黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019届高三上学期期中考

试数学（文）试题

一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。）

1.命题“”的否定为

A.     B.

C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定是特称命题，符合换量词否结论，不变条件这一条件,按照这一规律写出即可.

【详解】由全称命题否定的定义可知，“”的否定为“”，故选B．

【点睛】一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．注意：命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定．

2.抛物线的焦点坐标是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

表示出抛物线标准方程，即可求出结果

【详解】，

则

故焦点坐标为

故选

【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点坐标，只要改写得到抛物线标准方程，即可求得结果，本题比较简单。

3.下列函数中，在定义域上既是减函数又是奇函数的是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

分别讨论各函数的奇偶性与单调性即可求得结果

【详解】对于，定义域为，函数为非奇非偶函数，故排除

对于，定义域为，，为奇函数且在定义域内为减函数，故正确

对于，，当时，，此时函数为增函数，故排除

对于，为非奇非偶函数，故排除

综上所述，故选

【点睛】本题主要考查的知识点是函数的奇偶性与单调性，只要按定义对其进行判定即可求得结果，本题属于基础题。

4.已知向量，，若，则实数的值是（   ）

A. -4    B. -1    C. 1    D. 4

【答案】D

【解析】

因为，故，展开得到，故，，选D.

5.下列命题中正确的个数是(　　)

①若直线上有无数个点不在平面内，则；

②和两条异面直线都相交的两条直线异面；

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；

④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

对四个命题分别进行判定即可得到结果

【详解】对于①，直线上有无数个点不在平面内，则直线可以与平面相交，故错误

对于②，和两条异面直线都相交的两条直线共面，故错误

对于③，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或直线在平面内，故错误

对于④，一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面，正确

综上所述，命题正确的个数为

故选

【点睛】本题主要考查了空间几何中线线关系、线面关系，在判定过程中根据其关系即可判定结果，较为基础。

6.设是公差为正数的等差数列，若，，

则（ ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

试题分析：设的公差为，则由可得，即，所以；所以，所以，联立方程可得或，又因为其公差为正数，所以，所以，所以，故应选.

考点：等差数列.

7.若双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为(    )

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由渐近线方程求出的数量关系，然后求出离心率

【详解】双曲线的一条渐近线经过点

，

故选

【点睛】由已知条件计算出的数量关系，然后再结合离心率的公式得到结果，较为简单。

8.设满足约束条件，则的最小值与最大值的和为（   ）

A. 7    B. 8    C. 13    D. 14

【答案】D

【解析】

可行域如图所示，当动直线过时，；当动直线过时，，故的最大值与最小值的和为14，选D.

视频

9.已知抛物线 ，那么过抛物线的焦点，长度为不超过2015的整数的弦条数是（ ）

A. 4024    B. 4023    C. 2012    D. 2015

【答案】B

【解析】

试题分析：由已知可得抛物线的焦点为，设过焦点的直线为，联立抛物线方程可得：，又过焦点的弦长为且，所以且，所以，故可取，所以直线方程有4023条满足，长度为不超过2015的整数的弦条数是4023

考点：抛物线及其性质

10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A. 3π    B. 4π    C. 2π+4    D. 3π+4

【答案】D

【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体为半个圆柱，底面圆的半径为1，高为2，所以底面积为，侧面积为，所以表面积为

考点：三视图及其表面积

11.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是(    )

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

设 ， ，时， ，在上递增，，设 ， ，在 上递增，在 递减，且时，总有，画出，两函数的简图，如图，由图知，要使对任意的，总存在唯一的，使得成立，则 ，即实数的取值范围是，故选B.

【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

12.已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围是（ ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

试题分析：已知椭圆 上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点设左焦点为则连接所以四边形为长方形．

根据椭圆的定义：，由题则．所以

利用 即椭圆离心率e的取值范围为故选A

考点：椭圆的简单性质，三角函数的图和性质

【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质，三角函数的图和性质，属中档题.解题时首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以，再根据椭圆的定义，再由离心率公式，最后由的范围，进一步求出结论．

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13.设公比为的等比数列的前项和为，若，则___

【答案】

【解析】

试题分析：由已知可得，，两式相减得即，解得或（舍），答案为.

考点：等比数列的性质与应用

视频

14.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦为___________

【答案】

【解析】

【分析】

由已知条件计算出两条切线夹角的半角余弦值，然后运用倍角公式求出结果

【详解】，

即

圆心

则

设两切线夹角为

则

故答案为

【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，在相切的情况下求出切线夹角的余弦值，结合倍角公式计算求出结果，较为基础。

15.下面四个命题：其中所有正确命题的序号是_________

①函数的最小正周期为；

②在△中，若，则△一定是钝角三角形；

③函数的图象必经过点（3，2）；

④的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称；

⑤若命题“”是假命题，则实数的取值范围为；

【答案】②③⑤

【解析】

【分析】

对各个命题逐一进行分析即可得到答案

【详解】对于①，函数的最小正周期不是，故错误

对于②，若，则，向量夹角为锐角，则为钝角，故正确

对于③，函数的图象必经过点，故正确

对于④，的图象左平移个单位得到，图象不关于轴对称，故错误

对于⑤，命题“”是假命题，则“”是真命题，

，，故正确

综上所述，正确的命题有②③⑤

【点睛】本题主要考查了对命题的判定，需要掌握各知识点，并熟练运用各知识点进行判断，较为基础。

16.已知四面体P- ABC的外接球的球心O在AB上，且平面ABC，，  若四面体P - ABC的体积为，则该球的表面积为_________．

【答案】

【解析】

【分析】

由已知条件先求出，然后表示出体积计算出半径，继而得到球的表面积

【详解】设该球的半径为，则，

，

由于是球的直径

在大圆所在平面内且有

在中，由勾股定理可得

的面积

平面，且，四面体的体积为

,

即，

球表面积

故答案为

【点睛】本题主要考查了几何体内接球内，计算球的表面积，在解答此类题目时一定要结合题意先求出球的半径，然后再计算出结果。

三、简答题：（17题至21题，每题12分；22题和23题是选做题，只选其一作答，10分）

17.（本题满分14分）已知数列的前项和，数列为等比数列，且满足，

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和。

【答案】（1），

（2）

【解析】

解：（1）由已知，得………1分

当≥2时，………3分

所以………5分

由已知，

设等比数列的公比为，由得，所以………7分

所以………8分

（2）设数列的前项和为，

则，

，

两式相减得……… 10分

………11分

………12分

所以………14分

18.已知函数．

（1）求的周期和及其图象的对称中心；

（2）在锐角△中，角的对边分别是满足，求函数的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式可得，由周期公式可得周期，由可得对称中心；（2）由，根据正弦定理及两角和的正弦公式可得

从而得，进而得，求得，利用正弦函数的单调性结合图象可得结果.

试题解析： ⑴

      对称中心是

⑵

且

而，

【方法点睛】本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式正弦函数的性质，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径

19.如图甲，是边长为6的等边三角形，分别为靠近的三等分点，点为边边的中点，线段交线段于点.将沿翻折，使平面平面，连接，形成如图乙所示的几何体.

（1）求证：平面

（2）求四棱锥的体积.

【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）四棱锥的体积为10.

【解析】

试题分析：（1）先证明平面，又，所以平面；

（2）先求出，再用体积公式求解即可.

试题解析：（1）在图甲中，由为等边三角形，分别为三等分点，点为边边的中点，知, 则在图乙中仍有，且,

所以平面，又，所以平面. 6分

（2）∵平面平面，，∴平面，

∴12分

考点：直线与平面垂直的判定定理、空间几何体的体积.

20.设椭圆 的焦点分别为 ，直线交轴于点，且   .      

（1）求椭圆的方程；

（2）过分别作互相垂直的两直线，与椭圆分别交于和四点，求四边形面积的最大值和最小值．

【答案】（1） ； （2）最大值为4，最小值为.

【解析】

【分析】

⑴由题意，，利用可得为的中点，从而可得椭圆方程

⑵分类讨论：当直线与轴垂直时，四边形的面积；当直线,均与轴不垂直时，设，代入椭圆方程，消去可求得，，从而可得四边形的面积的表达式，利用换元法，即可求得结论

【详解】⑴由题意，

，

为的中点

则，

则椭圆方程为

⑵当直线与轴垂直时，，

此时

四边形的面积

同理当与轴垂直时，也有四边形的面积

当直线,均与轴不垂直时，

设，代入椭圆方程，消去可得：

，

设，，则，

所以

所以，

同理              

\所以四边形的面积

令，则

，当时，

，且是以为自变量的增函数，则

综上可知，

故四边形面积的最大值为4，最小值为

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了四边形面积的计算以及分类讨论的数学思想，考查了韦达定理的运用，正确求出弦长是解题的关键，属于中档题。

21.已知在区间上是增函数.

（1）求实数的值组成的集合；

（2）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）实数a的值组成的集合；

（2）存在实数，使得不等式对任意及恒成立．

【解析】

试题分析：（1）先求出函数的导数，将条件在区间上为增函数这一条件转化为在区间上恒成立，结合二次函数的图象得到，从而解出实数的取值范围；（2）先将方程转化为一元二次方程，结合韦达定理得到与，然后利用

将用参数进行表示，进而得到不等式对任意

及恒成立，等价转化为对任意恒成立，将不等式

转化为以为自变量的一次函数不等式恒成立，只需考虑相应的端点值即可，从而解出参数的取值范围.

试题解析：（1）因为在区间上是增函数，

所以，在区间上恒成立，

，

所以，实数的值组成的集合；

（2）由得，即，

因为方程，即的两个非零实根为、，

、是方程两个非零实根，于是，，

，

，，

设，，

则，

若对任意及恒成立，

则，解得或，

因此，存在实数或，使得不等式对任意及恒成立.

考点：1.函数的单调性；2.二次函数的零点分布；3.韦达定理；4.主次元交换

22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点是曲线上一点，求点到曲线的最小距离．

【答案】（1）     （2）

【解析】

【分析】

⑴对曲线，消去参数即可；对曲线，将，，代入即可求得答案

⑵用参数表示上的点，利用点到线的距离公式表示出结果，然后计算

【详解】⑴曲线的参数方程为（为参数），

消去参数，可得

曲线的极坐标方程为

即，

即

曲线的直角坐标方程为

⑵设，则点到曲线的距离为

当时，

【点睛】本题主要考查了极坐标、参数方程以及三角函数，在求解过程中熟练运用各公式进行求解，较为简单。在求解点到线的距离最小值时运用参数来求解降低计算量。

23.已知函数 .

（1）当时，解不等式 ；

（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.

【答案】（1）或（2）.

【解析】

试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）根据自变量范围化简不等式为，即在恒成立，根据函数最值列不等式组，即得实数的取值范围.

试题解析：（1）当时，原不等式可化为，

①当时，原不等式可化为，解得，所以；

②当时，原不等式可化为，解得，所以.

③当时，原不等式可化为，解得，所以，

综上所述，当时，不等式的解集为或.

（2）不等式可化为，

依题意不等式在恒成立，

所以，即，

即，所以，

解得，故所求实数的取值范围是.

点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．