专题02 绝对值-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

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【典例1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝3，那么x＝ ；
（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝ ．
【思路点拨】
（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；
（2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答；
（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；
（4）根据|a+4|+|a﹣2|表示数a的点到﹣4与2两点的距离的和即可求解．
【解答过程】
解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）＝5，故答案为：3，5；
（2）|x+1|＝3，
x+1＝3或x+1＝﹣3，
x＝2或x＝﹣4．
故答案为：2或﹣4；
（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，
∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，
当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8，
当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，
则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；
故答案为：8，2；
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，
|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．
故答案为：6．
【典例2】阅读下列有关材料并解决有关问题．
我们知道|x|=x(x＞0)0(x=0)−x(x＜0)，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．通过以上阅读，请你解决问题：
（1）|x﹣3|+|x+4|的零点值是 ；
（2）化简代数式|x﹣3|+|x+4|；
（3）解方程|x﹣3|+|x+4|＝9；
（4）|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的最小值为 ，此时x的取值范围为 ．
【思路点拨】
（1）根据“零点值”的意义进行计算即可；
（2）根据题目中提供的方法分三种情况分别进行计算即可；
（3）分三种情况分别对|x﹣3|+|x+4|进行化简进而求出相应方程的解；
（4）根据代数式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的意义，得出当2≤x≤3时，该代数式的值最小，再根据两点距离的计算方法进行计算即可．
【解答过程】
解：（1）令x﹣3＝0和x+4＝0，
求得：x＝3和x＝﹣4，
故答案为：﹣4和3；
（2）①当x＜﹣4时，原式＝﹣（x﹣3）﹣（x+4）＝﹣2x﹣1；
②当﹣4≤x＜3时，原式＝﹣（x﹣3）+（x+4）＝7；
③当x≥3时，原式＝（x﹣3）+（x+4）＝2x+1；
综上所述：原式=−2x−1(x＜−4)7(−4≤x＜3)2x+1(x≥3)，
（3）分三种情况：
①当x＜﹣4时，﹣2x﹣1＝9，
解得：x＝﹣5；
②当﹣4≤x＜3时，7＝9，不成立；
③当x≥3时，2x+1＝9，
解得：x＝4．
综上所述，x＝﹣5或x＝4．
（4）代数式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|表示的意义为数轴上表示数x的点到表示数﹣4，2，3，2000的距离之和，
由数轴表示数的意义可知，当2≤x≤3时，该代数式的值最小，最小值为（2+4）+（3﹣2）+（2000﹣2）＝2005，
故答案为：2005，2≤x≤3．
1．已知|x﹣2|+|x+y﹣5|+|y﹣1|＝y﹣1．则x+y的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2020秋•长垣市月考）若x为整数，且满足|x﹣2|+|x+4|＝6，则满足条件的x的值有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
3．（2021•福州模拟）若实数a、b、c满足|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝7，则|b﹣c|的值为（ ）
A．6B．7C．6或8D．6或7
4．如果实数a，b，c满足|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，|a+c|＝3，那么|a+2b+3c|等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．（2020秋•武昌区期中）已知有理数a，b，c满足a＜0＜b＜c，则代数式|x−a+b3|+|x−a+c2|+|x+c−a2|
的最小值为（ ）
A．cB．2b−a3C．a+9c−2b6D．3c−2b−11a6
6．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位
上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 ．
7．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|．有下列四个结论：①y没有最小值；②有无穷多个x的值，使y取到最
小值；③有x的值，使y＝1.8；④使y＝2.5的x有两个值．其中正确的是 （填序号）．
8．（2020秋•武侯区校级月考）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1
﹣8x|的值恒为一常数，则此值为 ．
9．（2020秋•江岸区校级月考）若a、b都为整数，且|a﹣1|+|b﹣2|＝1．则a+b＝ ．
10．（2020秋•温江区校级期末）若x、y都是整数，且（2y+3）2+|x﹣1|＝1，则x﹣y＝ ．
11．（2020秋•江北区校级期中）设a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，则a+2b+c的最小值为 ．
12．（2020秋•雁塔区校级期中）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是 ．
13．实数a，b满足|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，a2+b2的最大值为 ，最小值为 ．
14．（2020秋•碑林区校级月考）若有理数x，y，z满足（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y﹣3|）（|z﹣3|+|z+3|）＝
36，则x+2y+3z的最小值是 ．
15．（2020秋•江岸区校级月考）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运
用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求|a|a+|b|b+|c|c的值．
【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则|a|a+|b|b+|c|c=aa+bb+cc=1+1+1＝3；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则|a|a+|b|b+|c|c=aa+−bb+−cc=1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．
综上所述，|a|a+|b|b+|c|c值为3或﹣1．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则a|a|+b|b|的值是 ；
（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求a|a|+b|b|+c|c|的值；
（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求b+c|a|+c+a|b|+a+b|c|的值．
16．（2020秋•海安市月考）同学们都知道，|5﹣3|表示5与3的差的绝对值，也可理解为在数轴上表示数5
的点与数3的点的距离．试探索：
（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣3、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）；
（2）满足|x﹣3|+|x+2|＝7的x的值为 ．
（3）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值．
17．（2020秋•抚顺县期中）已知a，b为实数，m＝|2a+b|，n＝|2a﹣b|，r＝|1﹣b|．
（1）若a+b＜0，ab＜0，|a|＞|b|＞1，且2m+n+r＝11，能否确定a，b的值？能确定的，求出它的值；若不能确定，请说明理由．
（2）对于任意实数a，b，求m，n，r三个数中最大的数的最小值．