2022年中考数学基础题提分讲练专题：17 反比例函数综合题（含答案）

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专题17  反比例函数综合题考点分析【例1】如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=2，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．（1）当OB=2时，求点D的坐标；（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y=（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点D坐标为（5，）；（2）OB=3；（3）k=12．【解析】（1）如图1中，作DE⊥x轴于E．∵∠ABC=90°，∴tan∠ACB=，∴∠ACB=60°，根据对称性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，∴∠DCE=60°，∴∠CDE=90°-60°=30°，∴CE=1，DE=，∴OE=OB+BC+CE=5，∴点D坐标为（5，）．（2）设OB=a，则点A的坐标（a，2），由题意CE=1．DE=，可得D（3+a，），∵点A、D在同一反比例函数图象上，∴2a=（3+a），∴a=3，∴OB=3．（3）存在．理由如下：①如图2中，当∠PA1D=90°时．∵AD∥PA1，∴∠ADA1=180°-∠PA1D=90°，在Rt△ADA1中，∵∠DAA1=30°，AD=2，∴AA1==4，在Rt△APA1中，∵∠APA1=60°，∴PA=，∴PB=，设P（m，），则D1（m+7，），∵P、A1在同一反比例函数图象上，∴m=（m+7），解得m=3，∴P（3，），∴k=10．②如图3中，当∠PDA1=90°时．∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA1，∴△AKP∽△DKA1，∴．∴，∵∠AKD=∠PKA1，∴△KAD∽△KPA1，∴∠KPA1=∠KAD=30°，∠ADK=∠KA1P=30°，∴∠APD=∠ADP=30°，∴AP=AD=2，AA1=6，设P（m，4），则D1（m+9，），∵P、A1在同一反比例函数图象上，∴4m=（m+9），解得m=3，∴P（3，4），∴k=12．点睛：本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会了可以参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 【例2】 如图，A（4，3）是反比例函数y=在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=的图象于点P．（1）求反比例函数y=的表达式；（2）求点B的坐标；（3）求△OAP的面积．【答案】（1）反比例函数解析式为y=；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）△OAP的面积=5．【解析】（1）将点A（4，3）代入y=，得：k=12，则反比例函数解析式为y=；（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，则OC=4、AC=3，∴OA==5，∵AB∥x轴，且AB=OA=5，∴点B的坐标为（9，3）；（3）∵点B坐标为（9，3），∴OB所在直线解析式为y=x，由可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，则点E坐标为（6，3），∴AE=2、PE=1、PD=2，则△OAP的面积=×（2+6）×3﹣×6×2﹣×2×1=5．【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键. 考点集训1．如图，直线与双曲线相交于点A，且，将直线向左平移一个单位后与双曲线相交于点B，与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）求直线的解析式及k的值；（2）连结、，求的面积．【答案】（1）直线的解析式为，k=1；（2）2.【解析】解：（1）根据平移的性质，将直线向左平移一个单位后得到，∴直线的解析式为，∵直线与双曲线相交于点A，∴A点的横坐标和纵坐标相等，∵，∴，；（2）作轴于E，轴于F，解得或∴，∵，∴．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A与点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接，且过点P作y轴的平行线交直线于点C，连接，若的面积为3，求出点P的坐标．【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）点P的坐标为或或．【解析】解：（1）将代入一次函数中得：∴将代入反比例函数中得：∴反比例函数的表达式为；（2）如图：设点P的坐标为，则∴，点O到直线的距离为m∴的面积解得：或或1或2∵点P不与点A重合，且∴又∵∴或1或2∴点P的坐标为或或．【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练掌握反比例函数.3．已知一次函数和反比例函数．（1）如图1，若，且函数、的图象都经过点．①求，的值；②直接写出当时的范围；（2）如图2，过点作轴的平行线与函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点．①若，直线与函数的图象相交点．当点、、中的一点到另外两点的距离相等时，求的值；②过点作轴的平行线与函数的图象相交于点．当的值取不大于1的任意实数时，点、间的距离与点、间的距离之和始终是一个定值．求此时的值及定值．【答案】（1）①，；②；（2）①或4；②，．【解析】（1）①将点的坐标代入一次函数表达式并解得：，将点的坐标代入反比例函数得：；②由图象可以看出时，；（2）①当时，点、、的坐标分别为、、，则，，，则或或，即：或或，即：或0或2或4，当时，与题意不符，点不能在的下方，即也不存在，，故不成立，故或4；②点的横坐标为：，当点在点左侧时，，的值取不大于1的任意数时，始终是一个定值，当时，此时，从而．当点在点右侧时，同理，当，时，（不合题意舍去）故，．【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、函数定值的求法，关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解．4．如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO，是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=（x＞0）（2）OA=；C（5，）（3）P1（ ，），P2（﹣，），P3（，），P4（﹣，）．【解析】（1）过点A作AH⊥OB于H，∵sin∠AOB=，OA=10，∴AH=8，OH=6，∴A点坐标为（6，8），根据题意得：8=，可得：k=48，∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，∵sin∠AOB=，∴AH=a，OH=a，∴S△AOH=•aa=a2，∵S△AOF=12，∴S平行四边形AOBC=24，∵F为BC的中点，∴S△OBF=6，∵BF=a，∠FBM=∠AOB，∴FM=a，BM=a，∴S△BMF=BM•FM=a•a=a2，∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，∵点A，F都在y=的图象上，∴S△AOH=k，∴a2=6+a2，∴a=，∴OA=，∴AH=，OH=2，∵S平行四边形AOBC=OB•AH=24，∴OB=AC=3，∴C（5，）；（3）存在三种情况：当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（ ，），P2（﹣，）当∠PAO=90°时， P3（，）当∠POA=90°时，P4（﹣，）．5．如图，一次函数的图象与反比例函数(且)的图象在第一象限交于点、，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．已知，．(1)求的值和反比例函数的解析式；(2)若点为一次函数图象上的动点，求长度的最小值．【答案】(1)的值为4或-1；；(2).【解析】解：(1)将点代入，得，，解得，，，∴的值为4或-1；反比例函数解析式为：；(2)∵轴，轴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，将，代入，得：，解得，，，∴，设直线与轴交点为，当时，；当时，∴，，则，∴为等腰直角三角形，∴，则当垂直于时，由垂线段最短可知，有最小值，此时．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短等知识，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质．6．如图1，点、点在直线上，反比例函数（）的图象经过点．（1）求和的值；（2）将线段向右平移个单位长度（），得到对应线段，连接、．①如图2，当时，过作轴于点，交反比例函数图象于点，求的值；②在线段运动过程中，连接，若是以为腰的等腰三形，求所有满足条件的的值．【答案】（1），；（2）①；②是以为腰的等腰三形，满足条件的的值为4或5．【解析】（1）∵点在直线上，∴，∴，∴直线的解析式为，将点代入直线的解析式中，得，∴，∴，将在反比例函数解析式（）中，得；（2）①由（1）知，，，∴反比例函数解析式为，当时，∴将线段向右平移3个单位长度，得到对应线段，∴，即：，∵轴于点，交反比例函数的图象于点，∴，∴，，∴；②如图，∵将线段向右平移个单位长度（），得到对应线段，∴，，∵，，∴，，∵是以腰的等腰三形，∴Ⅰ、当时，∴，∴点在线段的垂直平分线上，∴，Ⅱ、当时，∵，，∴，∴，∴，即：是以为腰的等腰三形，满足条件的的值为4或5．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．7．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，反比例函数的图象经过点．（1）求直线和反比例函数的解析式；（2）已知点是反比例函数图象上的一个动点，求点到直线距离最短时的坐标．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）将点，点，代入，∴，∴；∵过点作轴，∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段，∴≌（），∴，，∴，∴，∴；（2）设与平行的直线，联立，∴，当时，，此时点到直线距离最短；∴；【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，当直线与反比例函数有一个交点时，点到直线的距离最短是解题的关键．8．在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标为，交于点．（1）如图（1），双曲线过点，直接写出点的坐标和双曲线的解析式；（2）如图（2），双曲线与分别交于点，点关于的对称点在轴上．求证，并求点的坐标；（3）如图（3），将矩形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点．当为等腰三角形时，求的值．【答案】（1）， ；（2）证明见解析，；（3）满足条件的的值为3或12．【解析】解：（1）如图1中，∵四边形是矩形，∴，∵，∴， ∵双曲线过点，∴．∴反比例函数的解析式为．（2）如图2中，∵点在反比例函数的图象上，∴，∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴直线的解析式为，∵关于对称，∴，∵，∴直线的解析式为，∴．（3）如图3中，①当时，∵，在反比例函数图象上，∴，∴．②当时，点与点重合，∵，在反比例函数图象上，∴，∴．综上所述，满足条件的的值为3或12．【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了中点坐标公式，待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，．（1）求反比例函数的解析式；（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）∵是矩形，∴，∵，∴，∴，又∵轴，∴，∴，∵∴，即把点 代入的得，∴反比例函数的解析式为：．答：反比例函数的解析式为：．（2）过点作垂足为，∵，，∴，∴，∴，则点关于轴的对称点，直线与轴的交点就是所求点，此时最小，设直线AB1的关系式为，将 ,，代入得，   解得：，，∴直线的关系式为，当时，，∴点答：点的坐标为．【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与对称性.10．如图，已如平行四边形中，点为坐标顶点，点，函数的图象经过点．（1）求的值及直线的函数表达式：（2）求四边形的周长．【答案】（1）k=2，直线OB解析式为；（2）四边形的周长为．【解析】 (1)依题意有：点在反比例函数的图象上，∴，∵，∴，又轴，∴，设直线的函数表达式为，∴，∴，∴直线的函数表达式为；(2)作于点，∵，∴，在平行四边形中，，，∴四边形的周长为：，即四边形的周长为．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．如图所示，在平面直角坐标系中，等腰的边与反比例函数的图象相交于点，其中，点在轴的正半轴上，点的坐标为，过点作轴于点．（1）已知一次函数的图象过点，求该一次函数的表达式；（2）若点是线段上的一点，满足，过点作轴于点，连结，记的面积为，设，. ①用表示（不需要写出的取值范围）；②当取最小值时，求的值．【答案】（1）;（2）;②．【解析】解：（1）将点的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，故一次函数表达式为：，（2）①过点作，则，则，∵，则，则点，设：，则，在中，，同理，则，则点，，②∵，∴有最小值，当时，取得最小值，而点，故：．【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到等腰三角形性质、解直角三角形、一次函数等知识，其中（2）①，确定点的坐标，是本题解题的关键．12．(1)阅读理解如图，点，在反比例函数的图象上，连接，取线段的中点．分别过点，，作轴的垂线，垂足为，，，交反比例函数的图象于点．点，，的横坐标分别为，，．小红通过观察反比例函数的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG=2CF，CF>DF，由此得出一个关于，，之间数量关系的命题：若，则______．(2)证明命题小东认为：可以通过“若，则”的思路证明上述命题．小晴认为：可以通过“若，，且，则”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明(1)中的命题．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)∵,,,,,∴. (2)∵,∵，∴,∴,∴.【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．