北师大版2022年中考数学专项复习：05勾股定理及其逆定理（含答案）

这是一份北师大版2022年中考数学专项复习：05勾股定理及其逆定理（含答案），共24页。
05勾股定理及其逆定理 【考纲要求】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系． 【知识网络】【考点梳理】知识点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即：）.【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.用拼图的方法验证勾股定理的思路是:①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.3.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在中，，则，，;②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系;③可运用勾股定理解决一些实际问题.知识点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题　　如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 【要点诠释】①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边；　③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数;②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等;③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；　（为正整数）（，为正整数）知识点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系1.区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解；而其逆定理是判定定理，能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．2.联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.【典型例题】类型一、勾股定理及其逆定理的应用【高清课堂：勾股定理及其逆定理  例2】1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是__________．
    【思路点拨】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．【答案与解析】∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，
∴CG=NG，CF=DG=NF，
∴S1=（CG+DG） 2=CG 2+DG 2+2CG•DG，=GF 2+2CG•DG，
S2=GF 2，
S3=（NG-NF） 2=NG 2+NF 2-2NG•NF，
∵S1+S2+S3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•NF，=3GF 2，
∴S2=．【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•NF=3GF 2是解决问题的关键．【变式】若△ABC三边a、b、c 满足 a＋b＋c＋338=10a+24b+26c，△ABC是直角三角形吗？为什么？【答案】∵a＋b＋c＋338=10a+24b+26c∴a＋b＋c＋338－10a－24b－26c =0（a－10a+25）＋（b－24b+144）＋（c－26c+169）=0即 ∵∴a=5，b=12，c=13又∵a＋b=c=169，∴△ABC是直角三角形.2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．【思路点拨】此题涉及到的知识点有勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．【答案与解析】过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，
∴EH=DH，
∵EH2+DH2=ED2，
∴EH2=1，
∴EH=DH=1，
又∵∠DCE=30°，
∴DC=2，HC=，
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，
∴AB=AE=2，
∴AC=2+1+=3+，
∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．【总结升华】此题主要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．举一反三： 【变式】如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（　　）A.  8     B.  8.8     C.  9.8      D.  10【答案】C.类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用。【高清课堂：勾股定理及其逆定理  例7】3.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．（1）请用a表示第三条边长；
（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a的取值范围；
（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由．【思路点拨】（1）本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长．
（2）本题需先求出三边的长，再根据三角形的三边关系列出不等式组，即可求出a的取值范围．
（3）本题需先求出a的值，然后即可得出三角形的三边长．【答案与解析】（1）∵第二条边长为2a+2，
∴第三条边长为30-a-（2a+2）=28-3a．（2）当a=7时，三边长分别为7，16，7．
由于7+7＜16，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为7米．
由可解得.
即a的取值范围是．（3）在（2）的条件下，注意到a为整数，所以a只能取5或6．
当a=5时，三角形的三边长分别为5，12，13．由52+122=132知，恰好能构成直角三角形；
当a=6时，三角形的三边长分别为6，14，10．由62+102≠142知，此时不能构成直角三角形；
综上所述，能围成满足条件的小圈，它们的三边长分别为5米，12米，13米．【总结升华】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，在解题时要能根据三角形的三边关系，列出不等式组是本题的关键．4.如图，ABCD是一张边AB长为2，边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A′处，折痕交边AD于点E．（1）求∠DA′E的大小；（2）求△A′BE的面积．【思路点拨】（1）先根据图形翻折变换的性质得出Rt△ABE≌Rt△A′BE，再根据直角三角形的性质可得出∠DA′E的度数；（2）设AE=x，则ED=1﹣x，A′E=x，在Rt△A′DE中，利用sin∠DA′E=可求出x的值，在根据Rt△A′BE中，A′B=AB，利用三角形的面积公式即可求解．【答案与解析】（1）∵△A′BE是△ABE翻折而成，∴Rt△ABE≌Rt△A′BE，∴在Rt△A′BC中，A′B=2，BC=1得，∠BA′C=30°，又∵∠BA′E=90°，∴∠DA′E=60°；（2）解法1：设AE=x，则ED=1-x，A′E=x，在Rt△A′DE中，sin∠DA′E=，即=，得x=4-2，在Rt△A′BE中，A′E=4﹣2，A′B=AB=2，∴S△A′BE=×2×（4﹣2）=4-2；解法2：在Rt△A′BC中，A′B=2，BC=1，得A′C=，∴A′D=2-，设AE=x，则ED=1-x，A′E=x，在Rt△A′DE中，A′D2+DE2=A′E2，即（2-）2+（1﹣x）2=x2，得x=4-2，在Rt△A′BE中，A′E=4-2，A′B=AB=2，∴S△A′BE=×2×（4-2）=4-2．【总结升华】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到勾股定理及矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60cm，AB=100cm，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72cm，则这样的矩形a、b、c…的个数是（　　）A. 6      B. 7      C. 8       D. 9
  【答案】D.5 .如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
　　　
【思路点拨】（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m， 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度.（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响过程中所行驶的路程.因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校.
【答案与解析】作AB⊥MN，垂足为B
　　　　    　在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160，
　　　　　   ∴ AB＝AP＝80 （直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
　　　　　   ∵点 A到直线MN的距离小于100m，
　　　　　   ∴这所中学会受到噪声的影响.
　　　       如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点C处时学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，
　　　       由勾股定理得： BC2＝1002－802＝3600， ∴ BC＝60m
　　　　　　　　　
　　      　同理，假设拖拉机行驶到点D处时学校开始不受影响，那么AD＝100(m)，BD＝60(m)，
　　      　∴ CD＝120(m).
　　      　∵拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s
　　　      ∴t＝120m÷5m/s＝24s
         答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒 .
【总结升华】勾股定理是求线段长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作垂线的方法，构造直角三角形，以便利用勾股定理.6．如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．　　　　　　　　 【思路点拨】解决图形运动的问题，由于运动过程中图形的位置或形状不确定，常会用到分类思想.【答案与解析】（1）由题意可知P、W、Q分别是ΔFMN三边的中点，∴PW是ΔFMN的中位线，即PW∥MN∴ΔFMN∽ΔQWP（2）由题意可得  DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，由勾股定理分别得  =，=+=+①当=+时，+=++解得  ;②当=+时，+=++此方程无实数根;③=+时，=+++解得  （不合题意，舍去），;综上，当或时，ΔPQW为直角三角形；当0≤x＜或＜x＜4时，ΔPQW不为直角三角形.（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，只有当x=4时，MN的值最小，等于2；②当4＜x≤6时，=+=+=当x=5时，取得最小值2，∴当x=5时，线段MN最短，MN=．【总结升华】题涉及到相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理等知识点的理解和掌握，难度较大，综合性较强，利于学生系统地掌握所学知识．举一反三：【变式】在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性．
  
问题1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S1+S2与S3的关系（如图1）．
问题2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．
问题3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究S1+S2与S3的关系（如图3）．【答案】问题1：由等边三角形的性质知：S1=a2，S2=b2，S3=c2，
则S1+S2=（a2+b2），因为a2+b2=c2，所以S1+S2=S3．
问题2：由等腰直角三角形的性质知：S′=a2，S″=b2，S=c2．
则S′+S″=（a2+b2），因为a2+b2=c2，所以S′+S″=S．
问题3：由圆的面积计算公式知：S1=πa2，S2=πb2，S3=πc2．
则S1+S2=π（a2+b2），因此a2+b2=c2，所以S1+S2=S3．  中考总复习：勾股定理及其逆定理(提高) 巩固练习 【巩固练习】一、选择题1．将一个有45度角的三角板的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为（    ）.　A. 3cm 　　　B. 6cm　　　 C. 3cm 　　　D. 6cm
    2．在△中，若，则△是（    ）.
　　. 锐角三角形 　 . 钝角三角形　　　 . 等腰三角形 　 . 直角三角形3. 如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（    ）.
　　A. 　　　 B. 　　　 C.　　　D.3
　　
 4如图，分别以直角的三边为直径向外作半圆．设直线左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积和为，则（   　）.
　
　　A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．无法确定5如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（　　）.A. -4和-3之间      B．3和4之间    C．-5和-4之间    D．4和5之间6勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　）.A.90     B．100       C．110           D．121  二、填空题7. 如图，在由12个边长都为1且有一个锐角是60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长________．
　 8. 如图，已知点F的坐标为(3，0)，点A、B分别是某函数图象与x轴，y轴的交点，点P是此图像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5－x(0≤x≤5),则结论：①AF=2； ②BF=5； ③OA=5； ④OB=3中，正确结论的序号是______________.
　　9.如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短． EP＋BP的最小值是_______．10.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于_________________.11．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…
列举：13、b、c，猜想：132=b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=_____,c=________.12.如图，正方体的棱长为2，O为AD的中点，则O，A1，B三点为顶点的三角形面积为________________．三、解答题13. 作长为、、的线段.   14.如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。现要从点E处开设通往村庄A、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A．经测量得千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°．已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米．
求：1)河宽AD(结果保留根号)；
    2)公路CD的长;
　　3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。
　　
　15.如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A=60°，点P从点A出发沿线路AB⇒BD做匀速运动，点Q从点D同时出发沿线路DC⇒CB⇒BA做匀速运动．
（1）已知点P，Q运动的速度分别为2cm/秒和2.5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，试判断△AMN的形状，并说明理由；
（2）如果（1）中的点P、Q有分别从M、N同时沿原路返回，点P的速度不变，点Q的速度改为vcm/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与题（1）中的△AMN相似，试求v的值．16．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．
（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐________.．（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．
请你分别完成上述三个问题的解答过程． 【答案与解析】一．选择题1.【答案】D.【解析】过点A作AH垂直于纸带边沿于点H，
　　　　　在直角△AHC中，∵AH=3，∠ACH=30°，
　　　　　∴AC=2AH=6,
　　　　　再在等腰直角△ABC中，∵AC=6, ∠B=45°，
　　　　　∴AB=.
　　　　　故选D.2．【答案】D.【解析】因为=4，所以，
　　　　　，由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形, 答案选D.3．【答案】C．【解析】如图，过D点作DE⊥BC于E,则DE=AB，AD=BE,EC=BC－BE=3
　　　　　在Rt△CDE中，DE=,
　　　　　延长AB至F，使AB=BF，连接DF，交BC于P点，连接AP，
　　　　　这时候PA+PD取最小值，
　　　　　∵AD∥BC，B是AF中点，
　　　　　∴
　　　　　在Rt△ABP中，AP=
　　　　　∵
　　　　　∴=,故选C.4．【答案】A.【解析】圆的面积为，设三条边长为a,b,c,分别表示三块阴影部分面积，用勾股定理即可.5．【答案】A．【解析】∵点P坐标为（-2，3），
∴OP=，
∵点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，
∴OA=OP=，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4．
∵点A在x轴的负半轴上，
∴点A的横坐标介于-4和-3之间．
故选A．6．【答案】 C.二．填空题7．【答案】2，，，4，.【解析】如下图，可能的直角三角形斜边长有2，，，4，.
　　8．【答案】①； ②； ③ .【解析】令x=0得到d=5,此时点P与点B重合，BF=5，由勾股定理的OB=4.令x=5得到d=2,此时点P与点A重合，可得AO=5，AF=2.9．【答案】5.【解析】根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，    即最短距离EP＋BP也就是ED．    ∵AE＝3，EB＝1，∴AB＝AE＋EB＝4，    ∴AD＝4，根据勾股定理得： ．    ∵ED＞0，∴ED＝5，∴最短距离EP＋BP＝5．10．【答案】27+13．【解析】在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长．11.【答案】 84,85.【解析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（），（），由此规律解决问题．12．【答案】.【解析】直角△AA1O和直角△OBA中，利用勾股定理可以得到OA1=OB=，
在直角△A1AB中，利用勾股定理得A1B=2，过点O作高，交A1B与M，连接AM，
则△AOM是直角三角形，则AM=A1B=，OM==，
∴△OA1B的面积=A1B•OM=．三.综合题13．【解析】作法：如图所示
　　　　　　　　　　
　　（1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
　　（2）作以AB为一条直角边，另一直角边为1的Rt。斜边为；
　　（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长      度就是、、、.14．【解析】1).过B作BF⊥AD交DA延长线于F，
　　　　　在Rt△ABF中，可知∠BAF=60°，AB，
　　　　　∴ BF=6，，
　　　　　在Rt△BFD中，∵∠BDF=45°，
　　　　　∴ DF=BF=6，
　　　　　∴
　　　　　2).过B作BG⊥CD于G，则BG=6，BC=10，有CG=8，
　　　　　∴ DC=CG+DG=14.
　　　　　3).设CE=x，则方案一、二费用分别为：
　　　　　，
　　　　　，
　　　　　由可解得
　　　　　∴ 当＜CE＜14时，方案一较省；
　　　　　当0＜CE＜时，方案二较省；
　　　　　当CE=时，方案一、二均可．15．【解析】（1）∵∠A=60°，AD=AB=12，
∴△ABD为等边三角形，故BD=12，
又∵VP=2cm/s
∴SP=VPt=2×12=24（cm），
∴P点到达D点，即M与D重合vQ=2.5cm/s SQ=VQt=2.5×12=30（cm），
∴N点在AB之中点，即AN=BN=6（cm），
∴∠AND=90°即△AMN为直角三角形；
（2）VP=2m/s t=3s
∴SP=6cm，
∴E为BD的中点，
又∵△BEF与△AMN相似，
∴△BEF为直角三角形，且∠EBF=60°，∠BPF=30°，
①Q到达F1处：SQ=BP-BF1=6-=3（cm），故VQ==1（cm/秒）；
②Q到达F2处：SQ=BP+=9，故VQ===3（cm/秒）；
③Q到达F3处：SQ=6+2BP=18，故VQ===6（cm/秒）．16. 【解析】（1）变小；
（2）问题①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm
∴AC=12
∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4
∴DF=4cm
连接FC，设FC∥AB
∴∠FCD=∠A=30°∴在Rt△FDC中，DC=4
∴AD=AC-DC=12-4
∴AD=12-4时，FC∥AB；
问题②：设AD=x，在Rt△FDC中，FC2=DC2+FD2=（12-x）2+16
∵AC=12cm，DE=4cm，
∴AD≤8cm，
（I）当FC为斜边时，
由AD2+BC2=FC2得，x2+62=（12-x）2+16，x=；
（II）当AD为斜边时，
由FC2+BC2=AD2得，（12-x）2+16+62=x2，x=＞8（不合题意舍去）；
（III）当BC为斜边时，
由AD2+FC2=BC2得，x2+（12-x）2+16=36，x2-24x+160=0，
方程无解，
∴由（I）、（II）、（III）得，当x=时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
另解：BC不能为斜边，
∵FC＞CD，∴FC+AD＞12
∴FC、AD中至少有一条线段的长度大于6，
∴BC不能为斜边，
∴由（I）、（II）、（III）得，当x=cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
问题③：解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD=15,°
理由如下：
假设∠FCD=15°
∵∠EFC=30°
作∠EFC的平分线，交AC于点P
则∠EFP=∠CFP=15°，∠DFE+∠EFP=60°
∴PD=4，PC=PF=2FD=8
∴PC+PD=8+4＞12
∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°;
解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD=15°
假设∠FCE=15°AD=x
由∠FED=45°
得∠EFC=30°
作EH⊥FC，垂足为H．
∴HE=EF=2
CE=AC-AD-DE=8-x
且FC2=（12-x）2+16
∵∠FDC=∠EHC=90°
∠DCF为公共角
∴△CHE∽△CDF
∴=又（）2=（）2=
∴（）2=，即=整理后，得到方程x2-8x-32=0
∴x1=4-4＜0（不符合题意，舍去）
x2=4+4＞8（不符合题意，舍去）
∴不存在这样的位置，使得∠FCD=15°．