初中北师大版3 勾股定理的应用同步练习题

这是一份初中北师大版3 勾股定理的应用同步练习题，共17页。试卷主要包含了如图，已知树EF等内容，欢迎下载使用。
1．有长为5cm，12cm的两根木条，现想找一根木条和这两根木条首尾顺次相连组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（ ）
A．10cmB．13cmC．18cmD．20cm
2．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ）
A．4米B．8米C．9米D．7米
3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m的路，却踩伤了花草．
A．5B．4C．3D．2
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（ ）
A．π B．3π C．9π D．6π
5．如图，已知树EF（垂直于地面）上的点B处（BE＝5米）有两只松鼠，为抢到A处（点A，E在同一水平地面上，AE＝10米）的坚果，一只松鼠沿B﹣E﹣A到达点A处，另一只松鼠沿B﹣F﹣A到达点A处．若两只松鼠经过的路程相等，则树EF的高为（ ）
A．6.5米B．7.0米C．7.5米D．8米
6．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是（ ）m．
A．1.3B．2.5C．2.6D．2.8
7．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距（ ）海里．
A．8B．10C．12D．13
8．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（ ）组．
A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4
9．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人．这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为（ ）
A．3米B．5米C．7米D．9米
10．如图，将一根长为16cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为点A、点B，然后将中点C向上拉升6cm，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
11．如图，有一个圆柱，它的高等于9cm，底面上圆的周长等于24cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）
A．15cmB．17cmC．18cmD．20cm
12．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（ ）
A．厘米B．10厘米C．8厘米D．8厘米
二．填空题
13．在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
14．如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长为 ．
15．甲船以24km/h的速度离开港口O向北偏东40°方向航行，乙船同时离开港口O以10km/h的速度沿一定方向航行，半小时后分别到达A、B两点，且相距13km，则乙船沿 方向航行．
16．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 m．
17．如图，一只螳螂在树干的点A处，发现它的正上方点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为10cm，A，B两点的距离为45cm，则螳螂爬行的最短距离为 ．（π取3）
如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕几圈丝线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度
是 cm．
三．解答题
19．为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B＝90°），如图所示，通过测量得AC长为160m，BC长为128m，请求出图中A、B两点之间的距离．
20．如图，在平静的湖面上，有一支芦苇AB，高出水面部分AC为1米，一阵风吹来，芦苇被吹到一边，芦苇顶端被水面淹没（即AB＝DB），一支芦苇移动的水平距离为3米，则湖水深度BC为所少米？
21．如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
（1）如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？
（2）A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
22．如图，旗绳AC自由下垂时，比旗杆AB长2米，如果将旗绳斜拉直，下端在地面上，距旗杆底部的距离BC＝6米，求旗杆AB的高度．
23．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方50m处，过了4s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为130m．这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
24．2021年是第七届全国文明城市创建周期的第一年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC＝90°．
（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定∠ABC＝90°的依据；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
北师大版八年级数学上册第一章1.3勾股定理的应用 同步测试答案
一．选择题
1．有长为5cm，12cm的两根木条，现想找一根木条和这两根木条首尾顺次相连组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（ ）选：B．
A．10cmB．13cmC．18cmD．20cm
2．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ）选：D．
A．4米B．8米C．9米D．7米
3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m的路，却踩伤了花草．选：B．
A．5B．4C．3D．2
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（ ）选：C．
A．π B．3π C．9π D．6π
5．如图，已知树EF（垂直于地面）上的点B处（BE＝5米）有两只松鼠，为抢到A处（点A，E在同一水平地面上，AE＝10米）的坚果，一只松鼠沿B﹣E﹣A到达点A处，另一只松鼠沿B﹣F﹣A到达点A处．若两只松鼠经过的路程相等，则树EF的高为（ ）
A．6.5米B．7.0米C．7.5米D．8米
解：设设BF为xm，则EF＝（5+x）m，
由题意知：BE+AE＝15m，
∵两只松鼠所经过的路程相等，
∴BF+AF＝15m，
∴AF＝（15﹣x）m，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：
102+（x+5）2＝（15﹣x）2，
解得x＝2.5，
∴EF＝5+2.5＝7.5（m），
答：这棵树高7.5米．
故选：C．
6．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，如果把树干看成圆柱体，其底面周长是0.5m，如图是葛藤盘旋1圈的示意图，则这段葛藤的长是（ ）m．
A．1.3B．2.5C．2.6D．2.8
解：∵葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m，
∴葛藤绕树干盘旋1圈升高为1.2m，
如图所示：
AC＝＝＝1.3（m）．
∴这段葛藤的长＝2×1.3＝2.6（m）．
故选：C．
7．如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出发，一个小时后，甲、乙两渔船相距（ ）海里．选：B．
A．8B．10C．12D．13
8．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（ ）组．选：C．
A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4
9．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人．这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为（ ）
A．3米B．5米C．7米D．9米
解：在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，AB＝15m，OB＝12﹣3＝9（m），
∴AO＝＝＝12（m），
在Rt△COD中，∵∠COD＝90°，CD＝15m，OD＝15﹣3＝12（m），
∴OC＝＝＝9（m），
∴AC＝OA﹣OC＝3（m），
答：消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为3m，
故选：A．
10．如图，将一根长为16cm的橡皮筋固定在笔直的木棒上，两端点分别记为点A、点B，然后将中点C向上拉升6cm，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
解：Rt△ACD中，AC＝AB＝8cm，CD＝6cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝10（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣16＝4（cm）；
故橡皮筋被拉长了4cm．
故选：A．
11．如图，有一个圆柱，它的高等于9cm，底面上圆的周长等于24cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）
A．15cmB．17cmC．18cmD．20cm
解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长，
由题意得：AC＝9cm，BC＝12cm．
由勾股定理得：AB＝＝＝15（cm），
答：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm．
故选：A．
12．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（ ）
A．厘米B．10厘米C．8厘米D．8厘米
解：如图所示：最短距离为PA'的长度，将圆柱展开，
PA'＝＝＝10cm，
最短路程为PA'＝10cm．
故选：B．
二．填空题
13．在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 7.5 米．
解：设树的高度为x米．
∵两只猴子所经过的距离相等，BC+AC＝15，
∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，
在Rt△ACD中根据勾股定理得，
CD2+AC2＝AD2，
x2+100＝（20﹣x）2，
x＝7.5，
故答案为：7.5．
14．如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长为 20cm ．
解：如图（1）所示：
AB＝＝2；
如图（2）所示：
AB＝＝20．
由于2＞20，
所以最短路径为20cm．
故答案为：20cm．
15．甲船以24km/h的速度离开港口O向北偏东40°方向航行，乙船同时离开港口O以10km/h的速度沿一定方向航行，半小时后分别到达A、B两点，且相距13km，则乙船沿 南偏东50° 方向航行．
解：∵甲船以24km/h的速度、乙船以10km/h的速度航行了半小时，
∴OA＝24×0.5＝12（km），AO＝5km，
∵AB＝13km，
∴52+122＝132，则OB2+AO2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠3+∠2＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3＝40°，
∴乙船沿南偏东50°方向航行．
故答案为：南偏东50°．
16．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 2.7 m．
解：在Rt△AED中，∵∠AED＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米，
∴AD2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+1.52＝6.25，
∴AB2＝4．
∵AB＞0，
∴AB＝2米．
∴BE＝AE+AB＝0.7+2＝2.7米．
答：小巷的宽度BE为2.7米，
故答案为：2.7．
17．如图，一只螳螂在树干的点A处，发现它的正上方点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为10cm，A，B两点的距离为45cm，则螳螂爬行的最短距离为 75cm ．（π取3）
解：如图1所示：AC＝2π×10＝20π≈60（cm），BC＝45cm，
故AB＝＝＝75（cm）．
答：螳螂绕行的最短距离为75cm，
故答案为：75cm．
18．如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕几圈丝线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是 150 cm．
解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，
∵BE＝120cm，AC＝30×3＝90（cm），
∴AB＝＝150（cm）．
答：按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是150cm．
故答案为：150．
三．解答题
19．为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B＝90°），如图所示，通过测量得AC长为160m，BC长为128m，请求出图中A、B两点之间的距离．
解：由题意得，∠ABC＝90°，AC＝160m，BC＝128m，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝96（m）．
答：点A到点B的距离为96m．
20．如图，在平静的湖面上，有一支芦苇AB，高出水面部分AC为1米，一阵风吹来，芦苇被吹到一边，芦苇顶端被水面淹没（即AB＝DB），一支芦苇移动的水平距离为3米，则湖水深度BC为所少米？
解：设BC为h米，
Rt△BCD中，BC＝h，AB＝BD＝h+1，DC＝3，
由勾股定理得：BD2＝DC2+BC2，
即（h+1）2＝h2+32，
解得：h＝4．
因此湖深BC为4米．
21．如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
（1）如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？
（2）A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
解：（1）设每一级台阶的高为x分米，
根据题意得，18×（4+x）×4＝432，
解得x＝2，
答：每一级台阶的高为2分米；
（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18dm，宽为（2+4）×4dm，
则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AC＝＝30（分米），
答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
22．如图，旗绳AC自由下垂时，比旗杆AB长2米，如果将旗绳斜拉直，下端在地面上，距旗杆底部的距离BC＝6米，求旗杆AB的高度．
解：设旗杆的高度为xm，根据题意可得：
（x+2）2＝x2+62，
解得：x＝8．
答：旗杆AB的高度为8米．
23．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方50m处，过了4s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为130m．这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
解：由勾股定理得，BC＝＝＝120（米），
∴v＝120÷4＝30（米/秒），
∵30×3.6＝108（千米/小时），
∴30米/秒＝108千米/小时，108＞70，
∴这辆小汽车超速了．
24．2021年是第七届全国文明城市创建周期的第一年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了∠ABC＝90°．
（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定∠ABC＝90°的依据；
（2）若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
解：（1）连接AC，
技术人员测量的是A，C两点之间的距离，
确定∠ABC＝90°的依据是勾股定理逆定理；
（2）∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2+AC2＝DC2，
∴∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2），
S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54，
∴S四边形ABCD＝60+54＝114（m2），
∴150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．