2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（五）含解析

2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（五）

一、单选题

1．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是

A．棱柱 B．棱台

C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定

【答案】A

【解析】运用图形判断，结合棱柱的概念．

【详解】

如图，∵平面AA1B1B∥平面DD1C1C，∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形（水面与两平行平面的交线）因此呈棱柱形状．

故选A

【点睛】

本题考查了空间几何体长方体的性质及概念，考查空间想象能力，属于中档题．

2．已知集合，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】直接利用并集的定义求出即可

【详解】

因为，

所以

故选：D

【点睛】

本题考查的是集合的基本运算，较简单.

3．若，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先由诱导公式得，然后再由平方关系求出

【详解】

因为

所以，因为

所以

故选：D

【点睛】

本题考查的是三角函数的诱导公式和平方关系，较简单.

4．如图所示的程序框图中，输入，则输出的结果是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】输入x＝2后，该程序框图的执行过程是：

输入x＝2，

x＝2>1成立，

y＝＝2，

输出y＝2．

选B.

5．，，，则与的夹角（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由向量数量积定义计算两向量夹角余弦后可得角的大小．

【详解】

由已知，

∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握向量数量积的定义．

6．已知，，，则的最小值为（    ）

A．-2 B．2 C．4 D．-4

【答案】C

【解析】将展开，然后运用基本不等式求解

【详解】

因为

所以

当且仅当即时取得等号

所以的最小值为4

故选：C

【点睛】

本题考查的是运用基本不等式求最值，属于常考题型.

7．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解出不等式即可

【详解】

要使得有意义，则有，即

所以的定义域为

故选：C

【点睛】

本题考查的是求函数的定义域，较简单.

8．经过点且斜率为2的直线方程为(     )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由直线的点斜式方程，可得经过点且斜率为2的直线方程，得到答案.

【详解】

由直线的点斜式方程，可得经过点且斜率为2的直线方程为，

即，故选C.

【点睛】

本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中熟记直线的点斜式方程，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

9．设则a，b，c的大小关系是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：由题化简所给式子判断a，b，c范围即可得到其大小；

，故选C．

【考点】对数式的大小比较

10．函数f(x)=-cos2的单调增区间是(　　)

A．,k∈Z

B．,k∈Z

C．,k∈Z

D．,k∈Z

【答案】C

【解析】先根据二倍角余弦公式以及诱导公式化简，再根据正弦函数性质求单调增区间.

【详解】

∵f(x)==-cos=-sin 2x,令+2kπ≤2x≤π+2kπ,∴+kπ≤x≤π+kπ,

∴增区间为,k∈Z.

选C

【点睛】

本题考查二倍角余弦公式、诱导公式、正弦函数性质，考查基本求解能力.

二、填空题

11．已知角的终边过点，则的值为     ．

【答案】

【解析】试题分析：由题角的终边过点： 因为：，则；

【考点】三角函数的定义.

12．若x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则xy的最大值为_____．

【答案】．

【解析】利用基本不等式即可求解.

【详解】

由x＞0，y＞0，且x+2y＝1，

所以，解得，

当且仅当，即，时，等号成立，

所以xy的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了基本不等式求积的最大值，应用基本不等式注意验证等号成立的条件，此题属于基础题.

13．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______．

【答案】

【解析】【详解】

甲同学从四种水果中选两种共种方法，乙同学从四种水果中选两种共种方法，则甲、乙两位同学选法种数共，

两同学相同的选法种数为，

所以。

【点睛】

本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题时，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等.

14．若实数，满足约束条件，则的最大值为______.

【答案】3.

【解析】先作出约束条件满足的可行域，然后求出的最大值即可

【详解】

作出约束条件满足的可行域：

因为，

所以

所以的最大值为3

故答案为：3

【点睛】

本题考查的是线性规划的知识，较简单.

15．如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在处时，经观察，在河对岸有一参照物与学生前进方向成角，学生前进后，测得该参照物与前进方向成角，则河的宽度为______.

【答案】.

【解析】先在中用正弦定理求出，然后河的宽度为

【详解】

由题意可得在中，,且

所以由正弦定理得：

则

所以河的宽度为：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是运用正弦定理解三角形，较简单.

三、解答题

16．判断函数在上的单调性，并求函数的最大值和最小值.

【答案】函数在上单调递减，在上单调递增，最小值为，最大值为.

【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，用定义进行证明，然后即可求出最值

【详解】

函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下：

在上任取，，且.

.

∵，

∴，，.

∴，∴，

故在上是减函数，

同理可证在上是增函数，

∴在的最小值为，最大值为.

【点睛】

用定义证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形（分式一般进行通分，多项式一般分解因式）、判断符号、下结论.

17．已知.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】(1)；

(2).

【解析】【详解】试题分析：（1）先判断的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出，将所求进行变形，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与的取值范围，确定的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出、，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.

试题解析：（1）因为，所以，于是

（2）因为，故

所以中.

【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.

18．如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一点.

(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；

(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；

【答案】(1)见解析（2）0.5

·

【解析】

(1)证明：∵SA⊥底面ABCD，BDÌ底面ABCD，∴SA⊥BD

∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD

∴BD⊥平面SAC，又BDÌ平面EBD

∴平面EBD⊥平面SAC.  

(2)解：设AC∩BD＝O，连结SO，则SO⊥BD

由AB＝2，知BD＝

SO＝

∴S△SBD＝BD·SO＝··＝6

令点A到平面SBD的距离为h，由SA⊥平面ABCD, 则·S△SBD·h＝·S△ABD·SA

∴6h＝·2·2·4 Þ h＝∴点A到平面SBD的距离为

19．已知直线：和点（1,2）．设过点与垂直的直线为.

（1）求直线的方程；

（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．

【答案】(1)（2）.

【解析】试题分析：(1) 由直线：,知

又因为，所以解得

所以的方程为整理得

（2）由的方程

解得，当时，当时，

所以，即该直线与两坐标轴围成的面积为.

【考点】本题考查了直线方程的求法及位置关系

点评：利用直线的位置关系求解直线的方程是解决此类问题的常用方法，另外注意直线斜率是否存在、截距的概念等易混淆的地方

20．已知正项数列的前项和为，且.

（1）求、；

（2）求证：数列是等差数列.

【答案】（1），；（2）见解析.

【解析】（1）直接在数列递推式中取即可求、

（2）在数列递推式中将换成，得另一递推式后作差，整理即可证明数列是等差数列

【详解】

（1）由已知条件得：.∴.

又有，即.

解得（舍）或.

（2）由得

时：，

∴

，

即，

∴，

∴，

∴即，

经过验证也成立，

所以数列是首项为1，公差为2的等差数列.

【点睛】

本题考查的是用定义证明等差数列及与的关系，属于基础题.