北师大版八年级上册3 勾股定理的应用学案

3　勾股定理的应用

学习目标

1.学会用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.(重点)

2.在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法的理解.(难点)

自主学习

学习任务　确定最短路线

如图1，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？

从A→B有几条路线，画一画.

      图1

合作探究

将圆柱侧面展开成一个长方形，点A到点B的最短路线是哪条，分别画一画.

例1　李叔叔想要检验雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.

(1)你能替他想办法完成任务吗？

(2)李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？

   图2

例2　如图3是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE＝3 m，CD＝1 m，试求滑道AC的长.

     图3

例3　在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上(如图4所示)，梯子底端离墙7米.

(1)这架云梯的顶端距地面有多高？

(2)如果消防员接到命令，要把云梯的顶端下降4米(云梯长度不变)，那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米？

    图4

当堂达标

1.有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，上底面在靠近边缘的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，则这根铁棒的长为　　　　.

2.如图5，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为　　　　.

图5

3.如图6，有一个水池，水面是一个边长为10尺1尺＝m＝0.3 m的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

    图6

4.如图7，台风过后，某小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂的吗？

   图7

课后提升

如图8，有一圆柱形透明玻璃容器，高15 cm，底面周长为24 cm，在容器内壁距上边沿4 cm的A处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了3 cm到达B处时(B处与A处恰好相对)，发现了小飞虫，则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？它至少需要爬行的距离是多少？(容器厚度忽略不计)

       图8

反思感悟

我的收获：

我的易错点：

参考答案

当堂达标

1.2米到3米　解析：如图9，由题意得当铁棒在油桶内的一端在B处：AC＝1.5米，BC＝2米.

图9

∵ AB2＝AC2+CB2＝2.52，

∴ AB＝2.5米.

∵ 油桶外的部分是0.5米，

∴ BD＝2.5+0.5＝3(米).

当铁棒垂直插入，得出油桶中的长度1.5米+桶外的0.5米＝ 2米.

答：这根铁棒的长度范围是2米到3米.

2.25

3.解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为(x+1)尺.

根据题意得x2+52 ＝(x+1)2.

解得x ＝12.

x+1＝12+1＝13(尺).

答：这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是12尺和13尺.

4.解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，由题意得

x2+82＝(16-x)2，

解得x＝6米.

答：旗杆在离底部6米的位置断裂.

课后提升

解：将圆柱分别沿A，B所在母线切开，并将半圆柱侧面展开成一个长方形，如图10.

图10

作BO⊥AO于点O，则AO，BO分别平行于长方形的两边，作A点关于D点的对称点A′，连接A′B，则△A′BO为直角三角形，且BO＝×24＝12(cm)，A′O＝(15-3)+4＝16(cm).

由勾股定理，得A′B2＝A′O2+BO2＝162+122＝400，

∴ A′B＝20 cm.

故蜘蛛沿外壁B处爬到上沿C处，再爬到内壁A处爬行路线最近，且至少要爬行20 cm.