2019年山东省冬季高中学业水平考试数学模拟（一）试题含解析

2019年山东省冬季高中学业水平考试数学模拟（一）试题

一、单选题

1．已知集合，，那么集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据集合的并集运算，得到答案.

【详解】

因为集合，，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查集合的并集运算，属于简单题.

2．如果向量，，那么等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】 ,选B.

3．下列表述正确的个数为（    ）

①若直线平面，直线，则；

②若直线平面，，且，则；

③若直线a平行于平面内的两条直线，则.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】根据立体几何中，由线面关系和线线关系对三个表述进行判断，从而得到答案.

【详解】

对于①，直线平面，直线，

则直线与平面可以平行或相交，

所以错误；

对于②，直线平面，，且，

则直线与平面可以平行或相交，

所以错误；

对于③，直线a平行于平面内的两条直线，

直线还有可能在面内，

所以错误.

故选：A.

【点睛】

本题考查根据线线关系和线面关系判断命题，属于简单题.

4．函数是指数函数，则（    ）

A．或 B． C． D．且

【答案】C

【解析】根据指数函数的定义，得到的方程，从而得到的值.

【详解】

因为函数是指数函数

所以，且，

解得.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据指数函数的定义求参数的值，属于简单题.

5．计算：　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】利用对数运算法则，直接求解.

【详解】

本题正确选项：

【点睛】

本题考查对数的基本运算，属于基础题.

6．已知偶函数在区间上的解析式为，下列大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意得到在和上的单调性，结合为偶函数对四个选项进行判断，从而得到答案.

【详解】

因为偶函数在区间上的解析式为

所以得到在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以A选项错误；

因为为偶函数，所以，

所以，所以B选项错误；

因为，所以C选项错误；

因为，所以D选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查根据函数的单调性和奇偶性判断函数值的大小，属于简单题.

7．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均

是女孩的概率是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：所有基本事件有：，两胎均是女孩的基本事件只有，两胎均是女孩的概率，故选C.

【考点】古典概型.

8．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，根据两角和的余弦公式，结合特殊角的三角函数值，得到答案.

【详解】

.

故选：B.

【点睛】

本题考查两角和的余弦公式，特殊角的三角函数值，属于简单题.

9．已知，则过点的直线的斜率是（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【解析】将点代入到直线中，得到和的关系，从而得到直线的斜率.

【详解】

因为直线过点，

所以，即，

所以直线的斜率为

故选：B.

【点睛】

本题考查根据直线所过的点求直线斜率，属于简单题.

10．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在，其中支出金额在的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则（    ）

A．180 B．160 C．150 D．200

【答案】A

【解析】对应的概率为，所以，选A.

11．已知三点A（-3， 3）， B（0， 1）， C（1，0），则（      ）

A．5 B．4 C． D．

【答案】A

【解析】先求出的坐标，再求得解.

【详解】

由题得.

故选：A

【点睛】

本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

12．已知，，，则、、的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据指数函数的单调性,选取中间量,即可比较大小.

【详解】

根据指数函数的性质可知,

函数为单调递减函数,所以,即

因为为单调递增函数,所以,即

综上可知,

故选B

【点睛】

本题考查了指数函数图像与性质,指数幂形式的比较大小,属于基础题.

13．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ）

A．或 B． C． D．

【答案】C

【解析】根据正弦定理得到的值，从而得到，再得到的值.

【详解】

在中，由正弦定理，

得，所以，

因为，故，得到，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查正弦定理解三角形，属于简单题.

14．把函数的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分析：用代换题中的，即可得到要求的函数的解析式.

详解：因为

所以.

点睛：本题考查三角函数图像的平移等知识，解决本题的关键在于牢记图像左右平移变换的规律.

15．已知直线经过点，且与直线平行，那么直线的方程是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意可设所求的方程为2x-y+c=0，代入已知点(2，1)，可得4-1+c=0，即c=-3，所求直线的方程为2x-y-3=0,故选A.

16．已知，那么等于（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】 ，选B.

17．经过原点并且与直线相切于点的圆的标准方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据题意得到过点和直线垂直的直线，该直线与直线相交，得到圆心坐标，再求出半径，从而得到所求圆的标准方程.

【详解】

因为直线与圆相切于点，

则过点和直线垂直的直线

为，

即圆心在直线上，

因为圆过原点和点，

所以圆心在直线上，

联立，解得，

即圆心坐标为，

半径为

故所求的圆的标准方程为：.

故选：A.

【点睛】

本题考查几何法求圆的标准方程，属于简单题.

18．函数的零点个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．0

【答案】B

【解析】按和进行分类，分别求出的零点，从而得到答案.

【详解】

函数，

当时，，

令，即，解得（舍），

当时，，

令，即，解得

综上的零点个数为.

故选：B.

【点睛】

本题考查根据函数解析式求零点个数，属于简单题.

19．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】判断最小正周期以及直线x＝是否为对称轴，即可作出选择.

【详解】

最小正周期为π，但x＝时；

最小正周期为π，但x＝时；

最小正周期为π，但x＝时；

最小正周期为π，但x＝时；

故选：D

【点睛】

本题考查三角函数周期以及对称轴，考查基本分析判断能力，属基础题.

20．已知是定义在上的偶函数，且在区间上为减函数，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据的奇偶性，得到，再得到在上的单调性，从而得到，，的大小关系，得到答案.

【详解】

因为函数是定义在上的偶函数，

所以，

因为在区间上为减函数，

所以在上为增函数

所以，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查根据函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，属于简单题.

二、填空题

21．样本5，8，11的标准差是__________.

【答案】

【解析】先计算数据的平均数，再计算方差，开根号求得标准差.

【详解】

因为三个数据的平均数为

故三个数据的方程为，

故其标准差为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查标准差的求解，属基础题.

22．已知函数，若，则__________．

【答案】3

【解析】由，利用对数的运算求解即可.

【详解】

，

，

，故答案为3.

【点睛】

本题主要考查对数的基本性质，意在考查对基础知识的理解与运用，属于简单题.

23．中，，，，则______.

【答案】

【解析】根据，得到的值，再由余弦定理，得到的值.

【详解】

因为，

所以，

在中，，，

由余弦定理得

.

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查二倍角的余弦公式，余弦定理解三角形，属于简单题.

24．已知向量，满足且，则______.

【答案】或

【解析】设，根据题意，得到关于，的方程组，解得，的值，得到答案.

【详解】

设，

因为向量，，

所以，

因为，

所以，

解得或.

所以或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查根据向量垂直和向量的模长求向量的坐标，属于简单题.

25．若，则______.

【答案】

【解析】根据已知条件，利用两角和的正弦公式的逆用，得到的值，再利用二倍角的余弦公式，得到答案.

【详解】

因为，

所以，

即，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查两角和的正弦公式的逆用，二倍角的余弦公式，属于简单题.

三、解答题

26．已知函数

（Ⅰ）画出函数的大致图象；

（Ⅱ）写出函数的最大值和单调递减区间

【答案】(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) 的最大值为2.其单调递减区间为或.

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用描点法分别作出与的图象，即可得到函数的大致图象；（Ⅱ)根据图象可得函数的最大值和单调递减区间.

试题解析：（Ⅰ）函数的大致图象如图所示.

（Ⅱ)由函数的图象得出，的最大值为2.

其单调递减区间为或.

27．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=2，BC=BB1=1，D是棱A1B1上一点．

（Ⅰ）证明：BC⊥AD；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣ACD的体积．

【答案】见解析

【解析】【详解】

证明：（Ⅰ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠ABC=90°，

∴BC⊥AB，

∵BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴BB1⊥BC，

∵BB1∩AB=B，

∴BC⊥平面ABB1A1，

∵AD⊂平面ABB1A1，

∴BC⊥AD．

（Ⅱ）∵BC⊥平面ABB1A1，

∴BC是三棱锥C﹣ABD的高，

则VB﹣ACD=VC﹣ABD=S△ABD•BC=AB•BB1•BC=×2×1=，

即．

【点评】

本题主要考查空间直线的垂直判断以及三棱锥的体积的计算，利用转化法是解决本题的关键．比较基础．

28．甲船在A处.乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲.乙两船相距最近？

【答案】小时后，甲乙两船相距最近.

【解析】设经过小时后，甲船和乙船分别到达，两点则，，，由此知当时，甲．乙两船相距最近

【详解】

设经过小时后，甲船和乙船分别到达 两点，则

，∴∵当取得最小值时，取得最小值，∴当时，取得最小值，此时,甲.乙两船相距最近.

【点睛】

本题考查解三角形在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固，解题时要注意余弦定理和数形结合思想的灵活运用.