2022年中考数学基础题提分讲练专题：20 以相似三角形为背景的证明与计算（含答案）

这是一份2022年中考数学基础题提分讲练专题：20 以相似三角形为背景的证明与计算（含答案），共32页。
专题20 以相似三角形为背景的证明与计算
考点分析
【例1】已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，连接AD，分别以CD和AD为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，点E，F在BC下方，连接EF．

（1）如图1，当BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD时，
求证：①∠CAD＝∠CDF，
②BD＝EF；
（2）如图2，当BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD时，猜想BD和EF之间的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）BD＝EF，理由见解析.
【解析】
（1）证明：①∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠CDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠CDF；
②作FH⊥BC交BC的延长线于H，
则四边形FECH为矩形，
∴CH＝EF，
在△ACD和△DHF中，
，

，
，
，
，即，
；
（2），
理由如下：作交的延长线于，
则四边形为矩形，
，
，，
，
，即，GF＝2CD，
∵BC＝2AC，CE＝2CD，
∴BC＝DG，GF＝CE，
∴BD＝CG，
∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°，
∴四边形FECG为矩形，
∴CG＝EF，
∴BD＝EF．


【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和掌握各判定定理.

【例2】如图，中，，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且．

（1）如图1，当时，线段AG和CF的数量关系是　 　．
（2）如图2，当时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．
（3）若，，，请直接写出CF的长．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）2.5或5
【解析】
解：（1）相等，理由：如图1，连接AE，
∵DE垂直平分AB，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2），
理由：如图2，连接AE，
，
，
，
∵DE垂直平分AB，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（3）①当G在DA上时，如图3，连接AE，
∵DE垂直平分AB，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过A作于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点G在BD上，如图4，同（1）可得，，
，
，
，
，
综上所述，CF的长为2.5或5．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

考点集训
1．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
① 当时， ；② 当时，
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.

【答案】（1）①,②.（2）无变化；理由参见解析.（3），.
【解析】
（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴,BD=8÷2=4，
∴．
②如图1，
，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴
（2）如图2，
，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
（3）①如图3，
，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
，
∵AC=，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE==2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得
，
∴BD=．
综上所述，BD的长为或．
2．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，

（1）求证：AC2=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）．
【解析】
解：（1）证明：∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB．
∴
即AC2=AB•AD．
（2）证明：∵E为AB的中点
∴CE=AB=AE
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB
∴∠DAC=∠ECA
∴CE∥AD．
（3）∵CE∥AD
∴△AFD∽△CFE
∴．
∵CE=AB
∴CE=×6=3．
∵AD=4
∴
∴．
3．如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．

（1）求证：；（2）若，求MN的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
证明：（1）∵DB平分，
，且，



（2）

，且


，且，
，





且


【点睛】
考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．

【答案】（1）△BMN与△ABC相似时，t的值为或；（2）t=
【解析】
（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），当△BMN∽△BAC时，，∴，解得：t=；
当△BMN∽△BCA时，，∴，解得：t=，
∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或；
（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得：DM=BMsinB==（cm），BD=BMcosB==（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴，解得t=．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．解直角三角形；3．动点型；4．分类讨论；5．综合题；6．压轴题．
5．在中，，，是上一点，连接
（1）如图1，若，是延长线上一点，与垂直，求证：

（2）过点作，为垂足，连接并延长交于点.
①如图2，若，求证：

②如图3，若是的中点，直接写出的值（用含的式子表示）

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②
【解析】
(1)延长交于点，

∵与垂直，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
(2)①过点作交的延长线于点，

∵，∴与垂直，
由(1)，得，
∵，
∴，即；
②过点C作CD//BP交AB的延长线于点D，延长AM交CD于点H，
∴∠PCH=∠BPQ，
∵，∴⊥，
∴∠BPM=∠CHM=90°，
又∵∠BMP=∠CMH，BM=CM，
∴△BPM≌△CHM，
∴BP=CH，PM=HM，
∴PH=2PM，
∵∠PMB=∠BMA，∠ABM=∠BPM=90°，
∴△ABM∽△BPM，
∴，
在Rt△PCH中，tan∠PCH=，
∴tan∠BPQ=，
又∵BC=2BM，，
∴tan∠BPQ=.

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
6．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,
（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．
∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴AB•CD=CP•BP．
∵AB=AC，
∴AC•CD=CP•BP；
（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．
∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴．
∵AB=10，BC=12，
∴，
∴BP=．
“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．

7．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；

【答案】（1）证明见解析；（2）PB的长为或．
【解析】
解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，
∴△ADB≌△AEC，
∴BD=CE．
（2）解：①当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．

∵∠EAC=90°，
∴CE==．
同（1）可证△ADB≌△AEC，
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC，
∴，
∴，
∴PB=．
②当点E在BA延长线上时，BE=3．

∵∠EAC=90°，
∴CE==．
同（1）可证△ADB≌△AEC，
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴，
∴，
∴PB=．
综上所述，PB的长为或．
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得△PEB∽△AEC是解题的关键．
8．如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.

（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵M为BC的中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，
在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
又∵MB=MN，
∴△MBN为等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；
（2）设BM=CM=MN=a，
∵四边形DNBC是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵，
∴△ABN≌△DBN（SAS），
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，
解得：a=±（负值舍去），
∴BC=2a=；
（3）∵F是AB的中点，
∴在Rt△MAB中，MF=AF=BF，
∴∠MAB=∠FMN，
又∵∠MAB=∠CBD，
∴∠FMN=∠CBD，
∵，
∴，
∴△MFN∽△BDC．
点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．
9．在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是　 　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　 　．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．

【答案】（1）1，（2）45°（3），
【解析】
解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．

，
，
，，
，
，，
，
，
，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是，
故答案为1，．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．

，
，
，
，
，，
，
，
直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．

，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A，D，C，B四点共圆，
，，
，
，设，则，，
c．
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，，

，
．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
10．如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．
（1）求证：AD＝BC；
（2）求证：△AGD∽△EGF；
（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）∵GE是AB的垂直平分线，∴GA=GB．同理GD=GC．
在△AGD和△BGC中，∵GA=GB，∠AGD=∠BGC，GD=GC， ∴△AGD≌△BGC．∴AD=BC．
（2）∵∠AGD=∠BGC， ∴∠AGB=∠DGC．
在△AGB和△DGC中，，∠AGB=∠DGC， ∴△AGB∽△DGC．
∴，又∠AGE=∠DGF，∴∠AGD=∠EGF，∴△AGD∽△EGF．
（3）如图，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH．
由△AGD≌△BGC，知∠GAD=∠GBC，
在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB．
∴∠AGB=∠AHB=90°，
∴∠AGE=∠AGB=45°，
∴
又△AGD∽△EGF，
∴


11．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．
（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；
（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．

【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）理由见解析；（3）PM=kPN；理由见解析
【解析】
（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点， ∴PM=BD，PN=AE，
∴PM=PM， ∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°， ∴∠MPA+∠NPC=90°，
∴∠MPN=90°， 即PM⊥PN；
（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∴△ACE≌△BCD． ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．
又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD， ∴∠BHO=∠ACO=90°．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点， ∴PM=BD，PM∥BD； PN=AE，PN∥AE．
∴PM=PN． ∴∠MGE+∠BHA=180°． ∴∠MGE=90°． ∴∠MPN=90°． ∴PM⊥PN．
（3）PM=kPN
∵△ACB和△ECD是直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ACE=∠BCD． ∵BC=kAC，CD=kCE， ∴=k． ∴△BCD∽△ACE． ∴BD=kAE．
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点， ∴PM=BD，PN=AE． ∴PM=kPN．
考点：相似形综合题．
12．（提出问题）
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
（类比探究）
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
（拓展延伸）
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

【答案】见解析
【解析】
解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN．
∴△ABC∽△AMN．∴．
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN.
∴△BAM∽△CAN．∴∠ABC=∠ACN．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E

（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当，BP′=时，求线段AB的长．
【解析】
（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′，
∴∠CBP=∠ABP；
（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，
，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP；
（3）解：∵，
∴设CP=3k，PE=2k，
则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，
在Rt△AEP′中，P′E==4k，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°，
∵∠BPC=∠EPP′，
∴∠CBP=∠EP′P，
又∵∠CBP=∠ABP，∴∠ABP=∠EP′P，
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，
∴△ABP′∽△EPP′，
∴，
即，
解得P′A=AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，
即AB2+AB2=（5）2，
解得AB=10．
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.相似三角形的判定与性质．

14．如图1，在中，，，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转交线段CA的延长线于点D．
（1）找出与相等的角，并说明理由．
（2）如图2，，求的值．
（3）在（2）的条件下，若，求线段AB的长．

【答案】（1）；理由见解析；（2）；（3）.
【解析】
（1）．
理由如下：∵，，
∴．
∴．
由旋转的性质知，．
∴；
（2）如图，过点C作交MP于点G．
∴，．
∵，点M是AB的中点，
∴．
∴．
∴．
∵．
∴．
∵，
∴．
在与中，

∴．
∴．
∵．
∴．
∵，
∴．
∴．
设，则，．
在中，．
∴．
∴；
（3）如图，由（2）知．则．
∵．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
由（2）知，，则．
∴，．
∵，．
∴．
∴．
∴，即．
解得，（舍去）．
∴．

【点睛】
考查了几何变换综合题．解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA）与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题过程中，注意方程思想在求相关线段长度时的灵活运用．