2019届黑龙江省学业水平考试数学（文）试题含解析

这是一份2019届黑龙江省学业水平考试数学（文）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019届黑龙江省学业水平考试数学（文）试题  一、单选题1．椭圆的离心率是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】由椭圆，可得的值，求出的值，可得离心率.【详解】解：由椭圆，可得，，故离心率，故选：C.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的相关知识，求出的值是解题的关键.2．两平行直线与间的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】运用两平行直线的距离公式即可得到结论．【详解】根据两平行线间的距离公式得：d．故选：D．【点睛】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．3．若双曲线的渐近线方程为，则的值为(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】由双曲线可得双曲线的焦点在轴上，设渐近线方程为，由渐近线方程为，可得的值.【详解】解：由双曲线，可得双曲线的焦点在轴上，设渐近线方程为，又已知渐近线方程为，，可得，故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的求法，相对不难.4．设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是(　　)A．4 B．5C．6 D．7【答案】B【解析】试题分析：抛物线的准线方程为，设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知：（为点到抛物线的准线的距离），而，所以，故选B．【考点】抛物线的定义．5．当圆的面积最小时，的取值是(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆的半径，从而可得圆面积最小时的取值.【详解】解：由圆，化为标准方程为：，可得：可得当时，最小，即圆的面积最小，故选：D.【点睛】本题主要考查圆的一般方程与标准方程的转化，相对不难，注意运算准确.6．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】由双曲线焦点三角形的面积公式，代入可得的值.【详解】解：设,由，可得，由双曲线焦点三角形的面积公式: ，可得：，故选：C.【点睛】本题主要考查考查双曲线焦点三角形的面积，注意牢记公式，运算准确.7．双曲线的一个焦点坐标为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据双曲线的焦点坐标可得,即可得出,解得即可.【详解】双曲线的一个焦点坐标为,,.故选:.【点睛】本题考查双曲线的几何性质与标准方程,考查学生的计算能力,难度容易.8．设满足约束条件则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求得最优解的坐标,代入目标函数即可.【详解】由约束条件作出可行域如图,化为过时,的最小值是.故选:.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,考查了数形结合的解题方法,难度较易.9．以抛物线的焦点为圆心，为半径的圆，与直线相切，则（    ）A．或 B．或 C．或 D．-3或【答案】C【解析】求得抛物线的焦点,可得圆的圆心和半径,由直线和圆相切的条件:,运用点到直线的距离公式,解方程即可求得.【详解】抛物线的焦点为,以抛物线的焦点为圆心, 为半径的圆可得:圆心为,半径，由直线与圆相切,可得:圆心到直线的距离,解得或.故选:.【点睛】本题考查圆与圆锥曲线的综合应用,难度较易.10．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】求得双曲线的渐近线方程，由圆的直径所对的圆周角为直角，结合条件可得为等腰直角三角形,即有,即可得到,再由离心率公式计算可得所求值.【详解】双曲线的渐近线方程为,设P在渐近线上,以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为,若,则为等腰直角三角形,即有,即,即,,故选:.【点睛】本题考查双曲线的性质,求解离心率问题,难度一般.11．直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点(点在第一象限)若，则(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】求出抛物线的焦点与准线方程，由可得的坐标,求出的直线方程与抛物线联立，可得的值，可得的值.【详解】解：可得抛物线的焦点，准线方程为：，由抛物线交于两点(点在第一象限)，故点在第四象限，设，由，由抛物线定义可得：，，代入抛物线方程可得：，故,设的直线方程为：，化简可得：，联立直线与抛物线：，可得，解得：或故点的横坐标为，，故选：B.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线与抛物线解题，属于中档题.12．已知椭圆左､右焦点分别为.若椭圆上存在四个不同的点满足则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意,由椭圆的性质分析可得,若椭圆上存在四个不同点满足的面积.推出,即,然后求解的范围即可．【详解】由题得,因为椭圆上存在四个不同的点满足,所以,则,即,所以,则.故选:.【点睛】本题考查椭圆的几何性质,椭圆中的三角形问题,难度一般.13．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】求出抛物线的焦点坐标，设直线方程为：，联立直线与方程，可得，的值，同时求出，的值，由，可得，代入各值可得的值.【详解】解：由抛物线，可得其焦点坐标为，过的焦点且斜率为的直线与交于两点的直线方程为：，联立可得: , ,设，可得，，可得：，，由，且，可得,可得：，整理可得：，可得：，即，，故选：A.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题，注意运算准确.14．已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点.若椭圆上存在一点，满足（其中点为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：根据平方差法得到直线的方程为，联立方程组，解得点的坐标，再根据，得，把点代入椭圆的方程，即可求解离心率的值.详解：设的中点，由题意知，两式相减得，则，而，所以，所以直线的方程为，联立，解得，又因为，所以,所以点代入椭圆的方程，得，所以，故选A.点睛：本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．  二、填空题15．已知直线，点，，若直线，则的值为__________．【答案】1【解析】先由题意，得到直线的斜率为，再由，由题意，得到，求解，即可得出结果.【详解】因为直线的斜率为，又点，，直线，所以，即，解得：.故答案为：【点睛】本题主要考查由两直线垂直求参数，熟记两直线垂直的判定方法即可，属于常考题型.16．已知双曲线左、右焦点分别为，点在右支上，若，则__________.【答案】【解析】由双曲线的定义结合双曲线的方程可得的值.【详解】解:由双曲线方程 ，可得，由在右支上，若，则，可得：，故答案为：.【点睛】本题主要考查双曲线的定义与标准方程，相对简单.17．已知圆，圆，则两圆的公切线条数为___________条.【答案】2【解析】首先把圆的一般式转换为标准式，进一步求出两圆的位置关系，最后求出圆的公切线的条数．【详解】已知圆转换为，即该圆是以为圆心,为半径的圆.圆是以为圆心,为半径的圆.所以圆心距,所以,所以两圆相交,故公切线的条数为.故答案为:.【点睛】本题考查两圆位置关系及两圆的公切线条数,难度较易.18．点在抛物线上，则点到的距离与点到准线距离之和的最小值是___________.【答案】【解析】利用抛物线的定义进行转化，可得当三点共线的时候距离之和最小，可得答案.【详解】解:如图，由抛物线，可得其焦点坐标,准线为，过点P做，垂足为，则,设，此时当三点共线时，取得最小值，故：,故答案为：.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及三点共线的性质，属于基础题.19．设分别为椭圆的左､右焦点，为上一点且在第一象限.若，则点的坐标为 ___________.【答案】【解析】椭圆，可得．,设.可得.联立解得.【详解】椭圆,可得.设..联立解得..故答案为:.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质,代入法求满足条件的椭圆上点的坐标,难度一般.20．已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是_____________.【答案】【解析】连接,可得点为的中点，故，由线段的垂直平分线与直线相交于点，可得，可得，可得点的轨迹为双曲线，可得其方程.【详解】解：如图,连接，由题意可得：，且点为的中点，故，又线段的垂直平分线与直线相交于点，可得：, 故，故其轨迹为双曲线，且，，且焦点在轴上，可得其轨迹方程为：，故答案为：.【点睛】本题以圆为载体，考查了双曲线的定义，体现了转化思想的应用. 三、解答题21．已知直线，圆.（1）判断直线与圆的位置关系，并证明；（2）若直线与圆相交，求出圆被直线截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线的最短距离.【答案】（1） 相交，证明见解析；（2）【解析】（1）将圆的方程化为标准形式，求出圆心到直线的距离，判断其与半径的大小，可得直线与圆的位置关系；（2）由（1）可得圆心到直线的距离，再由弦长公式可得圆被直线截得的弦长.【详解】解：（1）相交，证明如下；可将圆的一般方程化为：，可得其圆心：，半径为：3，由直线，可得圆心到直线的距离：，故：，可得直线与圆相交；（2）由（1）得直线与圆相交，且圆心到直线的距离，故弦长为：，【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，同时需用到点到直线的距离公式与弦长公式，属于基础题.22．已知抛物线，直线过点且与交于两点.（1）求的值；（2）若求直线的方程.【答案】（1）1（2）或【解析】(1)由题意可设直线的方程为，联立抛物线方程，消去，可得的二次方程，运用韦达定理和点满足抛物线方程,计算可得所求值;(2)运用直线和圆锥曲线相交的弦长公式,解方程可得,进而得到所求直线方程．【详解】(1)直线过点，可设直线的方程为,联立抛物线方程,可得,则, . .解得,则直线的方程为或.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合,考查了联立直线和抛物线方程,根据韦达定理求直线方程问题,难度较易.23．已知圆和直线与圆交于两点.（1）若，求弦长；（2）为坐标原点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】(1)把代入直线方程,求出圆心到直线的距离,再由垂径定理求弦长;(2)联立直线方程与圆的方程,化为关于的一元二次方程,利用根与系数的关系及向量数量积为求解值,即可求出直线方程.【详解】(1)当时,直线方程为: ,圆的圆心坐标为,半径.圆心到直线的距离,则弦长.(2)联立,得,由,解得.() 设,则，由得 解得: 或,符合().直线的方程为: 或.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质,考查直线和椭圆联立,将垂直转换为向量数量积为零,求解直线问题,难度一般.24．已知椭圆的左焦点为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，O为坐标原点，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】(1)直接由题设就可求出;(2)联立直线与椭圆方程,设而不求,整体代换,再利用三角形的面积公式及基本不等式便可得到面积的最大值．【详解】(1)由题可知, 即①又②,故椭圆的标准方程为: .(2)由题可设,直线的方程为: ,设.联立,消去,得，则有又当且仅当即直线方程为时,面积达到最大值,即为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆相交后构成的三角形面积的最值求法,注意运用基本不等式,难度较难.25．已知抛物线过焦点且平行于轴的弦长为.点，直线与交于两点，（1）求抛物线的方程；（2）若不平行于轴，且为坐标原点），证明:直线过定点.【答案】（1）（2）定点，证明见解析【解析】(1)求得抛物线的焦点,可得过且平行于轴的直线为,代入抛物线的方程,可得弦长,解方程可得,即可得到所求抛物线的方程;(2)设直线的方程为,联立抛物线方程,设，通过韦达定理以及斜率关系，以及直线关于轴对称，可得它们的斜率之和为,求出直线系方程,即可得到定点.【详解】（1）抛物线过焦点且平行于轴的直线为，代入抛物线的方程可得,即,则,即,可得抛物线的方程为.（2）证明：设直线的方程为，联立抛物线方程,可得,设可得，为坐标原点），可得直线关于轴对称,即有，由,可得,即,即 ,.由,可得,则直线的方程为,则直线恒过定点.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程,以及直线和抛物线的位置关系,通过联立方程和韦达定理,结合斜率互为相反数求解直线过定点问题,难度一般.26．已知椭圆，点，点满足（其中为坐标原点），点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为，若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）是，【解析】（1）设,根据条件可求出的坐标，再利用在椭圆上，代入椭圆方程求出即可;（2）设运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出，,再利用焦半径公式表示出,进而求出周长为定值．【详解】(1)设,因为,即则,即,因为均在上,代入得,解得,所以椭圆的方程为; (2)由(1)得,作出示意图,设切点为,则,同理即,所以,又,则的周长,所以周长为定值.【点睛】标准方程的求解,椭圆中的定值问题,考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,难度较难.