北师大版高中数学必修第一册2.3 函数的单调性和最值-第1课时课件+练习

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§3  函数的单调性和最值

课时1  函数的单调性

1.下列函数，在区间（0，1）上是减函数的是（　）

A.y＝|x|    B.y＝    C.y＝1+x    D.y＝x2-x

2.［多选题］下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有>0”的是（　）

A.f（x）＝   B.f（x）＝3x-1  C.f（x）＝x2-4x-3  D.f（x）＝x-

3.已知函数f（x）的定义域为D，区间（m，n）D，则对于任意的x1，x2∈（m，n）且x1≠x2，“f（x）在（m，n）上单调递增”是“>0”的（　）

A.充分不必要条件  B.充要条件   C.必要不充分条件  D.既不充分也不必要条件

4.f（x）＝的增区间为（　）

A.    B.   C.（-∞，1］   D.［2，+∞）

5.已知函数f（x）＝-x|x|+2x，则下列结论正确的是（　）

A.增区间是（0，+∞） B.减区间是（-∞，-1） C.增区间是（-∞，1） D.增区间是（-1，1）

6.定义在R上的函数f（x）对于任意的x1，x2∈R且x1≠x2，<0都成立，则（　）

A.f（2）>f（3）  B.f（2）≥f（3）  C.f（2）<f（3）  D.f（2）≤f（3）

7.已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，那么| f（x）|<1的解集是（　）

A.（-3，0）        B.（0，3）   

C.（-∞，-1］∪［3，+∞）     D.（-∞，0］∪［1，+∞）

8.f（x）是定义在（-2，2）上的减函数，若f（m-1）>f（2m-1），则实数m的取值范围是（　）

A.（0，+∞）   B.    C.（-1，3）   D.

9.函数f（x）＝ax2+2（a-2）x在区间（-∞，3］上为减函数，则a的取值范围为（　）

A.    B.    C.    D.

10.已知f（x）＝在（-∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（　）

A.（0，+∞）   B.（-∞，3）   C.（0，3）   D.（0，2］

11.若函数f（x）＝在区间［m，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是　　　　.

12.若函数f（x）＝在［1，2］上单调递减，则正数k的取值范围为　　　　.

13.若函数f（x）＝x2-2（a-1）x +2在区间（1，4）上不单调，则实数a的取值范围是　　　　.

14.写出下列函数的单调区间：

 （1）f（x）＝-x2+2|x|+3；（2）f（x）＝|x2-2x|.

15.已知f（x）＝，x∈（-2，2）.

（1）用定义判断并证明函数f（x）在（-2，2）上的单调性；

（2）若f（a+2）>f（2a-1），求实数a的取值范围.

16.函数f（x）的定义域是（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y）恒成立，已知f（2）＝1，当x>1时，f（x）>0.

（1）求的值；

（2）判断y＝f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给出你的证明；

（3）解不等式f（x2）>f（8x-6）-1.

§3  函数的单调性和最值

课时1  函数的单调性

参考答案

1.B　   2.ABD　   3.B　

4.D　解析：因为x2-3x+2≥0，所以x∈（-∞，1］∪［2，+∞）.

又因为抛物线y＝x2-3x+2的对称轴为直线x＝，且<2，

所以函数f（x）＝的增区间为［2，+∞）.

5.D　解析：由题意，函数f（x）＝-x|x|+2x＝

当x<0时，f（x）＝x2+2x＝（x+1）2-1，在区间（-∞，-1）上单调递减，在区间（-1，0）上单调递增；当x≥0时，f（x）＝-x2+2x＝-（x-1）2+1，在区间［0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，且易得f（x）在（-1，1）上连续递增.

综上，f（x）在区间（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递减，在区间（-1，1）上单调递增.

6.A　解析：由题意得<0，则（x1-x2）［f（x1）- f（x2）］<0，则函数为减函数，故f（2）>f（3）.

7.B　解析：由题意得| f（x）|<1等价于-1<f（x）<1，

∵ A（0， -1），B（3，1）是其图象上的两点，∴ f（0）<f（x）<f（3）.

又函数f（x）是R上的增函数，∴ 0<x<3，∴ |f（x）|<1的解集是（0，3）.

8.B　解析：因为f（x）是定义在（-2，2）上的减函数，

又f（m-1） >f（2m-1），所以解得0<m<，即实数m的取值范围是.

9.C　解析：当a＝0时，f（x）＝ax2+2（a-2）x＝-4x，在区间（-∞，3］上单调递减，所以a＝0成立.

当a≠0时，函数f（x）为二次函数，若在区间（-∞，3］上单调递减，则解得0<a≤.

综上0≤a≤.

10.D　解析：因为f（x）为R上的减函数，所以解得0<a≤2.

11.（-1，+∞）　解析：由题意得f（x）＝＝＝2+，根据函数图象平移法则，可理解为f（x）的图象是由h（x）＝的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，如图.

要使函数f（x）＝在区间［m，+∞）上单调递增，则需满足m∈（-1，+∞）.

12.［1，3）∪（10，+∞）　解析：要使f（x）＝在［1，2］上单调递减，

则需g（x）＝kx2-2x-8在［1，2］上单调递增且g（1）与g（2）同号.

由k>0，得解得1≤k<3或k>10.

综上，正数k的取值范围为［1，3）∪ （10，+∞）.

13.（2，5）　解析：因为函数f（x）＝x2-2（a-1）x+2在区间 （1，4）上不单调，所以对称轴x＝a-1位于区间（1，4）内，即1<a-1<4，所以2<a<5.

14.解：（1）f（x）＝-x2+2|x|+3＝作出函数图象，如图.

故函数f（x）＝-x2+2|x|+3的单调递增区间是（-∞，-1］，［0，1］，

单调递减区间是（-1，0），（1，+∞）.

（2）f（x）＝|x2-2x|＝作出函数图象，如图.

故函数f（x）＝|x2-2x|的单调递增区间为［0，1］，［2，+∞），

单调递减区间为（-∞，0），（1，2）.

15.解：（1）f（x）在（-2，2）上单调递增.证明如下：

任取x1，x2∈（-2，2），且x1<x2，所以f（x1）-f（x2）＝-＝.

因为-2<x1<x2<2，所以x2-x1>0，x1x2-4<0，则f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），

所以函数f（x）在（-2，2）上单调递增.

（2）由（1）知，f（x）在（-2，2）上单调递增，

又f（a+2）>f（2a-1），所以解得即-<a<0，

所以实数a的取值范围是.

16.解：（1）由题意，函数f（x）对任意的正实数x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y）恒成立，

令x＝y＝1，可得f（1）＝f（1）+f（1），所以f（1）＝0；

令x＝2，y＝，可得f（1）＝f（2）+，即1+＝0，解得＝-1.

（2）函数f（x）在（0，+∞）上单调递增.证明如下：

设x1，x2∈（0，+∞）且x1<x2，令x＝x1，y＝，

根据题意，可得f（x1）+＝f（x2），即f（x2）-f（x1）＝.

又由当x>1时，f（x）>0，且>1，可得>0，即f（x2）- f（x1）>0，即f（x2）>f（x1），

所以函数y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增.

（3）由题意和（1）可得f（8x-6）-1＝f（8x-6）+＝＝f（4x-3）.

又由不等式f（x2）>f（8x-6）-1，即f（x2）>f（4x-3），f（x）在（0，+∞）上单调递增，

可得解得<x<1或x>3，

即不等式f（x2）>f（8x-6）-1的解集为.