题专项讲练苏科版解析版docx、专题11线段的计算压轴题专项讲练苏科版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
