2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（三）含解析

2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷数学试题卷（三）

一、单选题

1．三视图如右图的几何体是

A．三棱锥 B．四棱锥

C．四棱台 D．三棱台

【答案】B

【解析】根据三视图可知，该几何体底面是四边形，侧面是三角形，因此可知该几何体是四棱锥，选B

2．已知集合，，若，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据可得出关于的等式，解出即可.

【详解】

集合，，，，解得.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.

3．函数的单调递增区间是（      ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】D

【解析】根据正弦函数的单调性，并采用整体法，可得结果.

【详解】

由

令

所以

函数的单调递增区间为，

故选：D

【点睛】

本题考查正弦型函数的单调递增区间，重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用，使问题化繁为简，属基础题.

4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（  ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【解析】根据框图，模拟计算即可得出结果.

【详解】

程序执行第一次，，，第二次，，第三次，，第四次，，跳出循环，输出，故选A.

【点睛】

本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.

5．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据所给数据，分别求出平均数为a，中位数为b，众数为c，然后进行比较可得选项.

【详解】

，

中位数为，

众数为.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查统计量的求解，明确平均数、中位数、众数的求解方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

6．已知直线，给出以下三个命题：

①若平面平面，则直线平面；

②若直线平面，则平面平面；

③若直线不平行于平面，则平面不平行于平面。

其中正确的命题是（    ）

A．② B．③ C．①② D．①③

【答案】D

【解析】利用线面平行和面面平行的性质和判定定理对三个命题分析进行选择．

【详解】

①因为直线a⊂α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行平面β．显然正确．

②因为当平面α与平面β相交时，仍然可以存在直线a⊂α使直线a∥平面β．故错误．

③只要一个平面内有一条直线不平行与另一个平面，两平面就不会平行．故正确．

故选：D．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力．

7．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】求出函数的零点，即可得出该函数零点所在的区间.

【详解】

令，即，解得，

，因此，函数的零点所在的区间是.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数零点所在区间的判断，一般利用零点存在定理来判断，考查推理能力，属于基础题.

8．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则（   ）

A．2 B． C． D．4

【答案】C

【解析】分析：已知两边和夹角直接应用余弦定理即可.

详解：已知，，，根据余弦定理得到

点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

9．直线与圆相交于A、B两点，则AB的长度等于

A．1       B．     C．     D．

【答案】D

【解析】试题分析：根据题意可知圆心到直线的距离是，根据圆中的特殊三角形，可知半弦长，所以弦长为，故选D.

【考点】直线被圆截得的弦长问题.

10．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】试题分析：由得，解得.

【考点】等差数列.

二、填空题

11．在△ABC中，AB=1, BC=2, B=60°，则AC＝     .

【答案】

【解析】.

12．在长方体中，与棱垂直且异面的棱的条数是______.

【答案】

【解析】作出图形，根据线面垂直的性质可得出结论.

【详解】

如下图所示：

平面，平面，与棱垂直且异面的棱有、、、，共条.

故答案为：.

【点睛】

本题考查异面垂直的直线的寻找，考查推理能力，属于基础题.

13．过点且平行于直线的直线方程为______.

【答案】

【解析】求出直线的斜率，然后利用点斜式可得出所求直线的方程，化为一般式即可.

【详解】

直线的斜率为，因此，所求直线的方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用两直线平行求直线方程，可利用平行直线系方程求解，一般要求出直线的斜率，利用点斜式得出直线的方程，考查计算能力，属于基础题.

14．水平放置的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的长度为______.

【答案】

【解析】由已知中直观图中线段的长，可分析出实际为一个直角边长分别为、的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．

【详解】

在直观图中，，，所以在中，，，为直角，

，因此，边上的中线的长度为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查的知识点是斜二测画法直观图，其中掌握斜二测画法直观图与原图中的线段关系是解答的关键．

15．设，，且，则的最小值为______.

【答案】

【解析】将等式变形为，由此得出，展开后利用基本不等式可得出的最小值.

【详解】

在等式两边同时除以得，

，，，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值，涉及的妙用，解题时将注意将定值条件化简变形，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题

16．已知是的一个内角，向量，且，求角的大小.

【答案】

【解析】利用平面向量数量积的坐标运算得出，利用辅助角公式化简得出，再结合角的取值范围可得出角的值.

【详解】

因为，且，所以，

所以，即.

又因为，所以，所以，得.

【点睛】

本题考查三角形中角的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算与辅助角公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

17．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：，绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中的值及续驶里程在的车辆数；

（2）若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在内的概率.

【答案】（1），5；（2）.

【解析】（1）利用所有小矩形的面积之和为1，求得的值，求得续驶里程在的车辆的概率，再利用频数=频率样本容量求车辆数；（2）由（1）知续驶里程在的车辆数为5辆，其中落在内的车辆数为3辆，利用列举法求出从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况，以及恰有一辆车的续驶里程在内的情况，利用古典概型概率公式可得结果.

【详解】

（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1可得：

，解得：，

∴续驶里程在的车辆数为：（辆）.

（2）设“恰有一辆车的续驶里程在内”为事件M       

由（1）知续驶里程在的车辆数为5辆，其中落在内的车辆数为3辆，分别记为A、B、C，落在内的车辆数2辆，分别记为a、b,

从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况如下：，，，，，，，，，共10种且每种情况都等可能被抽到，事件M包含的情况有：，，，，，共6种，

所以由古典概型概率公式有：，即恰有一辆车的续驶里程在内的概率为.

【点睛】

本题主要考查直方图的应用，以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.

18．已知等差数列的公差为，且，，成等比数列.

（1）设数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据已知条件得出关于的方程，解出的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式；

（2）求出，然后利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式可求出.

【详解】

（1）等差数列的公差为，，，

，，成等比数列，，

即，解得，；

（2）.

.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了分组求和法，考查计算能力，属于基础题.

19．已知圆C经过、两点，且圆心在直线上．

（1）求圆C的方程；

（2）若直线经过点且与圆C相切，求直线的方程．

【答案】（１）；（２）

【解析】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦的垂直平分线的方程与联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线斜率不存在时，与圆相切，方程为；当直线斜率存在时，设斜率为，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出的值.

试题解析：（1）依题意知线段的中点坐标是，直线的斜率为，

故线段的中垂线方程是即，

解方程组得，即圆心的坐标为，

圆的半径，故圆的方程是

（2）若直线斜率不存在，则直线方程是，与圆相离，不合题意；若直线斜率存在，可设直线方程是，即，因为直线与圆相切，所以有，

解得或．

所以直线的方程是或.

20．已知函数.

（1）若，求的值；

（2）求函数的定义域；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）由可得出关于的等式，即可得出实数的值；

（2）根据对数真数大于零、分母不为零可得出关于的不等式组，解不等式组即可得出函数的定义域；

（3）令，由可得出，参变量分离得，求出二次函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.

【详解】

（1），，解得；

（2）对于函数，有，解得且.

因此，函数的定义域为；

（3），令，由，得，参变量分离得，

二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.

所以，函数在区间上单调递减，

当时，该函数取得最大值，即，.

因此，实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查利用函数值求参数、函数定义域的求解以及不等式恒成立问题的求解，考查参变量分离法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.