北师大版2022年中考数学专项复习：03代数综合问题（含答案）

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03代数综合问题 【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力． 【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)；  后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)；  由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察——挖掘题目结构特征；  联想——联系相关知识网络；  突破——抓往关键实现突破；  寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证． 【典型例题】类型一、函数综合 1．已知函数和y＝kx+1(k≠0)．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【思路点拨】本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数．【答案与解析】    解：(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴   解得(2)将代入y＝kx+1，消去y，得．∵k≠0，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．∵△＝1+8k．∴1+8k≥0，解得k≥．∴k≥且k≠0时这两个函数的图象总有公共点．【总结升华】两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图象没有公共点．举一反三：【变式】如图，一元二次方程的两根，（＜）是抛物线与轴的两个交点，的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；(3)在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．  【答案】解：(1)解方程，得=-3，=1.抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）.将 A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，得   解这个方程组，得 抛物线解析式为.(2)由，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A（3，6），C（-3，0）代入,得解这个方程组，得 直线AC的函数关系式为y=x+3.由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点，故解方程组得  点Q坐标为（-1，2）. (3)作A点关于x轴的对称点，连接，与轴交点即为所求的点. 设直线的函数关系式为y=kx+b.∴  解这个方程组，得 直线的函数关系式为y=-2x.令x=0，则y=0.  点M的坐标为（0，0）. 类型二、函数与方程综合2．已知关于x的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．    (1)试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点；(2)若A点坐标为(-1，0)，试求B点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?【思路点拨】本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x轴的交点个数及二次函数的性质．【答案与解析】解：(1)对于关于x的二次函数，由于△＝(-m)2－4×1×，所以此函数的图象与x轴没有交点．对于关于x的二次函数，由于△＝，    所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点．故图象经过A，B两点的二次函数为．(2)将A(-1，0)代入，得．整理，得．解之，得m＝0，或m＝2．①当m＝0时，．令y＝0，得．解这个方程，得，．此时，B点的坐标是B(1，0)．②当m＝2时，．令y＝0，得．解这个方程，得x3＝-1，x4＝3．此时，B点的坐标是B(3，0)．(3)当m＝0时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝0，所以当x＜0时，函数值y随x的增大而减小．当m＝2时，二次函数为，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以当x＜1时，函数值y随x的增大而减小．【总结升华】从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解． 举一反三：【高清课堂:代数综合问题   例3】【变式】已知：关于x的一元二次方程：.（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C1,将图形C1向右平移一个单位,得到图形C2，当直线(b＜0)与图形C2恰有两个公共点时，写出b的取值范围. 【答案】（1）证明∵． ∴该方程总有两个不相等的实数根．（2）由题意可知y轴是抛物线的对称轴，  ∴，解得．      ∴此抛物线的解析式为． （3）-3＜b＜0． 类型三、以代数为主的综合题3．如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB．    (1)求点B的坐标；    (2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；    (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．    (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由． 【思路点拨】(1)由∠AOB＝120°可得OB与x轴正半轴的夹角为60°，利用OB＝2及三角函数可求得点B的坐标；(2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB为定值，即求BC+CO最小．利用二次函数的对称性可知点C为直线AB与对称轴的交点；(4)利用转化的方法列出关于点P的横坐标x的函数关系式求解．【答案与解析】 解：(1)B(1，)．    (2)设抛物线的解析式为，代入点B(1，)，得．所以．(3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x＝-1，因为A，O关于抛物线的对称轴对称，所以当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小．设直线AB的解析式为，则  解得因此直线AB的解析式为．当时，．因此点C的坐标为．(4)如图所示，过P作y轴的平行线交AB于D，设其交x轴于E，交过点B与x轴平行的直线于F．设点P的横坐标为x．则．当时，△PAB的面积的最大值为，此时．【总结升华】  本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法．因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD的长为就是利用了这一规律． 4．如图所示，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(-4，0)，B(-2，0)，E(0，8)．(1)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；    (2)设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；此时，点M，N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；    (3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【思路点拨】此题一题多问，分别考查对抛物线性质、直角坐标系中点的坐标与线段之间的关系、代数式或者函数最值的求解方法的理解，并考查应用方程思想解决问题的意识和能力．【答案与解析】    解：(1)点A(-4，0)，点B(-2，0)，点E(0，8)．关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，F(0，-8)．设抛物线C2的解析式是，则  解得∴所求抛物线的解析式是.(2)由(1)可计算得点M(-3，-1)，N(3，1)．过点N作NH⊥AD，垂足为H．当运动到时刻t时，AD＝2OD＝8-2t，NH＝1+2t．根据中心对称的性质OA＝OD，OM＝ON，∴四边形MDNA是平行四边形．∴∴四边形MDNA的面积．∵运动至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t＜4，∴所求关系式是（0≤t＜4）．(3) (0≤t＜4)∴时，S有最大值.(4)在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．由(1)知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD、MN，∴当AD＝MN时四边形MDNA是矩形．∴OD＝ON．∴OD2＝ON2＝OH2+NH2．∴．解得，(不合题意，舍去)．∴在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时．【总结升华】直角坐标系中，坐标与线段长的关系；用等量关系列方程．以形为背景给出的题干信息中有等腰梯形，等腰三角形，等边三角形，某线段是某线段的几倍，或者隐含着这些条件存在，都是利用方程思想解决问题的有效信息． 举一反三：【变式】如图所示，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，，．(1)求点B的坐标；    (2)求抛物线的解析式及顶点坐标；    (3)若E点在x轴上，F点在抛物线上，如果A，C，E，F构成平行四边形，直接写出点E的坐标．【答案】解：(1)∵，∴C(0，3)．又∵，∴A(1，0)．又∵，∴，∴AB＝4。∴B(-3，0)．(2)把A(1，0)，B(-3，0)代入得：∴a＝-1，b＝-2，∴．∵．∴顶点坐标(-1，4)．(3)如图1和图2．  当AC为平行四边形的一边时， (-1，0)，E2(，0)，E3(，0)．当AC为平行四边形的对角线时，E4(3，0)．5．已知函数y1＝x，y2＝x2+bx+c，α，β为方程的两个根，点M(t，T)在函数y2的图象上．    (1)若，，求函数y2的解析式；    (2)在(1)的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为时，求t的值；    (3)若0＜α＜β＜1，当0＜t＜l时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由． 【思路点拨】第(1)问由得的两根为α，β，利用根的定义代入得到b，c的方程组可求出b，c值；第(2)问分别求出A，B两点坐标，利用直线y＝x与x轴夹角为45°得到关于t的方程；第(3)问利用求差法比较T，α，β的大小，注意对t的范围进行分类讨论来的确定相应T，α，β的大小关系．【答案与解析】解  (1)∵y1＝x，y2＝x2+bx+c，y1－y2＝0，∴．将，分别代入，得．解得，．∴函数y2的解析式为．(2)由已知，y1与y2的图象的两个交点的坐标分别为，．得，设ABM中AB边上的高为h，则，即．由直线y1＝x与x轴的夹角为45°可得．由，得．当时，解得；当时，解得，∴t的值为，，．(3)由已知，得，，．∴，，，化简得．∵，得，∴．有a+b＝1－β＞0，β+b＝1－α＞0．又0＜t＜1时，∴t+α+b＞0，t+β+b＞0．∴当0＜t≤α时，T＜α≤β；当α＜t≤β时，α＜T≤β；当β＜1时，α＜β＜T．【总结升华】本题是关于函数、方程、不等式的综合题，涉及知识面较广．中考冲刺：代数综合问题—巩固练习（提高） 【巩固练习】一、选择题1. 如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点，以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是 （　 　）  A．点G   B．点E   C．点D   D．点F2．已知函数y=，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为 （   ）                            A．0  B．1  C．2  D．33. 如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=和y=的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为 （　  　） A．3  B．4  C．5  D．6 二、填空题4．若a+b-2-4=3- c-5，则a+b+c的值为             . 5．已知关于x的方程x2+（k-5）x+9=0在1＜x＜2内有一实数根，则实数k的取值范围是          ． 6.关于x的方程，2kx2-4x-3k=0的两根一个小于1，一个大于1，则实数k的的取值范围是          . 三、解答题7．已知：关于x的一元二次方程有两个整数根，m<5且m为整数．（1）求m的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数的图象沿x轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式；（3）当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，求b的值． 8. 已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．（3）在（2）的条件下，将抛物线绕原点旋转，得到图象，点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与图象、交于两点，当线段的长度最小时，求点的坐标．  9. 抛物线，a＞0，c＜0，．（1）求证：；（2）抛物线经过点，Q．① 判断的符号；② 若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，点B（点A在点B左侧），请说明，．  10. 已知：二次函数y=．（1）求证：此二次函数与x轴有交点；（2）若m-1=0,求证方程有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程的另一根为a,当x=2时，关于n 的函数与的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与、的图象分别交于点C、D，若CD=6，求点C、D的坐标.   【答案与解析】一、选择题
1.【答案】A；【解析】在直角梯形AOBC中∵AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9∴点A的坐标为（9，12）∵点G是BC的中点∴点G的坐标是（18，6）∵9×12=18×6=108∴点G与点A在同一反比例函数图象上，故选A． 2.【答案】D；【解析】函数y=的图象如图：根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∴k=3．故选D．3.【答案】A；【解析】先设P（0，b），由直线APB∥x轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数y=和y=的图象上，可得到A点坐标为（﹣，b），B点坐标为（，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 二、填空题4.【答案】20；【解析】整理得：（a-1-2+1）+（b-2-4+4）+（c-3-6+9）=0
（-1）2+（-2）2+（-3）2=0，
∴=1，=2，=3，
∵a≥1，b≥2，c≥3，
∴a=2，b=6，c=12，
∴a+b+c=20．
故答案为：20．5.【答案】【解析】利用数形结合的方法将问题转化成二次函数y= x2+（k-5）x+9图象开口向上，与x轴的一个交点的横坐标在1＜x＜2内，故有两种情况，分析得出结论.6.【答案】或. 三、解答题7．【答案与解析】  解：（1）∵方程有两个整数根，∴△=0，且为完全平方数．       ∵ m<5且m为整数，∴ ∴m=0或4．                                             （2）当m=0时，方程的根为x1=0，x2=2；当m=4时，方程的根为x3=8，x4=2．∵方程有两个非零的整数根，∴m=4．                                               ∴二次函数的解析式是．      将的图象沿x轴向左平移4个单位长度得到：．∴平移后的二次函数图象的解析式为．           (3) 当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，可知直线与平移后的抛物线只有一个交点或者过两条抛物线的交点（3，-5）．                    ①当直线y=x+b与平移后抛物线只有一个交点时，由得方程，即．∴△=41+4b=0, ∴                     ②当直线y=x+b过点（3，-5）时，b=-8．综上所述，当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，或b=-8．8．【答案与解析】（1）证明：                    ∵不论取何值时，∴，即∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）将代入方程，得            再将代入，原方程化为，解得．    （3）将代入得抛物线：，将抛物线绕原点旋转得到的图象的解析式为：．      设，则，   ∴当时，的长度最小，此时点的坐标为   9．【答案与解析】（1）证明：∵ ，∴ ． ∵ a＞0，c＜0，∴ ，．∴ ．     （2）解：∵ 抛物线经过点P，点Q，            ∴ ① ∵ ，a＞0，c＜0，∴ ，．∴ ＜0． ＞0．∴ ．② 由a＞0知抛物线开口向上．∵ ，，∴ 点P和点Q分别位于x轴下方和x轴上方．∵ 点A，B的坐标分别为A，B（点A在点B左侧），∴ 由抛物线的示意图可知，对称轴右侧的点B的横坐标满足．（如图所示）  ∵ 抛物线的对称轴为直线，由抛物线的对称性可，由（1）知，∴ ．∴ ，即．  10．【答案与解析】（1）证明：令，则有△=  ∵，∴△≥0                        ∴二次函数y=与x轴有交点  （2）解：解法一：由，方程可化为     解得：       ∴方程有一个实数根为1  解法二：由，方程可化为     当x=1时，方程左边=1+(n-2)+1-n=0方程右边=0∴左边=右边         ∴方程有一个实数根为1   （3）解：方程的根是：   ∴当=2时，，         设点C（）则点D（）∵CD=6 ，  ∴∴                 ∴C、D两点的坐标分别为C（3，4），D（3，-2）或C（-1，0），D（-1，-6）