专题12 角度的计算-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题12  角度的计算（压轴题专项讲练）

【典例1】如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．

（1）求∠AOD的度数；

（2）作射线OE，使∠BOE∠COE，求∠COE的度数；

（3）在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，若∠DOF＝3∠BOH，求∠AOH的度数．

【思路点拨】

（1）根据平角定义和角平分线定义即可得结果；

（2）根据题意分两种情况画图：①如图1，当射线OE在AB上方时，②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE∠COE，利用角的和差进行计算即可；

（3）根据题意分四种情况画图：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，利用角的和差进行计算即可．

【解答过程】

解：（1）∵∠BOC＝40°，

∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，

∵OD平分∠AOC，

∴∠AODAOC＝70°；

（2）①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE∠COE，

∵∠BOE+∠COE＝∠BOC，

∴∠COE+∠COE＝40°，

∴∠COE＝24°；

②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE∠COE，

∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC，

∴∠COE∠COE＝40°，

∴∠COE＝120°；

综上所述：∠COE的度数为24°或120°；

（3）①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，

作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，

设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°，

∵∠AOH＝∠AOD+∠DOF+∠FOH＝70°+3x°+90°＝160°+3x°，

∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°，

∴∠FOH＝∠FOC+∠COE+∠EOH＝70°﹣3x°+24°+16°﹣x°＝90°，

∴x°＝5°，

∴∠AOH＝160°+3x°＝175°；

②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，

∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，

∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，

∠AOF+∠BOF＝180°，

∴3x°﹣70°+90°﹣x°＝180°，

解得x°＝80°，

∵∠COB＝40°，

∵80°＞40°，

∴x°＝80°不符合题意舍去；

③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，

∵∠AOF＝∠DOF+∠AOD＝3x°+70°，

∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，

∠AOF+∠BOF＝180°，

∴3x°+70°+90°﹣x°＝180°，

解得x°＝10°，

∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°；

④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，

∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，

∠BOF＝∠FOH+∠BOH＝90°+x°，

∠AOF+∠BOF＝180°，

∴3x°﹣70°+90°+x°＝180°，

解得x°＝40°，

∴∠AOH＝∠AOF+∠FOH＝50°+90°＝140°．

综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°．

1．如图所示，能用∠α，∠AOB，∠O表示同一个角的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．如图所示，AOB是直线，图中小于180°的角共有（　　）

A．7个 B．9个 C．8个 D．10个

3．（2020秋•锦江区校级期末）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是48°15′，我应该最大!”∠B说：“我是48.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（　　）

A．∠A最大 B．∠B最大 C．∠C最大 D．∠A＝∠C

4．（2020秋•含山县期末）如图，已知点A在点O的北偏东42°40′方向上，点B在点O的正南方向，OE平分∠AOB，则E点相对于点O的方位可表示为（　　）

A．南偏东68°40′方向 B．南偏东69°40′方向 

C．南偏东68°20′方向 D．南偏东69°10′方向

5．（2020秋•宁波期末）如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，那么下列说法错误的是（　　）

A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余 

C．∠AOD与∠1互补 D．∠AOE与∠COD互余

6．（2020秋•成华区期末）亲爱的同学，现在是北京时间下午2：47，按正常做题速度，你应该做到此题了，此时钟表上的时针和分针的夹角度数是　       　．

7．（2020秋•皇姑区期末）看下面小明和小丽的对话：

小明：“我今天12点10分到达图书馆时，你已经开始看书了，你是什么时间到的呢？

小丽：“我11点30分从家出发，到达图书馆时，钟表的时针与分针的夹角恰好是11°．”

回答问题：小丽从家到图书馆共用了　      　分钟．

8．（2020秋•桥东区校级期中）观察下图，回答下列问题：

（1）在图①中有几个角？

（2）在图②中有几个角？

（3）在图③中有几个角？

（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？

9．（2020秋•兴业县期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．

（1）若∠BOC＝70°，求∠COD和∠EOC的度数；

（2）写出∠COD与∠EOC具有的数量关系并说明理由．

10．（2020秋•江北区期末）将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．

（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数．

（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．

11．（2020秋•铁西区期末）（1）如图1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，请判断∠AOD和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；

（2）已知：如图2，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．求证：∠AOC与∠BOC互补；

（3）已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β（0°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是 　    　．

12．（2021春•乳山市期末）【问题回顾】

我们曾解决过这样的问题：

如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分∠AOE，∠BOE，可求得∠COD＝90°．（不用求解）

【问题改编】

点O在直线AB上，∠COD＝90°，OE平分∠BOC．

（1）如图2，若∠AOC＝50°，求∠DOE的度数；

（2）将图2中的∠COD按图3所示的位置进行放置，写出∠AOC与∠DOE度数间的等量关系，并写明理由．

13．（2020秋•温江区校级期末）已知∠AOB＝60°，求：

（1）如图1，OC为∠AOB内部任意一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON＝　    　；

（2）如图2，当OC旋转到∠AOB的外部时，∠MON的度数会发生变化吗？请说明原因；

（3）如图3，当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，OM平分∠AOC，射线ON在∠BOC内部，∠NOC∠BOC，求∠COM∠BON的值？

14．（2020秋•南宁期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线,且∠AOC：∠BOC=1：2．

（1）求∠AOC，∠BOC的度数；

（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；

（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．

15．（2020秋•城厢区期末）已知∠AOB和∠COD是直角．

（1）如图1，当射线OB在∠COD的内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系，并说明理由．

（2）如图2，当射线OA，OB都在∠COD的外部时，过点O作射线OE，OF，满足∠BOE∠BOC，∠DOF∠AOD，求∠EOF的度数．

（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝3：7？若存在，求出∠GOF的度数；若不存在，请说明理由．

16．（2020秋•镇海区期末）新定义问题

如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）

【阅读理解】

（1）角的平分线 　 　这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）

【初步应用】

（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为 　 　；

【解决问题】

（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．

17．（2020秋•和平区期末）如图，点O是直线AB上的一点，∠COD＝80°，OE平分∠BOC．

（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数．

（2）在图1中若∠AOC＝α（其中20°＜α＜100°），请直接用含α的代数式表示∠DOE的度数，不用说明理由．

（3）如图2，①请直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，不用说明理由．

②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC﹣4∠AOF＝2∠BOE+∠AOF．试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，直接写出关系式即可，不用说明理由．

18．（2020秋•越秀区校级月考）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°）

（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝　    　°；

（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；

（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．

19．（2020秋•渝中区校级期末）如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．

（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝　    　°；

（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．

①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；

②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．

20．（2020秋•江岸区期末）已知如图1，线段∠AOB＝40°．

（1）若∠AOC∠BOC，则∠BOC＝　        　；

（2）如图2，∠AOC＝20°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；

（3）如图3，∠AOC＝20°，射线OM绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转一周至OB结束，在旋转过程中，设运动的时间为t，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，当t在某个范围内4∠AON+∠BOM会为定值，请直接写出定值，并指出对应t的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．