初中数学北师大版八年级上册3 勾股定理的应用优秀达标测试

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专题1.3 勾股定理的应用

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1、利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题（梯子滑动、风吹莲动、折竹抵地、台风和爆破、航行和信号塔、速度等问题）。
2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.
知识精讲

知识点01 勾股定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　
【知识拓展1】梯子滑动问题
【微点拨】梯子滑动问题解题步骤：
1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；
2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；
3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。
注意：梯子长度为不变量。
主要题型：常见题型有梯子滑动、绳子移动等题型。
例1．（2021·江苏）如图，一架25米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端离墙有7米．
（1）求梯子靠墙的顶端距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端沿墙下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．

【答案】（1）24米；（2）不正确，理由见解析．
【分析】（1）利用勾股定理，即可求出答案；
（2）由题意，先求出，，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：（1）如图，

由题意得，，∴∴即顶端距地面有24米
（2）她的说法不正确；由题意得，，，
∴，∴，∴，
∴梯子水平滑动了8米，∴她的说法不正确．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合思想的应用．
【即学即练1】
1．（2022·江苏八年级期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．

【答案】2.2米
【分析】先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．
【详解】解：在中，，米，米，
．在△中，，米，，
，，，米，米，
答：小巷的宽度为2.2米．

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
2．（2021·吉林九台·八年级期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，同时小船从移动到，且绳长始终保持不变．、、三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）根据题意可知： （填“＞”、“＜”、“＝”）．
（2）若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．

【答案】（1）=；（2）小男孩需向右移动的距离为米．
【分析】（1）根据男孩拽绳子前后始终保持不变即可得；
（2）由勾股定理分别求出AC，BC的长，然后根据（1）中结论求解即可．
【详解】解：（1）∵AC的长度是男孩拽之前的绳长，是男孩拽之后的绳长，绳长始终未变，
∴，故答案为：=；
（2）∵A、B、F三点共线， ∴在中，，
∵，∴在中，，
由（1）可得：，∴，∴小男孩需移动的距离为米．
【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．
【知识拓展2】风吹草动和折竹抵地
【微点拨】风吹莲动问题解题步骤：
1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；
3）根据勾股定理列方程求解。
折竹抵地问题解题步骤：
1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度；
2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；
3）根据勾股定理列方程求解。
注意：1）“莲花”高度为不变量。2）“竹子”高度为不变量。
主要题型：常见题型有莲花、芦苇、吸管、筷子、有竹子、风筝线、旗杆绳等题型。
例1．（2022成都市八年级月考）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，则AC=_____尺．

【答案】4
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，利用勾股定理构造方程解方程即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（9﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2＋32＝（9﹣x）2解得：x＝4，答：折断处离地面的高度为4尺．故答案为：4.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，依据勾股定理构造方程是解题关键．
例2．（2021·江苏泰州市·八年级期末）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是______尺．

【答案】13
【分析】设出AB=AB'=x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
【详解】解：设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x-1)尺，
因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺
在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，解之得x=13，即芦苇长13尺．故答案为：13．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
【即学即练2】
1．（2022·河南八年级期末）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺．

【答案】14.5
【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：（x-4）²+10²=x²，解得：x=14.5，故答案为：14.5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，由勾股定理建立方程是解题的关键．
2．（2021·西安市黄河中学八年级月考）如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿竖直插到水底，此时竹竿离岸边点C处的距离米．竹竿高出水面的部分长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度为（　　）

A．1.5米 B．1.7米 C．1.8米 D．0.6米
【答案】A
【分析】设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，根据勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：设BD的长度为xm，则AB=BC=（x+0.2）m，
在Rt△CDB中，0.82+x2=（x+0.2）2，解得x=1.5．故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．

【知识拓展3】台风和爆破问题
【微点拨】台风、爆破问题解题步骤：
1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；
2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；
3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。
注意：通常会用到垂线段最短的原理。
主要题型：常见题型有爆破、台风等题型。
例1．（2021·辽宁八年级期末）今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A，台风中心O正以每小时的速度向北偏西60°的方向移动，经监测得知台风中心的范围内将会受台风影响，．该城市是否受到这次台风的影响？若不受影响，请说明理由；若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间．

【答案】受影响，6小时
【分析】过点A作，在Rt△ACO中，根据直角三角形的性质求得AC＝160，与200比较作答即可；以A为圆心，以200米长为半径画弧交BO于D、G两点，则A城受台风影响的距离为DG的长；在Rt△ACD中，根据勾股定理求出CD，同理求得CG，结合台风的风速即可解出A城受台风影响的时间．
【详解】解：如图，过点A作于点C，

由题得，，∴，
∵，∴会受到台风影响． 以A为圆心，以200米长为半径画弧交OB与D、G两点，

∴AD＝AG＝200千米，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，
由勾股定理得，（千米），同理可得CG=120，则DG＝240千米，
∴A城遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．
【点睛】本题考查勾股定理，速度与时间的关系，解题的关键是作出合适的辅助线．
【即学即练1】
1．（2021·贵州六盘水·八年级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A，B的距离分别为：，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）请计算说明海港C会受到台风的影响；（2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）计算见解析；（2）台风影响该海港持续的时间为7小时
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】解：（1）如图，过点C作于点D

∵∴∴是直角三角形
∴∴∴
∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域∴海港C会受台风影响；
（2）当时，
台风在上运动期间会影响海港C
在中
在中∴
∵台风的速度为20千米/小时∴（小时）
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
2．（2021·四川·成都七中八年级期中）如图，在甲村到乙村的公路一旁有一块山地正在开发．现A处需要爆破，已知点A与公路上的停靠站B，C的距离分别为400 m和300 m，且ACAB．为了安全起见，如果爆破点A周围半径260 m的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路BC段是否需要暂时封闭？为什么?

【答案】需要封闭，理由见解析
【分析】过作于 先求解 再利用等面积法求解 再与260比较，可得答案.
【详解】解：过作于



所以进行爆破时，公路BC段需要暂时封闭.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用等面积法求解直角三角形斜边上的高，掌握“等面积法求解直角三角形斜边上的高”是解题的关键.

【知识拓展4】位置问题（航行和信号塔）
【微点拨】航行问题解题步骤：
1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；
2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；
3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。
信号塔、中转站题型解题步骤：
1）根据问题设出未知量（一般情况下求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；
2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；
3）根据斜边长相等建立方程求解。
注意：1）轮船航行的题目要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长；
2）信号塔和中转站等题型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。
主要题型：常见题型有轮船航行、信号塔、中转站等题型。
例1．（2021·山东八年级期末）如图，笔直的公路上A、B两点相距22km，C、D为公交公司两停车场，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知CA=6km，DB=16km，现在要在公路的AB段上建一个加油站M，使得C、D公交公司两停车场到加油站M的距离CM=DM，则加油站M应建在离B点多远处？

【答案】6km
【分析】根据CM=DM，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，可得∠A =∠B=90°，由勾股定理得AC2+AM2=BM2+BD2，设BM=xkm，AM=(22-x)km， 可得方程，解之即可．
【详解】解：∵使得C、D公交公司两停车场到加油站M的距离相等，∴CM=DM，
∵CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，∴∠A =∠B=90°，
∴AC2+AM2=CM2，BM2+BD2=MD2，∴AC2+AM2=BM2+BD2，
设BM=xkm，AM=(22-x)km，CA=6km，DB=16km，
∴，解得，
加油站M应建在离B点6km远．
【点睛】本题考查勾股定理应用，拓展一元一次方程，掌握勾股定理使用条件，一元一次方程的解法是解题关键．
例2．（2022·全国·八年级）如图，某港口O位于南北延伸的海岸线上，东面是大海．远洋号、长峰号两艘轮船同时离开港O，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海里，它们离开港口1小时后，分别到达A，B两个位置，且AB=20海里，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并说明理由．

【答案】南偏东30°，理由见解析．
【分析】由题意得： OA2＋OB2＝AB2，由勾股定理的逆定理得出△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，求出∠DOB＝30°，即可得出答案．
【详解】解：“长峰”号航行的方向是南偏东30°．理由是：

由题意得：OA=12，OB=16，AB=20，
∵122+162=202，∴OA2+OB2=AB2．
∴△OAB是直角三角形，∴∠AOB=90°．
∵∠COA=60°，∴∠DOB=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴“长峰”号航行的方向是南偏东30°．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理及方向角的理解与运用，利用勾股定理的逆定理得出△OAB为直角三角形是解题的关键．
【即学即练2】
1．（2022·河南·八年级阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，乙巡航艇的航向为北偏西．

（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）;（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
【答案】（1）；（2）海里
【分析】（1）先用路程等于速度乘以时间计算出，的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解；
（2）分别求得甲、乙航行3分钟的路程，然后由勾股定理来求甲乙的距离．
【详解】解：（1）（海里），（海里），
又AB=13海里所以，
所以是直角三角形， 所以
由已知得，所以，所以甲的航向为北偏东，
（2）甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）
乙甲巡逻船航行3分钟的路程为（海里）
所以3分钟后甲、乙两艘巡逻船相距为：（海里）．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键．
2．（2022·江西赣州·八年级期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中所在的直线上建一图书馆，本社区有两所学校，分别在点和点处，于点，于点．已知，，．问：图书室应建在距点多少米处，才能使它到两所学校的距离相等？

【答案】10km
【分析】设AE=x，然后用x表示出BE的长，进而可在两个直角三角形中，由勾股定理表示出CE、DE的长，然后列方程求解．
【详解】解：设AE=xkm，则BE=（25-x）km，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152，
同理可得：DE2=BE2+BD2=（25-x）2+102，
若CE=DE，则AE2+AC2=BE2+BD2，
x2+152=（25-x）2+102，解得：x=10km；
答：图书室E应该建在距A点10km处，才能使它到两所学校的距离相等．
【点睛】此题主要考查的是勾股定理的应用，根据CE=DE得出AC2+AE2=BE2+DB2是解题关键．

【知识拓展5】速度问题（超速和噪音问题）
【微点拨】速度问题解题步骤：
1）根据勾股定理计算行驶的距离；
2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度；
3）比较实际行驶速度和规定速度。
注意：要将速度统一单位后再进行比较。
只要题型：常见题型有汽车超速、噪音影响等题型。
例5．（2021·广州市育才中学八年级期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．

【答案】80 12
【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．
【详解】解：作于，，m，m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．

如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，，在中，m，m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．故答案为：80，12．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【即学即练1】
1．（2021·山东省平邑县第一中学八年级月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方50米处的C点，过了6秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为130米．（1）求BC间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．

【答案】（1）120米；（2）超速，理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理求出BC的长；（2）直接求出小汽车的时速，进而比较得出答案．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵AC=50m，AB=130m，且AB为斜边，
根据勾股定理得：BC=120（m）；
（2）这辆小汽车超速了．理由：∵120÷6=20（m/s），平均速度为：20m/s，
20m/s=72km/h，72＞70，∴这辆小汽车超速了．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键．
2．（2021·河南周口市·八年级期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米，（1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距点的距离之和为米时，遥控信号是否会产生相互干扰？

【答案】（1）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
【分析】（1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论；（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】解：(1)出发秒钟时，米，米
米，米米，米（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰

(2)设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得，，解得
此时AC1=20，AB1=15，此时
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰
答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．























分层提分


题组A 基础过关练
1．（2022·广东东莞·八年级期中）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（　　）

A．1.0 米 B．1.2 米 C．1.25 米 D．1.5 米
【答案】A
【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理解得AD的长即可．
【详解】解：过点D作于点E，


中（米）故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，作出正确的辅助线是解题关键．
2．（2022·湖北省崇阳县八年级期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后相距30nmile，且知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号航行的方向是_______．

【答案】西北方向
【解析】
【分析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．
【详解】解：根据题意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．
由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，
即“海天”号沿西北方向航行故答案为：西北方向．
【点睛】此题主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形．
3．（2022·全国·八年级课时练习）《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．

【答案】
【分析】设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设经 x秒二人在C处相遇，这时乙共行 AC =3x，甲共行AB +BC =7x，
∵AB =10，∴ BC =7x -10，又 ∵∠A =90°，∴BC2= AC2 + AB2，
∴(7x -10)2=(3x)2+102，故答案是：(7x -10)2= (3x)2+102．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．
4．（2022·云南广南·八年级期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．

【答案】3米
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x米，则斜边为（8x）米．利用勾股定理解题即可．
【详解】解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，∴设BC长为x米，则AC长为（）米，
∴在Rt△CBA中，有，
即：，解得：，∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
5．（2022·江苏八年级期末）如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s

【答案】8
【分析】过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，

∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵144千米/小时=40米/秒，∴影响时间应是：320÷40=8秒．故答案为：8．
6．（2021·广东佛山·八年级阶段练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．

(1)求小汽车6秒走的路程；(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？
【答案】(1)120米 (2)72千米小时，小汽车超速了
【分析】（1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程；（2）利用速度路程时间，即可判断．
【解析】(1)解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示：

由题意可得：米，米，
在中，（米，
答：小汽车6秒走的路程为120米；
(2)解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时），
，小汽车超速了．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形．
7．（2021·河南·鹤壁市外国语中学八年级期中）为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P以200米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，问村庄是否能听到？若能，请求出总共能听到多长时间的宣传？

【答案】能，村庄总共能听到8分钟的宣传．
【分析】根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，可以判断能否听到；根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．
【详解】解：村庄能否听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴村庄能听到宣传；
如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶到Q点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ＝＝800（米），
∴PQ＝1600米，∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8（分钟），∴村庄总共能听到8分钟的宣传．

【点睛】此题主要考查勾股定理在实际问题中的应用，在实际问题中找出相应的直角三角形是解题关键．

题组B 能力提升练
1．（2022·陕西八年级期中）如图所示有一“工”字形的机器零件它是轴对称图形，图中所有的角都是直角，图中数据单位：，那么、两点之间的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作于点，求出BC，AC，然后根据勾股定理计算即可．
【详解】解：作于点，如下图所示 由图可得，

由勾股定理得：
即A、B两点之间的距离为故选A．

【点睛】本题考查了勾股定理，构造出直角三角形是解题关键．
2．（2020·广西壮族自治区中考真题）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ）

A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
【答案】C
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，则DE=10，OE=CD=1，AE=．

在Rt△ADE中，，即，解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2021·山西八年级期末）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ）

A．2km B．4km C．10 km D．14 km
【答案】B
【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键．
4．（2021·湖北八年级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄河边原有两个取水点其中由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路测得千米，千米，千米．

（1）问是否为从村庄到河边的最近路．请通过计算加以说明；（2）求新路比原路少多少千米．
【答案】(1)是，理由见解析；(2)0.05千米
【分析】(1)根据勾股定理的逆定理验证△CHB为直角三角形，进而得到CH⊥AB，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答；(2)在△ACH中根据勾股定理解答即可．
【详解】解：(1)是，理由如下：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，即CH2+BH2=BC2，
∴△CHB为直角三角形，且∠CHB=90°，∴CH⊥AB，
由点到直线的距离垂线段最短可知，CH是从村庄C到河边AB的最近路；
(2)设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2 ∴x2=(x-0.9)2+1.22，
解得x=1.25，即AC=1.25，故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．
【点睛】此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
5．（2022·全国九年级专题练习）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？

【答案】（1）会受噪声影响，理由见解析；（2）有2分钟；
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．
【详解】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，

∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝=50（m），∴EF＝50×2=100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答.
6．（2021·四川省巴中中学八年级期中）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明身高为米．（1）求风筝的高度；（2）若小亮让风筝沿方向下降了米到点（即米），则他往回收线多少米？

【答案】（1）19.68米，（2）4米．
【分析】（1）在中，利用勾股定理可求得，根据，可求得风筝的高度；
（2）连接，根据，，可得，利用勾股定理可求得 ，再根据可求得往回收线的长度．
【详解】解：（1）在中，由勾股定理得，，∴（取正），
∴（米，∴风筝的高度为19.68米．
（2）如图示，连接

∵，∴，
在中，由勾股定理得，，
∴（取正），∴往回收线的长度是：（米）
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
7．（2022·新疆·乌鲁木齐市八年级期中）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长为15米（注：）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米．
(1)求风筝的高度．(2)过点D作，垂足为H，求的长度．

【答案】(1)风筝的高度为21.7米 (2)的长度为9米
【分析】（1）在中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可；
（2）利用等积法求出DH的长，再在在中由勾股定理即可求得BH的长．
【解析】(1)在中，由勾股定理，得：（米），
所以（米），
答：风筝的高度为21.7米．
(2)由等积法知：，解得：（米）．
在中，（米），
答：的长度为9米．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确．
8．（2021·成都八年级期中）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

【答案】E点应建在距A站10千米处．
【分析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．
【详解】解：设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得152+x2＝102+（25﹣x）2，x＝10．故：E点应建在距A站10千米处．
【点睛】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．

题组C 培优拔尖练
1．（2022·吉林长春·八年级期末）伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个景点 、其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（、、三点在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．

(1)判断的形状，并说明理由；(2)求原路线的长．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)原来的路线的长为千米
【分析】（1）是直角三角形，理由见解析
（2）根据勾股定理解答即可
【解析】(1)是直角三角形，理由是：在中，
∵，∴
∴是直角三角形且；
(2)设千米，则 千米，
在中，由已知得，
由勾股定理得：，
∴解这个方程，得，
答：原来的路线的长为千米．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？

【答案】走私艇最早在10时41分进入我国领海．
【分析】先判断出△ABC是直角三角形，再用面积相等计算出BD，在Rt△BCD中，由勾股定理计算出CD，算出走私艇行驶的时间，即可求出进入我国领海的时刻．
【详解】∵   ，∴△ABC为直角三角形．∴∠ABC＝90°．
又BD⊥AC，∴,∴,
在Rt△BCD中，由勾股定理得：．
∴≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．
【点睛】本题是与航海有关的实际应用题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，用面积相等计算直角三角形斜边上的高是常用的方法．
3．（2022·全国·八年级专题练习）由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？

【答案】（1）受影响，理由见解析；（2）15小时
【分析】（1）过点作AC⊥BM，垂足为C，在Rt△ABC中，由题意可知∠ABC=30°，由此可以求出AC 的长度，然后和150km比较大小即可判断A城是否受到这次沙尘暴的影响；
（2）如图，设点E、F是以A为圆心，150km为半径的圆与BM的交点，根据勾股定理可以求出CE的长度，也就求出了EF的长度，然后除以沙尘暴的速度即可求出遭受影响的时间.
【详解】解：（1）过点A作AC⊥BM，垂足为C，
在Rt△ABC中，由题意可知∠CBA＝30°，∴AC＝AB＝×240＝120，
∵AC＝120＜150，∴A城将受这次沙尘暴的影响．
（2）设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB的交点，连接AE，AF，
由题意得，，CE＝90
∴EF＝2CE＝2×90＝180 180÷12＝15（小时）∴A城受沙尘暴影响的时间为15小时．

【点睛】本题考查了直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理的应用，正确理解题意，把握好题目的数量关系是解决问题的关键．
4．（2022·福建·龙岩二中八年级期中）一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m．
(1)这架梯子的顶端离地面有多高？(2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全．

【答案】(1)这架梯子的顶端离地面2.4m；(2)此时使用不安全
【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）由勾股定理求出，利用公式求出a进行判断即可．
【解析】(1)解：由题意可知在中，，，，
∴由勾股定理可得，，
即，
∴，即这架梯子的顶端离地面2.4m；
(2)解：如图所示，，则在中，，，
∴由勾股定理可得，，
∴可得，∴此时使用不安全．
．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确掌握勾股定理的计算公式及正确理解题意是解题的关键．
5．（2021·广东·佛山市第四中学九年级阶段练习）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险﹖请说明理由．（参考数据：，，精确到1海里）

【答案】（1）AC＝200海里，海里；（2）巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险，理由见解析．
【分析】（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE＝x海里．根据AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，再由列式求解即可．（2），求出DF的长，再与100比较即可得到答案．
【详解】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于E，∴∠CEB=∠CEA=90°，
由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，∴∠AEC=30°，∠BCE=180°-∠ABC-∠BEC=45°，
∴∠BCE=∠EBC=45°，∴BE=EC，∴AC=2AE设AE＝x海里，则AC=2x海里，
在Rt△AEC中，海里，∴海里，
∴海里，∴，解得：x＝100，∴AC＝2x＝200海里．
∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=75°

过点D作DF⊥AC于点F，∴∠ADF=30°，∠FDC=90°-∠FCD=45°=∠FCD，∴AD=2AF，DF=FC
设AF＝y，则AD＝2y， ∴，
∵海里 ∴y＋y＝200，解得：，∴海里；
（2）由（1）得
∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．
【点睛】本题考查的勾股定理的应用−航海问题，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．

【答案】
【分析】过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，证△ACD是等腰直角三角形，得AD＝CD，由勾股定理得AC＝CD，AD＝CD＝BD，然后由AD−BD＝AB求出BD，进而求出AC，再利用路程＝速度×时间即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交线段AB延长线于点D，

∵∠BAC＝75°−30°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∴AC＝CD，
∵BCAE，∴∠DBC＝∠BAE＝90°−30°＝60°，∴∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD，AD＝CD＝，
∵AD−BD＝AB，∴ 海里，解得：BD＝10 海里，
∴CD＝ 海里，∴AC＝CD （海里），
∴小时 答：经过小时，海监执法船恰好在C处成功拦截．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理、等腰直角三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．