专题04 整式加减-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题04  整式加减（压轴题专项讲练）

【典例1】一个多项式的次数为m，项数为n，我们称这个多项式为m次多项式或者m次n项式，例如：5x3y2

﹣2x2y+3xy为五次三项式，2x2﹣2y2+3xy+2x为二次四项式．

（1）﹣3xy+2x2y2﹣4x3y3+3为 　 　次 　 　项式．

（2）若关于x、y的多项式A＝ax2﹣3xy+2x，B＝bxy﹣4x2+2y，已知2A﹣3B中不含二次项，求a+b的值．

（3）已知关于x的二次多项式，a（x3﹣x2+3x）+b（2x2+x）+x3﹣5在x＝2时，值是﹣17，求当x＝﹣2时，该多项式的值．

【思路点拨】

（1）利用题干中的规定即可确定多项式的次数及项数；

（2）计算2A﹣3B，合并同类项后，令二次项系数等于0即可求得结论；

（3）利用多项式为关于x的二次多项式，可得a+1＝0；将x＝2时，多项式的值是﹣17代入可求得b的值，将求得的a，b的值代入多项式，整理后将x＝﹣2代入即可求得结论．

【解答过程】

解：（1）∵﹣3xy+2x2y2﹣4x3y3+3的次数为6，项数为4，

∴﹣3xy+2x2y2﹣4x3y3+3是六次四项式．

故答案为：六；四；

（2）∵A＝ax2﹣3xy+2x，B＝bxy﹣4x2+2y，

∴2A﹣3B＝2（ax2﹣3xy+2x）﹣3（bxy﹣4x2+2y）

＝2ax2﹣6xy+4x﹣3bxy+12x2﹣6y

＝（2a+12）x2+（﹣6﹣3b）xy+4x﹣6y，

∵2A﹣3B中不含二次项，

∴2a+12＝0，﹣6﹣3b＝0．

解得：a＝﹣6，b＝﹣2．

∴a+b＝﹣8．

（3）∵a（x3﹣x2+3x）+b（2x2+x）+x3﹣5＝（a+1）x3+（﹣a+2b）x2+（3a+b）x﹣5，

又∵a（x3﹣x2+3x）+b（2x2+x）+x3﹣5是关于x的二次多项式，

∴a+1＝0．

∴a＝﹣1，

∴原多项式为（2b+1）x2+（b﹣3）x﹣5．

∵当x＝2时，多项式的值是﹣17，

∴（2b+1）×4+（b﹣3）×2﹣5＝﹣17．

∴b＝﹣1．

∴原多项式为﹣x2﹣4x﹣5，

当x＝﹣2时，﹣x2﹣4x﹣5＝﹣4+8﹣5＝﹣1．

∴当x＝﹣2时，该多项式的值为﹣1．

【典例2】一个多位数整数，a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的右边数．其中a，b

两部分数位相同，若正好为剩下的中间数，则这个多位数就叫平衡数，

例如：357满足5，233241满足．

（1）判断：468　 　平衡数；314567　 　平衡数（填“是”或“不是”）；

（2）证明任意一个三位平衡数一定能被3整除；

（3）若一个三位平衡数后两位数减去百位数字之差为9的倍数，且这个平衡数为偶数，求这个三位数．

【思路点拨】

（1）根据平衡数的定义即可判断；

（2）设出这个三位平衡数，化简即可验证；

（3）设出这个三位平衡数，根据后两位数减去百位数字之差为9的倍数列出代数式并化简，再根据是整数，y是偶数即可得出答案．

【解答过程】

解：（1）∵6，

∴468是平衡数；

∵49≠45，

∴314567不是平衡数；

故答案为：是；不是；

（2）证明：设这个三位平衡数为：100a+10•b，

∵100a+10•b

＝100a+5（a+b）+b

＝100a+5a+5b+b

＝105a+6b

＝3（35a+2b），

∴100a+10•b一定能被3整除，

即任意一个三位平衡数一定能被3整除；

（3）设这个三位平衡数为100x+10（）+y，

∴10（）+y﹣x＝9k，

∴6y+4x＝9k，

∴6y+4x满足被9整除，

又∵是整数，

∴x+y是2的倍数，

∵三位数是偶数，

∴y是偶数，

∵0＜x≤9，0≤y≤9，由于y为偶数，

则y可以取0，2，4，6，8，

y＝0时，x无满足条件值；

y＝2时，x＝6满足；

y＝4时，x无满足条件值；

y＝6时，x无满足条件值；

y＝8时，x＝6满足，

综上所述，三位数为642，678．

1．A＝2x2+3kx﹣200x﹣1，B＝﹣x2+kx﹣1，且3A+6B的值与x的取值无关，求

的值．

2．（2020秋•海珠区校级期中）已知A＝3x2+y2﹣2xy，B＝xy﹣y2+2x2，求：

（1）2A﹣3B；

（2）若|2x﹣3|＝1，y2＝16，|x﹣y|＝y﹣x，求2A﹣3B的值．

（3）若x＝4，y＝﹣8时，代数式ax3by+5＝18，那么x＝﹣128，y＝﹣1时，求代数式3ax﹣24by3+10的值．

3．（2021春•安丘市月考）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过

简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：

已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，则：

（1）取x＝0时，直接可以得到a0＝0；

（2）取x＝1时，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；

（3）取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．

（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合（1）a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0．

请类比上例，解决下面的问题：

已知a6（x﹣1）6+a5（x﹣1）5+a4（x﹣1）4+a3（x﹣1）3+a2（x﹣1）2+a1（x﹣1）+a0＝4x，

求（1）a0的值；

（2）a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；

（3）a6+a4+a2的值．

4．（2020秋•城厢区校级期中）若a，b互为相反数，b，c互为倒数，且m的立方等于它本身．

（Ⅰ）若a＝2，求ca的值；

（Ⅱ）若m≠0，试讨论：当x为有理数时，|x+m|+|x﹣m|是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）若a＞1，且m＜0，S＝|2a﹣3b|﹣2|b﹣m|﹣|b|，求6（2a﹣s）+（s﹣2a）的值．

5．（2020秋•韩城市期中）一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百

位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；

若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，

我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32＝132．

（1）若M的其百位数字为a，十位数字为b、个位数字为c，试说明M与其“友谊数”的差能被15整除；

（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），求N的“团结数”．

6．（2021春•铜梁区校级期末）如果3个数位相同的自然数m，n，k满足：m+n＝k，且k各数位上的数字全部相同，则称数m和数n是一对“黄金搭档数”．例如：因为25，63，88都是两位数，且25+63＝88，则25和63是一对“黄金搭档数”．再如：因为152，514，666都是三位数，且152+514＝666，则152和514是一对“黄金搭档数”．

（1）分别判断87和12，62和49是否是一对“黄金搭档数”，并说明理由．

（2）已知两位数s和两位数t的十位数字相同，若s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t的和能被7整除，求出满足题意的s．

7．（2020秋•沙坪坝区校级期中）一个三位正整数，将它的个位数字与百位数字交换位置，所得的新数恰好与原数相同，我们把这样的三位正整数称为“对称数”，如555，323，191都是“对称数”．

（1）请你写出2个“对称数”；

（2）任意一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果都是9的倍数，请用含字母的代数式说明其中的道理；

（3）若将一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果是11的倍数，直接写出满足条件的“对称数”．

8．（2021春•重庆期末）定义：对于一个四位自然数n，若其百位数字等于其个位数字与十位数字之和，其千位数字等于其十位数字与百位数字之和，则称这个四位自然数n为“加油数”，并将该“加油数”的各个数位数字之和记为F（n）．例如：5413是“加油数”，因为5413的个位数字是3，十位数字是1，百位数字是4，千位数字是5，且3+1＝4，1+4＝5，所以5413是“加油数”，则F（5413）＝5+4+1+3＝13；9734不是“加油数”，因为9734的个位数字是4，十位数字是3，百位数字是7，千位数字是9，而4+3＝7，但3+7＝10≠9，所以9734不是“加油数”．

（1）判断8624是否为“加油数”，并说明理由；

（2）若x，y均为“加油数”，其中x的个位数字为1，y的十位数字为2，且F（x）+F（y）＝30，求所有满足条件的“加油数”x．

9．（2020秋•北碚区校级期末）阅读理解：我们把形如（其中1≤a＜b≤9且a，b为整数）的五位正整数称为“对称凸数”，形如（其中1≤c＜d≤9且c，d为整数）的五位正整数称为“对称凹数“，例如：13931，29992是“对称凸数“，25052，59095是“对称凹数”．

（1）最小的“对称凸数”为　      　，最大的“对称凹数”为　      　；

（2）证明：任意一个“对称凸数”减去它的各数位数字之和的差都能被9整除；

（3）五位正整数M与N都是“对称凸数”，若满足M＜N的同时，N﹣M的结果为一个“对称凹数”，且该新“对称凹数”能被5整除，请求出“对称凸数”M与N．

10．（2020秋•姜堰区期末）如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”．

其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为：

步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即a＝9+1+3+5+7+9＝34；

步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即b＝6+0+2+4+6+8＝26；

步骤3：计算3a与b的和c，即c＝3×34+26＝128；

步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d＝130；

步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X＝130﹣128＝2．

请解答下列问题：

（1）《数学故事》的条形码为978753454647Y，则校验码Y的值为　 　；

（2）如图1，某条形码中的一位数字被墨水污染了，请求出这个数字；

（3）如图2，条形码中被污染的两个数字的和是5，这两个数字从左到右分别是　 　、　 　．

11．（2020秋•武侯区校级月考）（1）一个三位数能不能被3整除，只要看这个数的各位数字的和能不能被3整除，这是为什么？

（2）联系拓广：

①一个四位数能不能被9整除，只要看这个数的各位数字之和能不能被9整除，这是为什么？

②一个三位数能不能被7整除，只要将该三位数去掉个位数字，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，这是为什么？

12．（2021春•沙坪坝区校级月考）国家人社部透露，目前我国平均退休年龄不到55岁．相对于世界主要经济体65岁以上的退休年龄，总体偏低．人社部近期表示，我国正在加紧研究延迟退休具体改革方案，预计将在“十四五”期间推行．

定义：一个四位数，如果它的千位数字与个位数字的和等于百位数字与十位数字的和，且能被65整除，则称该数为“退休数”．

（1）请判断：4635和3120是否为“退休数”？

（2）请求出所有的“退休数”．

13．（2020秋•渝中区校级期末）如果一个四位自然数，其千位数字是十位数字的二倍与百位数字之差，个位数字是十位数字的二倍与百位数字之和，我们称这个数为“共生数”．例如5137，其中5＝3×2﹣1，7＝3×2+1，所以5137是“共生数”．

（1）写出最小的“共生数”为　     　，最大的“共生数”为　     　．

（2）若一个“共生数”的前三位数表示的数减去后两位数表示的数之差除以13余数为8，求出所有符合条件的“共生数”．