北师版高中数学必修第一册第2章§3 第1课时函数的单调性学案

§3　函数的单调性和最值

第1课时　函数的单调性

1．增函数、减函数的概念是什么？

2．函数的单调性和单调区间有什么关系？

3．增函数、减函数的图象有什么特点？

4．所有函数都具有单调性吗？

知识点1　增函数、减函数的概念

一般地，在函数y＝f(x)定义域内的一个区间D上，如果对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2  时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间D上是增函数或递增的；如果对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y＝f(x)在区间D上是减函数或递减的．

定义中的“任意x1，x2∈D”能否改成“存在x1，x2∈D”？

[提示]　不能．

1.下列命题中真命题的个数为(　　)

①定义在(a，b)上的函数f(x)，如果∃x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增函数；

②如果函数f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数；

③∀x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当<0时，f(x)在(a，b)上为减函数；

④∀x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0时，f(x)在(a，b)上是增函数；

⑤∃x1，x2∈(a，b)，且x1<x2，f(x1)≥f(x2)成立，则函数f(x)在(a，b)上不是增函数．

A．1 B．2

C．3 D．4

C　[①是假命题，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；

由f(x)＝，可知②是假命题；

∵<0等价于[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0，而此式又等价于或

即或

∴f(x)在(a，b)上为减函数，③是真命题，同理可得④也是真命题．

若要说明函数f(x)在某个区间上不是增(减)函数，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x1<x2时，f(x1)≥f(x2)(f(x1)≤f(x2))成立即可，故⑤是真命题．]

2.下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)的是________(填序号)．

①f(x)＝x2;  　　②f(x)＝；

③f(x)＝|x|;  　　④f(x)＝2x＋1.

[答案]　②

知识点2　函数的单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间A上是增函数或减函数，那么就称函数y＝f(x)在区间A上具有单调性，区间A为函数y＝f(x)的单调区间．

(1)区间A一定是函数的定义域吗？

(2)函数y＝在定义域上是减函数吗？

[提示]　(1)不一定，可能是定义域的一部分．

(2)y＝在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)．

3.(1)函数y＝－x2＋x＋2的单调递增区间是________．

(2)函数f(x)＝－x2－2x的单调递增区间是________．

[答案]　(1)　(2)(－∞，－1]

类型1　函数单调性的判定与证明

【例1】　求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．

[证明]　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，

有f(x1)－f(x2)＝－＝

＝.

∵x1<x2<0，

∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0.

∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)．

∴函数f (x)＝在(－∞，0)上是增函数．

对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有

f (x1)－f(x2)＝.

∵0<x1<x2，

∴x2－x1>0，x2＋x1>0，xx>0.

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

利用定义证明函数单调性的4个步骤

1．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．

[解]　函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：

设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝，

由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，

又由x1<x2，得x1－x2<0，

于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．

类型2　求函数的单调区间

【例2】　画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

[解]　y＝－x2＋2|x|＋3＝函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数，所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是(－1,0)和(1，＋∞)．

(变条件)将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？

[解]　函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．

由图象可知其单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调减区间为(－∞，－1]，[1,3].

求函数单调区间的2种方法

法一：定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．

法二：图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．

2．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调增区间是________．

[－1.5,3]和[5,6]　[由图象知单调增区间为[－1.5,3]和[5,6]．]

3．求函数f(x)＝的单调减区间．

[解]　函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，

设x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，则

f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

所以函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，同理函数f(x)在(1，＋∞)上也是减函数．

综上，函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．

类型3　函数单调性的应用

【例3】　(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；

(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．

(1)(－∞，－4]　(2)(－∞，1)　[(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．

(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

且f(2x－3)>f(5x－6)，

∴2x－3>5x－6，即x<1.

∴实数x的取值范围为(－∞，1)．]

1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)的单调增区间为(－∞，3]，求a的值．

[解]　由题意知－a－1＝3，即a＝－4.

2．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数，求a的取值范围．

[解]　由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，

即a≤－3或a≥－2.

∴a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．

3．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的范围．

[解]　由题意可知，

解得x>.

∴x的取值范围为.

函数单调性的应用

(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．

(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．

4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是

(　　)

A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a)

C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a2)

D　[因为f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a2＋1>a2，所以f(a2＋1)<f(a2)．故选D.]

5．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．

[解]　设1<x1<x2，

∴x1x2>1.

∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，

∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－

＝(x1－x2)<0.

∵x1－x2<0，

∴1＋>0，即a>－x1x2.

∵1<x1<x2，x1x2>1，∴－x1x2<－1，

∴a≥－1.

∴a的取值范围是[－1，＋∞).

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝x2在R上是增函数．(　　)

(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．(　　)

(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　)

A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]

C．[－3,1] D．[－3,4]

[答案]　C

3．函数f(x)＝x2＋2x的单调递增区间是________．

[答案]　[－1，＋∞)

4．已知函数f＝2x2－ax＋5在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．

(－∞，4]　[因为函数f＝2x2－ax＋5的单调递增区间是，

所以[1，＋∞)⊆，

所以≤1，解得a≤4.]