人教版七年级上册第二章 整式的加减2.1 整式第3课时同步达标检测题

这是一份人教版七年级上册第二章 整式的加减2.1 整式第3课时同步达标检测题，共50页。
2.1多项式（第3课时）（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2021·云南·昆明市第三中学七年级期中）下列说法正确的有（       ）
①的项是，，2；②为多项式；③多项式的次数是2；④一个多项式的次数是3，则这个多项式中只有一项的次数是3；⑤单项式的系数是；⑥0不是整式．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2022·全国·七年级）下列语句中，错误的（     ）
A．数字0也是单项式 B．单项式-a的系数与次数都是1
C．是二次单项式 D．的系数是
3．（2022·湖南湘西·七年级期末）①设是任意一个整数，则任意一个偶数可以表示为；②是单项式；③单项式的系数是2；④多项式的次数是2．以上结论正确的有（     ）
A．②③④ B．①②④ C．③④ D．①④
4．（2022·湖南·衡阳市成章实验中学七年级期末）有下列四个说法：①多项式的项是，－3x和6；②304.35（精确到个位）取近似值是304；③若，则；④若b是大于－1的负数，则．其中正确说法的个数是：（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022·河南三门峡·七年级期末）多项式的次数是（       ）
A． B． C． D．
6．（2021·黑龙江齐齐哈尔·七年级阶段练习）—a + b—c由交换律可得（       ）
A．—b + a—c B．—b + a+c C．b —a —c D．a+c —b
7．（2022·江苏·七年级）如果整式是关于的二次三项式，那么等于（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）下列说法中，正确的有（       ）个．
①的倒数是；
②近似数125.0万精确到十分位；
③代数式，，，3中整式有2个；
④相反数等于本身的数只有0
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2021·安徽宣城·七年级期末）下列说法正确的是（       ）
A．﹣的系数是﹣5
B．1﹣2ab＋4a是二次三项式
C．不属于整式
D．“a，b的平方差”可以表示成（a﹣b）2
10．（2022·四川乐山·七年级期末）一列数据按1，，3，，5，……的规律书写，则第2021个数字为（       ）
A．2021 B． C．2022 D．
11．（2022·重庆荣昌·七年级期末）某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13个●，图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（　　）

A．22 B．25 C．28 D．32
二、填空题
12．（2022·贵州黔西·七年级期末）若是五次多项式，则的值为______________．
13．（2022·江苏·七年级）在代数式a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，中，整式有__个；单项式有__个，次数为2的单项式是_；系数为1的单项式是_．
14．（2022·全国·七年级课时练习）下列4个结论：①－πx的系数为－1；②－5a2b的次数是3；③是多项式；④多项式3x2y－6x4y2－xy3＋27是7次多项式．其中正确结论的序号是________．
15．（2022·山东青岛·七年级期末）如图1，将一个边长为2的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3=6个结点．如图2，将一个边长为3的正三角形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有1+2+3+4=10个结点．……按照上面的方式，将一个边长为2022的正三角形的三条边2022等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有________个结点（填写最终个结点）

16．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）观察一列数：4，7，10，13，在这一列数中2023出现的位置是第 _____个．
17．（2022·江西·景德镇一中七年级期末）一个正三角形各边分别有3个等分点，从这9个等分点中任取3个，可以构成________个直角三角形．
三、解答题
18．（2021·全国·七年级专题练习）下列代数式中，哪些是多项式，并说出相应多项式是几次几项式？，，，abc，，，a+1，，，．



19．（2021·全国·七年级课时练习）将多项式先按x的降幂排列，再按y的升幂排列，并指出它是几次几项式，常数项和最高次项系数各是多少．



20．（2021·全国·七年级专题练习）说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数项是多少？
（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1；
（2）10x+y3﹣0.5．




21．（2021·全国·七年级课时练习）填表：
多项式
多项式的项数
多项式的项
多项式的次数












22．（2022·重庆·七年级期末）古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此分子为1的分数也被称为埃及分数．若两个埃及分数的分母为连续自然数，则把它们称为连续埃及分数．我们注意到，某些埃及分数恰好可以表示为两个连续埃及分数的差，例如，，……
(1)请按这样的规律再写出一个埃及分数，并表示为两个连续埃及分数的差；
(2)能这样表示的埃及分数有很多，请用适当的方式表示出这个规律；
(3)结合上面的发现，计算出的值．




23．（2022·全国·七年级专题练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中．
指出其中各单项式的系数；多项式中哪个次数最高？次数是多少？







24．（2022·全国·七年级专题练习）已知单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2y﹣x2﹣x2ym+3的次数为6，求单项式（m+n）xmyn的次数与系数的和．



25．（2022·全国·七年级专题练习）有一个关于、的多项式，每项的次数都是3
（1）这个多项式最多有几项？
（2）写出同时满足下列要求的多项式：①符合题目要求；②项数最多；③各项系数之和为0；④按字母降幂排列．




26．（2022·全国·七年级专题练习）将下列代数式按尽可能多的方法分类（至少写三种）：
．




【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·七年级课时练习）已知多项式﹣7ambn+5ab2﹣1（m，n为正整数）是按a的降幂排列的四次三项式，则（﹣n）m的值为（　　）
A．﹣1 B．3或﹣4 C．﹣1或4 D．﹣3或4
2．（2022·重庆一中七年级期末）记a1＝a2﹣2a+1，a2＝a2﹣2a+1，a3＝a2﹣4a+4，a4＝a2，a5＝a2﹣6a+9，a6＝a2，…，按照此规律排列，对于任意正整数n，记bn＝an+1﹣an，得到以下结论：①当a＝1时，b3＝0；②a9＝a2﹣10a+25；③an+bn＝a2；④bn与bn+1互为相反数：⑤b2n﹣1＝2na﹣n2．以上结论正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

3．（2022·全国·七年级课时练习）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（       ）
A．8 B．6 C．4 D．2
4．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图，将一个平行四边形（如图①）作如下操作：第一次，连接对边的中点（如图②），此时共有9个平行四边形；第二次，将图②中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图③），此时共有17个平行四边形；第三次，将图③中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图④），此时共有25个平行四边形……此后每一次都将左上角的平行四边形进行如上操作，第（       ）次操作后，共有4041个平行四边形.

A．505 B．506 C．507 D．508
二、填空题
5．（2022·北京·通州区运河中学七年级阶段练习）如图所示，一段楼梯的3个台阶．如果上楼时，每次迈步只能登上1个台阶或者2个台阶．那么登上第3个台阶的迈步方法有______种；如果楼梯上有8个台阶，那么从楼梯底部登上第8个台阶的迈步方法有______种．

6．（2022·北京石景山·七年级期末）如图，一串小彩灯按图1的排列方式不断闪烁，其中英文字母R，B，G分别表示该灯为红、蓝、绿色．

（1）请写出第14个彩灯的颜色为_______（请用R，B或G填空）；
（2）图2表示这串彩灯的某一部分，请在图2中找到这串彩灯第2022个彩灯的正确位置，并注明它的颜色_______（请用①，②…或⑥以及R，B或G填空，例如：确定其在位置①且为红色，则填写①R． 以此类推）．
7．（2022·全国·七年级课时练习）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．

8．（2022·全国·七年级课时练习）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
9．（2021·安徽宣城·七年级期末）①52﹣4×12＝21；②72﹣4×22＝33；③92﹣4×32＝45；④112﹣4×42＝57…根据上述规律，用含n的代数式表示第n个等式：_____．
10．（2021·浙江·七年级期中）设，，，…；另设，，，…．已知是一个关于的三次多项式（为正整数），可表示为，则________．
三、解答题
11．（2022·四川宜宾·七年级期末）已知关于的多项式，．
(1)若整式不含项和不含项，求、的值；
(2)若整式是一个五次四项式，求出、满足的条件．



12．（2022·江苏·七年级）当m为何值时，﹣y2+x2y﹣3是四次多项式．



13．（2022·江苏泰州·七年级期中）阅读材料：
因为…
所以





仿照以上过程解决问题：
(1)填空：
，，…
(2)探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
(3)计算．










14．（2022·全国·七年级课时练习）探究1：
3×4＝______；
3.3×3.4＝______；
3.33×33.4＝______；
3.333×333.4＝______；
3.3333×3333.4＝______；
3.33333×33333.4＝______；
3.333333×333333.4＝______；
规律：



15．（2022·全国·七年级专题练习）阅读下列材料并完成
将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接对应的各分点，则图形中一共有多少个正方形？
问题探究：
为了解决上面的问题，我们先研究特殊的情形，再逐次递进最后得出结论．

探究一：将一个边长为2的正方形四条边分别平分，连接各边对应的中点，则图形中一共有多少个正方形？
如图1，连接边长为2的正方形四条边的中点，边长为1的正方形有22＝4个；边长为2的正方形有12＝1个，总共有12+22＝1+4＝＝5个正方形．
探究二：将一个边长为3的正方形四条边分别三等分，连接各边对应的三等分点，则图形中一共有多少个正方形？
如图2，连接边长为3的正方形四条边对应的三等分点，边长为1的正方形有32＝9个；边长为2的正方形有22＝4个；边长为3的正方形有12＝1个，总共有12+22+32＝1+4+9＝＝14个正方形．
(1)探究三：请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正方形四条边四等分，连接各边对应的四等分点，则图形中一共有多少个正方形？（在图3中画出示意图，并写出探究过程）
(2)探究四：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中一共有　 　个正方形．
(3)问题解决：将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接各边对应的n等分点，则图形中一共有　 　个正方形？
(4)应用拓展：计算：1+3+8+24+…+899＝　 　．



16．（2022·全国·七年级专题练习）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”：

仔细观察上表，根据你发现的规律，解答下列问题：
(1)从上往下数第6行，左边第二个数是__________，右边最后一个数是__________；
(2)该数表中是否存在数255？并说明理由．


17．（2022·陕西西安·七年级期末）将边长相等的黑、白两色小正方形按如图所示的方式拼接起来，第1个图由5个白色小小正方形和1个黑色小正方形拼接起来，第2个图由8个白色小正方形和2个黑色小正方形拼接起来，第3个图由11个白色小正方形和3个黑色小正方形拼接起来，依此规律拼接．

(1)第4个图白色小正方形的个数为__；
(2)第10个图白色小正方形的个数为___；
(3)第n个图白色小正方形的个数为（用含n的代数式表示，结果应化简）；
(4)是否存在某个图形，其白色小正方形的个数为2021个，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由．


18．（2022·福建宁德·七年级期末）如图，用若干个点摆成一组等边三角形点列，其中第个三角形的每一边上都有n个点，该图形中点的总数记为，我们把称为“三角形数”，并规定当时，“三角形数”．

(1)“三角形数”______________，______________；
(2)①某数学兴趣小组发现相邻两个“三角形数”的和有一定的规律：如．请猜想：______________；
②请用所学的知识说明①中猜想的正确性．



19．（2022·全国·七年级专题练习）问题提出：
将一根长度是（的偶数）的细绳按照如图所示的方法对折次（），然后从重叠的细绳的一端开始，每隔1厘米（两端弯曲部分的绳长忽略不计）剪1刀，共剪刀（的整数），最后得到一些长和长的细绳．如果长的细绳有222根，那么原来的细绳的长度是多少？

问题探究：
为了解决问题，我们可以先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
对折1次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图①），左端出现了2根长的细绳，右端出现了根长的细绳，所以原绳长为；如果剪2刀（如图②），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，右端仍有根长的细绳， 所以原绳长为；如果剪3刀（如图③），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，右端仍有根长的细绳，所以原绳长为；以此类推，如果剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长细绳，右端仍有根长的细绳，所以，原绳长为．

探究二：
对折2次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图④），左端出现了2根长的细绳，两端共出现了根长的细绳，所以原绳长为；如果剪2刀（如图⑤），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端仍有根长的细绳，所以原绳长为；如果剪3刀（如图⑥），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端共有根长的细绳，所以原绳长为；以此类推，如果剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端仍有根长的细绳，所以原绳长为．

探究三：
对折3次（如图⑦），可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端有根长的细绳，所以原绳长为cm．

(1)总结规律：
对折次，可以看成有 根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有 根长的细绳，中间会有 根长的细绳，两端会有 根长的细绳，所以原绳长为 ．
(2)问题解决：
如果长的细绳有222根，根据以上探究过程可以推算出细绳可能被对折了 次，被剪了 刀，原来的细绳的长度是 ．
(3)拓展应用：
如果长的细绳有2024根，那么原来的细绳的长度是 ．
20．（2022·全国·七年级专题练习）（1）有一列数1、3、5、7……有无数项（无数个数），请观察其规律后写出其中第20项（从左往右数第20个数）是 ，第n项是 ；
（2）二算法是数学的一种很重要的方法，用二算法可以得到许多很重要的数学公式．请观察下图，用二算法推导出1＋3、1＋3＋5、1＋3＋5＋7的计算结果，猜测1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）的计算结果；
（3）由（2）推导出2＋4＋6＋……＋2n的结果．







21．（2021·浙江·七年级期中）某校数学竞赛社团组织不足名男生参加外地的集训，这些学生住宿时，若安排双人间，则有1人单独一间房；若安排三人间，则也有1人单独一间房．按每5人一组分组讨论时，最后一组缺2人．现对每位男生按1，2，3，…，的顺序给一个学号．
（1）求参加集训的男生的人数；
（2）证明：其中任意8位学生中，必有两人学号之和为15；
（3）证明：在数列2021，20212021，202120212021…中，必有的倍数．

2.1多项式（第3课时）（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2021·云南·昆明市第三中学七年级期中）下列说法正确的有（       ）
①的项是，，2；②为多项式；③多项式的次数是2；④一个多项式的次数是3，则这个多项式中只有一项的次数是3；⑤单项式的系数是；⑥0不是整式．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据单项式和多项式及整式的有关知识分析判断即可求解．
【详解】解析：的项是，所以①错误：
是多项式，所以②正确：
多项式的次数是2．所以③正确；
一个多项式的次数是3，则这个多项式中不一定只有一项次数是3，如，所以④错误；
单项式的系数是，所以⑤错误；
0是整式，所以⑥错误，
所以正确的是②③，共2个
故选：A．
【点睛】本题考查单项式和多项式及整式的有关知识，解题的关键是正确理解单项式和多项式及整式的有关知识．
2．（2022·全国·七年级）下列语句中，错误的（     ）
A．数字0也是单项式 B．单项式-a的系数与次数都是1
C．是二次单项式 D．的系数是
【答案】B
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解；单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数；单独一个数字也是单项式．
【详解】A．数字0也是单项式是正确的，不符合题意；
B．单项式-a的系数是-1，次数是1，不正确的，符合题意；
C．是二次单项式，不符合题意；
D．−的系数是−是正确的，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握其定义．
3．（2022·湖南湘西·七年级期末）①设是任意一个整数，则任意一个偶数可以表示为；②是单项式；③单项式的系数是2；④多项式的次数是2．以上结论正确的有（     ）
A．②③④ B．①②④ C．③④ D．①④
【答案】B
【分析】根据单项式（由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式）及其系数（单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数），多项式次数（在多项式中，次数最高的项的次数）的定义，偶数的表示方法，依次判断即可得出结果．
【详解】解：①设n是任意一个整数，则任意一个偶数可以表示为2n，正确；
②是单项式，正确；
③单项式的系数是1，故③错误；
④多项式的次数是2，正确；
综上可得：①②④正确；
故选：B．
【点睛】题目主要考查单项式及多项式的相关定义，列代数式等，理解题意，掌握相关基础知识是解题关键．
4．（2022·湖南·衡阳市成章实验中学七年级期末）有下列四个说法：①多项式的项是，－3x和6；②304.35（精确到个位）取近似值是304；③若，则；④若b是大于－1的负数，则．其中正确说法的个数是：（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①根据多项式的组成求解即可；②根据近似数的概念求解即可；③根据绝对值的性质求解即可；④根据b是大于－1的负数，判定出的大小，求解即可．
【详解】解：①多项式的项是，－3x和-6，说法错误；
②304.35（精确到个位）取近似值是304，说法正确；
③∵，
∴，即，说法正确；
④∵b是大于－1的负数，即，
∴，，
∴，
∴说法错误．
∴正确的说法有：②③．
故选：B．
【点睛】此题考查了多项式的概念，近似数的求法，绝对值的性质等知识，解题的关键是熟练掌握多项式的概念，近似数的求法，绝对值的性质．
5．（2022·河南三门峡·七年级期末）多项式的次数是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据多项式的次数的定义“多项式里次数最高项的次数，叫这个多项式的次数”即可得．
【详解】解：根据多项式的次数的定义得，的次数是1，
故选C．
【点睛】本题考查了多项式的次数，解题的关键是掌握多项式的次数的定义．
6．（2021·黑龙江齐齐哈尔·七年级阶段练习）—a + b—c由交换律可得（       ）
A．—b + a—c B．—b + a+c C．b —a —c D．a+c —b
【答案】C
【分析】先确定该多项式是由哪些项的和组成，再直接利用加法的交换律即可得出正确结果．
【详解】解：为、、的和，
交换它们的位置后，只有C选项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式的项、加法的交换律等内容，其中能正确得出多项式是由哪些项的和组成的以及牢记加法交换律是解决本题的关键．
7．（2022·江苏·七年级）如果整式是关于的二次三项式，那么等于（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由于该多项式是关于x的二次三项式，可得n-2=2，即可求得n的值．
【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式，
∴n-2=2，
解得n=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据多项式的次数求参数的值，理解二次三项式的含义是解决本题的关键．
8．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）下列说法中，正确的有（       ）个．
①的倒数是；
②近似数125.0万精确到十分位；
③代数式，，，3中整式有2个；
④相反数等于本身的数只有0
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】①根据倒数的概念求解即可；
②根据近似数的概念求解即可；
③根据整式的概念求解即可；
④根据相反数的概念求解即可；
【详解】①的倒数是，选项错误，不符合题意；
②近似数125.0万精确到千位，选项错误，不符合题意；
③代数式，，，3中整式有：，，3，
∴共有3个整式，选项错误，不符合题意；
④相反数等于本身的数只有0，选项正确，符合题意．
综上所述，正确的有：④，
∴正确的有1个．
故选：A．
【点睛】此题考查了倒数，近似数，整式，相反数的概念，解题的关键是熟练掌握倒数，近似数，整式，相反数的概念．
9．（2021·安徽宣城·七年级期末）下列说法正确的是（       ）
A．﹣的系数是﹣5
B．1﹣2ab＋4a是二次三项式
C．不属于整式
D．“a，b的平方差”可以表示成（a﹣b）2
【答案】B
【分析】根据代数式，整式，单项式与多项式的相关概念解答即可．
【详解】解：A、﹣的系数是﹣，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、1﹣2ab+4a是二次三项式，原说法正确，故此选项符合题意；
C、属于整式，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、“a，b的平方差”可以表示成a2﹣b2，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了代数式，整式，单项式与多项式，解题的关键是掌握单项式和多项式的相关定义，多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，多项式的项包括符号．
10．（2022·四川乐山·七年级期末）一列数据按1，，3，，5，……的规律书写，则第2021个数字为（       ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】A
【分析】找出该列数据的书写规律即可求解．
【详解】解：观察所给数据可知，第n个数字的绝对值是n，奇数项符号为正，偶数项符号为负，
由此可知，第2021个数字为2021．
故选A．
【点睛】本题属于数字规律题，找出所给数据的书写规律是解题的关键．
11．（2022·重庆荣昌·七年级期末）某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13个●，图③共用16个●，……按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是（　　）

A．22 B．25 C．28 D．32
【答案】B
【分析】根据题意可得图①共用10个●，图②共用13=（10+3）个●，图③共用16=（10+3×2）个●，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得：图①共用10个●，
图②共用13=（10+3）个●，
图③共用16=（10+3×2）个●，
……，
由此发现，第n个图共用●的个数是10+3（n-1），
∴第⑥个图共用●的个数是10+3×5=25．
故选B
【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．

二、填空题
12．（2022·贵州黔西·七年级期末）若是五次多项式，则的值为______________．
【答案】
【分析】根据多项式次数的概念，可得，求解即可，多项式中次数最高项的次数为多项式的次数．
【详解】解：由题意可得：，解得
故答案为：
【点睛】此题考查了多项式的有关概念，解题的关键是掌握多项式次数的概念．
13．（2022·江苏·七年级）在代数式a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，中，整式有__个；单项式有__个，次数为2的单项式是_；系数为1的单项式是_．
【答案】     8     5     ab     a
【分析】解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断；
【详解】解：整式有a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，共8个；
单项式有a，π， ab，5，2a共5个，次数为2的单项式是ab；
系数为1的单项式是a．
故答案为：8；5；ab；a．
【点睛】本题考查了整式、单项式的有关概念，注意单个字母与数字也是单项式，单项式的系数是其数字因数，单项式的次数是所有字母指数的和．
14．（2022·全国·七年级课时练习）下列4个结论：①－πx的系数为－1；②－5a2b的次数是3；③是多项式；④多项式3x2y－6x4y2－xy3＋27是7次多项式．其中正确结论的序号是________．
【答案】②③##③②
【分析】数与字母的乘积叫做单项式，其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数的和叫做单项式的次数；几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做这个多项式的项，多项式中次数最高的那项的次数叫做多项式的次数．根据单项式的系数、次数的含义及多项式的概念、多项式的次数的含义即可完成．
【详解】解：①－πx的系数为－π，故此结论错误；②－5a2b的次数是3，此结论正确；③是多项式，此结论正确；④多项式3x2y－6x4y2－xy3＋27是六次多项式，故此结论错误．所以正确的结论有②③．
故答案为：②③
【点睛】本题考查了单项式与多项式的有关概念，掌握它们是解题的关键．
15．（2022·山东青岛·七年级期末）如图1，将一个边长为2的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3=6个结点．如图2，将一个边长为3的正三角形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有1+2+3+4=10个结点．……按照上面的方式，将一个边长为2022的正三角形的三条边2022等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有________个结点（填写最终个结点）

【答案】2047276
【分析】根据规律可知结点个数为1+2+3+4+……+n个，为三角形边长数加1，据此即可求解．
【详解】解：将一个正三角形的三条边平分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有1+2+3==6个结点，
将一个正三角形的三条边三等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有1+2+3+4==10个结点，
……
将一个正三角形的三条边等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有个结点，：
将一个正三角形的三条边2022等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有：1+2+3+…+2023==2047276个结点，
故答案为：2047276．
【点睛】本题考查的是图形的变化规律，根据图形的变化正确总结出规律是解题的关键．
16．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）观察一列数：4，7，10，13，在这一列数中2023出现的位置是第 _____个．
【答案】674
【分析】找出式子的规律，第n个数：，当时，，即2023出现的位置是第674个．
【详解】解：观察式子可知：
第1个数：；
第2个数：；
第3个数：；
第4个数：；
第5个数：；
…
∴第n个数：
当时，，
∴ 2023出现的位置是第674个．
故答案为：674
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是找到第n个位置出现的数为．
17．（2022·江西·景德镇一中七年级期末）一个正三角形各边分别有3个等分点，从这9个等分点中任取3个，可以构成________个直角三角形．
【答案】18
【分析】以边BC为例，分在边BC上的两点，边BC上取一点，画出图形，找到构成直角三角形的个数，即可求得三边上的总个数．
【详解】解：如图，在边BC上的两点，有直角三角形KIH，直角三角形KIG，直角三角形EGH，直角三角形EGI；
在边BC上取一点，有直角三角形KEG，直角三角形EKI；
所以可以构成直角三角形(个) ，

故答案为：18．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，解决本题的关键是分情况讨论，寻找规律．

三、解答题
18．（2021·全国·七年级专题练习）下列代数式中，哪些是多项式，并说出相应多项式是几次几项式？，，，abc，，，a+1，，，．
【答案】见解析．
【分析】几个单项式的和叫多项式；多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．根据以上概念分析每个代数式．
【详解】解：多项式有：，，a+1，，．其中，
是一次二项式；是二次二项式；a+1是一次二项式；是一次二项式；是二次三项式．
【点睛】本题考查了多项式的有关定义，掌握多项式的有关定义是解题关键．
19．（2021·全国·七年级课时练习）将多项式先按x的降幂排列，再按y的升幂排列，并指出它是几次几项式，常数项和最高次项系数各是多少．
【答案】；，六次五项式，常数项为0，最高次项系数为1
【分析】按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂正好相反，多项式
中x的指数依次是3，1，4，0，2．按x的降幂排列为，y的次数依次为3，4，1，4，2，
按y的升幂排列，有四个单项式组成，常数项没有，即为0．
【详解】解：，按x的降幂排列为，
按y的升幂排列为，
它是六次五项式，常数项为0，最高次项系数为1．
【点睛】按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂正好相反，多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”．
20．（2021·全国·七年级专题练习）说出下列各式是几次几项式，最高次项是什么？最高次项的系数是什么？常数项是多少？
（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1；
（2）10x+y3﹣0.5．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据多项式次数以及最高次项以及最高次项的系数、常数项等定义分别得出即可；
（2）根据多项式次数以及最高次项以及最高次项的系数、常数项等定义分别得出即可．
【详解】解：（1）7x2﹣3x3y﹣y3+6x﹣3y2+1
是四次六项式，最高次项是﹣3x3y，
最高次项的系数是﹣3，
常数项是1；
（2）10x+y3﹣0.5，
是三次三项式，最高次项是y3，
最高次项的系数是1，
常数项是﹣0.5．
【点睛】此题主要考查了多项式相关的概念，正确把握相关定义是解题关键．
21．（2021·全国·七年级课时练习）填表：
多项式
多项式的项数
多项式的项
多项式的次数














【答案】见解析
【分析】根据多项式的项数、多项式的项、多项式的次数的定义解答即可．
【详解】解：
多项式
多项式的项数
多项式的项
多项式的次数

2

1

3

4

2

3

【点睛】本题主要考查了多项式的多项式的项数、多项式的项、多项式的次数等知识点，灵活运用相关概念成为解答本题的关键．
22．（2022·重庆·七年级期末）古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此分子为1的分数也被称为埃及分数．若两个埃及分数的分母为连续自然数，则把它们称为连续埃及分数．我们注意到，某些埃及分数恰好可以表示为两个连续埃及分数的差，例如，，……
(1)请按这样的规律再写出一个埃及分数，并表示为两个连续埃及分数的差；
(2)能这样表示的埃及分数有很多，请用适当的方式表示出这个规律；
(3)结合上面的发现，计算出的值．
【答案】(1)；（答案不唯一，符合题意即可）
(2)（n为正整数）
(3)

【分析】（1）通过例如分析，写出符合题意的答案；答案不唯一；
（2）由，，……可得规律：（n为正整数）；
（3）根据规律正确计算得出结果．
(1)
（答案不唯一，符合题意即可）；
(2)
由，，……可得规律：（n为正整数）；
(3)
原式=



．
【点睛】此题主要考察分析问题的能力；分析出问题的规律是解答此题的关键．
23．（2022·全国·七年级专题练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中．
指出其中各单项式的系数；多项式中哪个次数最高？次数是多少？


【答案】单项式：;多项式：；单项式的系数分别为：；多项式的次数最高，4次．
【分析】根据单项式定义，多项式的定义，单项式系数，单项式的次数等进行解答即可．
【详解】解：单项式：;
多项式：；
单项式的系数是：；单项式的系数是：；单项式的系数是：；
多项式的次数最高，4次．
【点睛】本题考查了多项式、单项式有关内容，熟知相关概念是解本题的关键．
24．（2022·全国·七年级专题练习）已知单项式3x2yn的次数为5，多项式6+x2y﹣x2﹣x2ym+3的次数为6，求单项式（m+n）xmyn的次数与系数的和．
【答案】8
【分析】根据已知求出m、n的值，把m、n的值代入单项式，求出单项式的系数和次数，即可得出答案．
【详解】解：∵单项式3x2yn的次数为5，多项式6＋x2y−x2−x2ym＋3的次数为6，
∴2＋n＝5，2＋m＋3＝6，
解得：m＝1，n＝3，
∴（m＋n）xmyn＝4xy3，
系数是4，次数是1＋3＝4，
4＋4＝8，
即单项式（m＋n）xmyn的次数与系数的和是8．
【点睛】本题考查了多项式和单项式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
25．（2022·全国·七年级专题练习）有一个关于、的多项式，每项的次数都是3
（1）这个多项式最多有几项？
（2）写出同时满足下列要求的多项式：①符合题目要求；②项数最多；③各项系数之和为0；④按字母降幂排列．
【答案】（1）四项；（2）（答案不唯一）．
【分析】（1）根据多项式的定义即可得；
（2）根据多项式的系数、次数的定义即可得．
【详解】解：（1）因为这个多项式含有，每项的次数都是3，且，
所以当它同时含有时，它的项数最多，
即这个多项式最多有四项；
（2）满足要求的多项式为（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了按要求构造多项式，熟练掌握相关概念是解题关键．
26．（2022·全国·七年级专题练习）将下列代数式按尽可能多的方法分类（至少写三种）：
．
【答案】见详解
【分析】根据整式和分式分类，单项式，多项式，分式分类，单项式二项式，四项式，分式分类，即可．
【详解】解：①整式：分式：；
②单项式：多项式：分式：；
③单项式：二项式：四项式：分式：．
【点睛】本题主要考查整式，单项式，多项式的概念，熟练掌握整式，单项式、多项式的定义是解题的关键．


【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·七年级课时练习）已知多项式﹣7ambn+5ab2﹣1（m，n为正整数）是按a的降幂排列的四次三项式，则（﹣n）m的值为（　　）
A．﹣1 B．3或﹣4 C．﹣1或4 D．﹣3或4
【答案】C
【分析】根据多项式及降幂排列的定义可得m＞1，m+n＝4，即可求解m，n的值，再分别代入计算可求解．
【详解】解：由题意得：m＞1，m+n＝4，
∴m＝2，n＝2或m＝3，n＝1，
当m＝2，n＝2时，（﹣n）m＝（﹣2）2＝4；
当m＝3，n＝1时，（﹣n）m＝（﹣1）3＝﹣1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
2．（2022·重庆一中七年级期末）记a1＝a2﹣2a+1，a2＝a2﹣2a+1，a3＝a2﹣4a+4，a4＝a2，a5＝a2﹣6a+9，a6＝a2，…，按照此规律排列，对于任意正整数n，记bn＝an+1﹣an，得到以下结论：①当a＝1时，b3＝0；②a9＝a2﹣10a+25；③an+bn＝a2；④bn与bn+1互为相反数：⑤b2n﹣1＝2na﹣n2．以上结论正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】观察给出的式子，找出规律，再利用完全平方公式，互为相反数等知识解答即可．
【详解】解：a1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，a2＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，a3＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，
a4＝a2，a5＝a2﹣6a+9＝（a﹣3）2，a6＝a2，…，
∴当n为奇数时，即当n＝1，3，5，7，9，…，
，
当n为偶数，且n≠2时，，
由bn＝an+1﹣an，
①当a＝1时，b3＝，正确；
②当n＝9时，，
∴a9＝（a﹣5）2＝a2﹣10a+25，正确；
③∵bn＝an+1﹣an，
∴an+bn＝an+1，
当n+1为偶数时，正确；为奇数时，不正确；
④bn+bn+1＝an+1﹣an+an+2﹣an+1＝an+2﹣an，
当n为偶数时，a2﹣a2＝0，正确；当n为奇数时，不正确；
⑤b2n﹣1＝a2n﹣a2n﹣1
＝＝a2﹣（a﹣n）2＝（a+a﹣n）（a﹣a+n）＝（2a﹣n）n＝2na﹣n2，正确，
以上结论正确的个数为3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了数字变化规律，根据题目所给出的式子找到当n为奇数， ，当n为偶数且n≠2时，，是解题的关键．
3．（2022·全国·七年级课时练习）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（       ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案．
【详解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴22022的个位数字应该是：4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键．
4．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图，将一个平行四边形（如图①）作如下操作：第一次，连接对边的中点（如图②），此时共有9个平行四边形；第二次，将图②中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图③），此时共有17个平行四边形；第三次，将图③中左上角的平行四边形连接对边的中点（如图④），此时共有25个平行四边形……此后每一次都将左上角的平行四边形进行如上操作，第（       ）次操作后，共有4041个平行四边形.

A．505 B．506 C．507 D．508
【答案】A
【分析】根据图形变化找到变化规律即可求解.
【详解】解：第一次操作后，共有9=1+8个平行四边形，
第二次操作后，共有17=1+8×2个平行四边形，
第三次操作后，共有25=1+8×3个平行四边形，
……
则第n次操作后，共有（1+8n）个平行四边形，
由1+8n=4041得n=505，
即第505次操作后，共有4041个平行四边形.
故选：A .
【点睛】本题考查图形类规律探究，理解题意，找到变化规律是解答的关键.

二、填空题
5．（2022·北京·通州区运河中学七年级阶段练习）如图所示，一段楼梯的3个台阶．如果上楼时，每次迈步只能登上1个台阶或者2个台阶．那么登上第3个台阶的迈步方法有______种；如果楼梯上有8个台阶，那么从楼梯底部登上第8个台阶的迈步方法有______种．


【答案】     3     34
【分析】先从最简单的入手分析：如果只有一阶，只有（1，1）1种走法；2阶就是（1，1）和（2，2）2种；3阶是3种；4阶是5种；这时就有一个规律：3阶的走法是1阶走法和2阶走法的走法和即3=1+2；4阶的走法是2阶走法和3阶走法的走法和即5=2+3；以此类推：那5阶就是3+5=8种；6阶就是5+8=13种……得到规律，即可得出答案．
【详解】解：根据上楼梯问题的规律可得：
如果只有1阶，一次上一个台阶，1种走法；只有1种走法；
如果只有2阶，2阶就是（1，1）和一次上两个台阶，只有2种走法；
如果只有3阶，3阶是（1，1，1）（1，2）（2，1），只有1+2=3种走法；
如果只有4阶，4阶是（1，1，1，1，）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（2，2），只有2+3=5种走法；
从第三阶起，后一种的走法数总等于前两种走法数的和；以此规律类推：
如果只有5阶，只有3+5=8种走法；
如果只有6阶，只有5+8=13种走法；
如果只有7阶，只有8+13=21种走法；
如果只有8阶，只有13+21=34种走法；
故答案为：3，34．
【点睛】此题主要考查了计数方法应用，对于上楼梯问题：关键是找出从第三阶起，后一种的走法数总等于前两种走法数的和这个规律．
6．（2022·北京石景山·七年级期末）如图，一串小彩灯按图1的排列方式不断闪烁，其中英文字母R，B，G分别表示该灯为红、蓝、绿色．

（1）请写出第14个彩灯的颜色为_______（请用R，B或G填空）；
（2）图2表示这串彩灯的某一部分，请在图2中找到这串彩灯第2022个彩灯的正确位置，并注明它的颜色_______（请用①，②…或⑥以及R，B或G填空，例如：确定其在位置①且为红色，则填写①R． 以此类推）．
【答案】     B     ⑥G
【分析】（1）根据题意，可得小彩灯的排列方式是3个循环一次，14÷3=4……2，根据余数判断即可；（2）通过观察可得，每12个彩灯的颜色形成一个周期，据此回答即可．
【详解】(1)一串小彩灯按图1的排列方式不断闪烁，其中英文字母R，B，G分别表示该灯为红、蓝、绿色,每3个一循环，找出规律。
143=42
余数是2，就是第二个B
答案是：B
(2)结合图形颜色可确定：每12个彩灯形成一个循环周期，
202212=1686
第2022个颜色与第6个彩灯颜色一致，为G
序号为⑥
答案：⑥G
【点睛】本题考查了图形类规律变化，通过观察分析，归纳其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
7．（2022·全国·七年级课时练习）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．

【答案】45
【分析】根据题意找到图形规律，即可求解．
【详解】根据图形，规律如下表：

三角形3
正方形4
五边形5
六边形6

M边形m
1
1
1
1
1

1
2
1+2
1+21
1+21
1
1+21
1
1

1+2

3
1+2+3
1+2+31+2

1+2+31+2
1+2
1+2+31+2
1+2
1+2

1+2+3

4
1+2+3+4
1+2+3+41+2+3
1+2+3+41+2+3
1+2+3
1+2+3+41+2+3
1+2+3
1+2+3

1+2+3+4








n











由上表可知第n个M边形数为：，
整理得：，
则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键．
8．（2022·全国·七年级课时练习）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
【答案】         
【分析】由题意推导可得an=，即可求解．
【详解】解：由题意可得：a1=2=，a2=，a3=，
∵，
∴2+=7，
∴a4=，
∵，
∴a5=，
同理可求a6=，
∴an=，
∴a2022=，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．
9．（2021·安徽宣城·七年级期末）①52﹣4×12＝21；②72﹣4×22＝33；③92﹣4×32＝45；④112﹣4×42＝57…根据上述规律，用含n的代数式表示第n个等式：_____．
【答案】（2n+3）2﹣4n2＝12 n +9
【分析】通过观察发现，式子的第一个数是从5开始的奇数，第二个数是从1开始的自然的平方的4倍，所得结果是12n+9，由此可求解．
【详解】解：∵①52﹣4×12＝21；②72﹣4×22＝33；③92﹣4×32＝45；④112﹣4×42＝57…，
∴第n个式子是：（2n+3）2﹣4n2＝12 n +9．
故答案为：（2n+3）2﹣4n2＝12 n +9
【点睛】本题考查了根据式子找规律，并表示规律，根据题意，找出各式中变化的规律是解题关键．
10．（2021·浙江·七年级期中）设，，，…；另设，，，…．已知是一个关于的三次多项式（为正整数），可表示为，则________．
【答案】1
【分析】由N1=n1=1,那么令n=1代入即可解答．
【详解】解：∵N1=n1=1
∴令k=1，则有：N1==a+b+c+d
∴a+b+c+d=1．
故填1．
【点睛】本题属于竞赛题，主要考查了特殊值法的应用，发现N1=n1=1,是解答本题的关键．

三、解答题
11．（2022·四川宜宾·七年级期末）已知关于的多项式，．
(1)若整式不含项和不含项，求、的值；
(2)若整式是一个五次四项式，求出、满足的条件．
【答案】(1)，
(2)若，则

【分析】（1）根据多相似不含项、项，令五次项系数、三次项的系数为0，进而求出、的值．
（2）根据是一个五次四项式（该多项式中，的最高次幂是五次，即，一共有四项），分类讨论得出结论．
（1）因为，当不含项和不含项时有和，因为，，所以．因为，，所以或（不符合题意）．所以．
（2）因为 当是一个五次四项式时，①若，即，则有，，，，2．若要多项式中含，且共有四个项，则，且，则．若，则满足条件；②若，即，则有，，，，，2．又，且共有四个项，则．则，．则或（不符合题意）．若，则，此时为不含的四项式，不满足条件．
【点睛】本题考查多项式的理解和运用能力．几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式中，如果不含某一项就是这一项的系数为0．明确多项式的定义，恰当使用分类思想进行分析是解本题的关键．
12．（2022·江苏·七年级）当m为何值时，﹣y2+x2y﹣3是四次多项式．
【答案】
【分析】根据四次多项式的定义可知，该多项式的最高次数为4，所以可确定m的值．
【详解】解：是四次多项式，
，
，
∴当m为16时，是四次多项式．
【点睛】本题考查了与多项式有关的概念，解题的关键理解四次多项式的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，有几项叫几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．
13．（2022·江苏泰州·七年级期中）阅读材料：
因为…
所以





仿照以上过程解决问题：
(1)填空：
，，…
(2)探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
(3)计算．
【答案】(1)0；1；2
(2)，理由见解析
(3)

【分析】（1）仿照阅读材料，得出结果即可；
（2）由（1）计算过程，归纳总结出规律：即可；
（3）根据（2）总结的规律，变形为，再代入计算即可．
（1）
解：，，
故答案为：0，1，2；
（2）
解：，
理由：左边右边,
∴；
（3）
解：∵，
∴

=+++…+
=
=
=．
【点睛】本题考查数式规律探究及运用，归纳总结出规律是解题的关键．
14．（2022·全国·七年级课时练习）探究1：
3×4＝______；
3.3×3.4＝______；
3.33×33.4＝______；
3.333×333.4＝______；
3.3333×3333.4＝______；
3.33333×33333.4＝______；
3.333333×333333.4＝______；
规律：
【答案】12；11.22；111.222；1111.2222；11111.22222；111111.222222；1111111.2222222；规律见解析．
【分析】3×4=12； 3.3×3.4＝11.22 ； 3.32×33.4＝111.222 ； 3.333×333.4＝1111.2222；由此规律求解．
【详解】解∶3×4=12；
3.3×3.4=11.22；
3.33×33.4=111.222；
3.333×333.4=1111.2222；
3.3333×3333.4=11111.22222；
3.33333×33333.4=111111.222222；
3.333333×333333.4=1111111.2222222；
规律：
【点睛】本题考查了探究数字规律，能根据因数数字的变化找出积的变化规律是解题的关键．
15．（2022·全国·七年级专题练习）阅读下列材料并完成
将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接对应的各分点，则图形中一共有多少个正方形？
问题探究：
为了解决上面的问题，我们先研究特殊的情形，再逐次递进最后得出结论．

探究一：将一个边长为2的正方形四条边分别平分，连接各边对应的中点，则图形中一共有多少个正方形？
如图1，连接边长为2的正方形四条边的中点，边长为1的正方形有22＝4个；边长为2的正方形有12＝1个，总共有12+22＝1+4＝＝5个正方形．
探究二：将一个边长为3的正方形四条边分别三等分，连接各边对应的三等分点，则图形中一共有多少个正方形？
如图2，连接边长为3的正方形四条边对应的三等分点，边长为1的正方形有32＝9个；边长为2的正方形有22＝4个；边长为3的正方形有12＝1个，总共有12+22+32＝1+4+9＝＝14个正方形．
(1)探究三：请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正方形四条边四等分，连接各边对应的四等分点，则图形中一共有多少个正方形？（在图3中画出示意图，并写出探究过程）
(2)探究四：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中一共有　 　个正方形．
(3)问题解决：将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接各边对应的n等分点，则图形中一共有　 　个正方形？
(4)应用拓展：计算：1+3+8+24+…+899＝　 　．
【答案】(1)30个，图见解析
(2)55
(3)
(4)9411

【分析】（1）先画出图形，再根据探究二的思路即可得；
（2）根据探究三的思路得出规律即可解决问题；
（3）根据探究一、二、三归纳类推出一般规律即可得；
（4）将原式转化为，再利用规律计算即可得．
（1）解：画图如下：由图可知，边长为1的正方形有个；边长为2的正方形有个；边长为3的正方形有个，边长为4的正方形有个，则总共有个正方形．
（2）解：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中正方形的个数为（个），故答案为：55．
（3）解：当时，图形中正方形的个数为，当时，图形中正方形的个数为，当时，，归纳类推得：将边长为的正方形四条边分别等分，连接各边对应的等分点，图形中一共有正方形的个数为，故答案为：．
（4）解：原式，故答案为：9411．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
16．（2022·全国·七年级专题练习）杨辉三角是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示是一种变异的“杨辉三角”：

仔细观察上表，根据你发现的规律，解答下列问题：
(1)从上往下数第6行，左边第二个数是__________，右边最后一个数是__________；
(2)该数表中是否存在数255？并说明理由．
【答案】(1)64，68
(2)存在，理由见解析

【分析】（1）根据题意可知可以得到第n行第1个数为，由此可得第n行第n个数为，据此求解即可；
（2）假设存在数255，则，由此求解即可．
（1）解：∵，，，，，∴可以得到第n行第1个数为，∴第n行第n个数为，∴第6行第2个数为，第6行最后一个数为；
（2）解：∵第n行第n个数为，∴假设存在数255，则，∵，∴当时，，∴255即为第8行第一个数，∴存在数255．
【点睛】本题主要考查了数字类的规律题，正确找到规律是解题的关键．
17．（2022·陕西西安·七年级期末）将边长相等的黑、白两色小正方形按如图所示的方式拼接起来，第1个图由5个白色小小正方形和1个黑色小正方形拼接起来，第2个图由8个白色小正方形和2个黑色小正方形拼接起来，第3个图由11个白色小正方形和3个黑色小正方形拼接起来，依此规律拼接．

(1)第4个图白色小正方形的个数为__；
(2)第10个图白色小正方形的个数为___；
(3)第n个图白色小正方形的个数为（用含n的代数式表示，结果应化简）；
(4)是否存在某个图形，其白色小正方形的个数为2021个，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)14
(2)32
(3)
(4)存在，第673个

【分析】（1）由图可知，第一个图形由5个白色小正方形，第二个图形由8个，第三个图形由11个，往后每个图形依次增加3个，第四个图形在第三个图形的基础上增加3个即可；
（2）根据（1）中观察得到的结论“往后每个图形依次增加3个白色小正方形”，则第十个应该在第一个的基础上增加9×3个；
（3）第一个：5=2+3，第二个：8=2+3×2，第三个：11=2+3×3，则第n个应该在2的基础上增加3n个；
（4）设第n个图白色小正方形的个数为2021，将2021代入（3）中的代数式，求出n，若n为整数，则存在，否则，不存在．
（1）11+3=14（个），故答案为：14
（2）5+3×9=32（个），则答案为：32
（3）第一个：5=2+3，第二个：8=2+3×2，第三个：11=2+3×3，则地n个：2+3n，故答案为：2+3n
（4）设第n个图白色小正方形的个数为2021则解得所以第673个图白色小正方形的个数为2021
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，根据题目给出的图形找出其中的变化规律是解题的关键．
18．（2022·福建宁德·七年级期末）如图，用若干个点摆成一组等边三角形点列，其中第个三角形的每一边上都有n个点，该图形中点的总数记为，我们把称为“三角形数”，并规定当时，“三角形数”．

(1)“三角形数”______________，______________；
(2)①某数学兴趣小组发现相邻两个“三角形数”的和有一定的规律：如．请猜想：______________；
②请用所学的知识说明①中猜想的正确性．
【答案】(1)15，
(2)①；②见解析

【分析】（1）根据题目即可写出、；
（2）①根据规律即可猜想出结论；
②利用（1）中的表达式即可证明
(1)
解：S1=1，
S2=1+2=3，
S3=1+2+3=6，
S4=1+2+3+4=10，
S5=1+2+3+4+5=15，
……
Sn=1+2+3+4+5+…+n=，
∴，；
故答案为：15，；
(2)
解：①；
②∵

，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
19．（2022·全国·七年级专题练习）问题提出：
将一根长度是（的偶数）的细绳按照如图所示的方法对折次（），然后从重叠的细绳的一端开始，每隔1厘米（两端弯曲部分的绳长忽略不计）剪1刀，共剪刀（的整数），最后得到一些长和长的细绳．如果长的细绳有222根，那么原来的细绳的长度是多少？


问题探究：
为了解决问题，我们可以先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：
对折1次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图①），左端出现了2根长的细绳，右端出现了根长的细绳，所以原绳长为；如果剪2刀（如图②），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，右端仍有根长的细绳， 所以原绳长为；如果剪3刀（如图③），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，右端仍有根长的细绳，所以原绳长为；以此类推，如果剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长细绳，右端仍有根长的细绳，所以，原绳长为．


探究二：
对折2次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图④），左端出现了2根长的细绳，两端共出现了根长的细绳，所以原绳长为；如果剪2刀（如图⑤），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端仍有根长的细绳，所以原绳长为；如果剪3刀（如图⑥），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端共有根长的细绳，所以原绳长为；以此类推，如果剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端仍有根长的细绳，所以原绳长为．


探究三：
对折3次（如图⑦），可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端有根长的细绳，所以原绳长为cm．


(1)总结规律：
对折次，可以看成有 根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有 根长的细绳，中间会有 根长的细绳，两端会有 根长的细绳，所以原绳长为 ．
(2)问题解决：
如果长的细绳有222根，根据以上探究过程可以推算出细绳可能被对折了 次，被剪了 刀，原来的细绳的长度是 ．
(3)拓展应用：
如果长的细绳有2024根，那么原来的细绳的长度是 ．
【答案】(1)2n，2，，（），
(2)1或2，111或56，224或228
(3)2026

【分析】（1）根据题意对折1次，2次，3次的规律，进行推导对折n次的结果；
（2）由题意，得2+=222，进而讨论解得情况求m，n即可；
（3）方法同（2）进行计算即可．
(1)
解：对折1次，有根绳子重叠在一起，剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长细绳，右端有根长的细绳，原绳长为，
对折2次，有根绳子重叠在一起，剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端有根长的细绳，原绳长为，
对折3次，有根绳子重叠在一起，剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端有根长的细绳，原绳长为，
……
则对折次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有2根长的细绳，中间会有根长的细绳，两端会有（）根长的细绳，所以原绳长为
故答案为：2n，2，，（），；
(2)
解：由题意，得2+=222
∴=220
∴
又，220=2×110或220=4×55
∴可以为2，4
∴=2或4，m-1=110或55
∴n=1或2，m=111或56
∴原绳长为21×（111+1）=224或22×（56+1）=4×57=228
故答案为：1或2，111或56，224或228；
(3)
解：由题意，得2+=2024
∴=2022
∴
又，2022=2×1011
∴为2
∴=2，m-1=1011
∴n=1，m=1012
∴原绳长为21×（1012+1）=2×1013=2026
故答案为：2026．
【点睛】本题考查了图形变化类规律探究，解决本题的关键是读懂题意，根据图形变化归纳出规律．
20．（2022·全国·七年级专题练习）（1）有一列数1、3、5、7……有无数项（无数个数），请观察其规律后写出其中第20项（从左往右数第20个数）是 ，第n项是 ；
（2）二算法是数学的一种很重要的方法，用二算法可以得到许多很重要的数学公式．请观察下图，用二算法推导出1＋3、1＋3＋5、1＋3＋5＋7的计算结果，猜测1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）的计算结果；
（3）由（2）推导出2＋4＋6＋……＋2n的结果．


【答案】（1）39； 2n－1；（2） n2；（3）n2+n
【分析】（1）由所给的数字可得第n个数为2n﹣1，据此解答即可；
（2）对所给的图形进行分析，总结出规律即可；
（3）利用（2）的方式进行求解即可．
【详解】解：（1）∵一列数1、3、5、7…，
∴第n个数为：2n﹣1，
∴第20个数为：2×20﹣1＝39，
故答案为：39，2n﹣1；
（2）第（2）图中，分层小正方形的个数是（1+3）个，而整体计算小正方形的个数是22，所以，1+3＝22；
第（3）图中，分层小正方形的个数是（1+3+5）个，而整体计算小正方形的个数是32，所以，1+3+5＝32；
第（4）图中，分层小正方形的个数是（1+3+5+7）个，而整体计算小正方形的个数是42，所以，1+3+5+7＝42；
猜测1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2；
（3）2+4+6+8+…+2n
＝1+1+3+1+5+1+7+1+…+（2n﹣1）+1
＝1+3+5+7+…+（2n﹣1）+n
＝n2+n．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析清楚存在的规律．
21．（2021·浙江·七年级期中）某校数学竞赛社团组织不足名男生参加外地的集训，这些学生住宿时，若安排双人间，则有1人单独一间房；若安排三人间，则也有1人单独一间房．按每5人一组分组讨论时，最后一组缺2人．现对每位男生按1，2，3，…，的顺序给一个学号．
（1）求参加集训的男生的人数；
（2）证明：其中任意8位学生中，必有两人学号之和为15；
（3）证明：在数列2021，20212021，202120212021…中，必有的倍数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）根据题中所给的条件不断缩小k的取值范围，进而确定k的取值；
（2）由（1）可得k=13，然后对这13名学生编一个学号，通过列举可知有12个数据都能成为和为15的数组，那么其中任意8位学生中，就算有学号1，也存在一组和为15的数组；
（3）根据能被13整除的数的特征解答即可．
【详解】解：（1）∵按每5人一组分组讨论时，最后一组缺2人，
∴人数的个位为3或8．
∵若安排双人间，则有1人单独一间房；
∴人数为奇数．
∵若安排三人间，则也有1人单独一间房．
∴k≠3，k=13；
（2）证明：一共有13名学生，在1到13中，和为15的数组有：2和13，3和12，4和11，5和10，6和9，7和8共12个数，
∴在抽中的8位学生中就算有学号为1，也一定有2个学号的和为15，
∴其中任意8位学生中，必有两人学号之和为15；
（3）证明：13的倍数特征：若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除；如果和太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述操作，
∵数列2021，20212021，202120212021…中的各项个位都为1，
∴202120212021可化为20212021202+4=20212021206，再化为2021202144，202120230，20212023，2021214，202137，20241，2028，234，39，
∵39是13的倍数，
∴在数列2021，20212021，202120212021…中，必有的倍数．
【点睛】本题主要考查了数字的规，掌握13的倍数特征是解答本题的关键．