高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用同步测试题，共7页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1.4空间向量的运用一、单选题1.已知四面体 中， ， ， 两两垂直， ， 与平面 所成角的正切值为 ，则点 到平面 的距离为（    ）            A.                                      B.                                      C.                                      D. 2.正方体 的棱长为1，点M在正方体的表面 上，定义每一点均在正方体表面上的一条路线为一条路径. 已知点M到A的最短路径 等于点M到点G的最短路径 . 则 的最大值为(    )            A.                                      B.                                      C.                                      D. 3.平面 的一个法向量为 ，则y轴与平面 所成的角的大小为（    ）            A.                                         B.                                         C.                                         D. 4.若直线 的方向向量 ，平面 的一个法向量 ，若 ，则实数 （     ）            A. 2                                       B.                                        C.                                        D. 105.正四棱柱 中，底面边长为 ，侧棱长为 ，则 点到平面  的距离为（    ）            A.                                        B.                                        C.                                        D. 6.已知两平面的法向量分别为 ， ，则两平面所成的二面角为（    ）            A.                               B.                               C.  或                               D. 7.已知 为直线l的方向向量， ， 分别为平面 ， 的法向量 不重合 那么下列说法中：  ； ； ； 正确的有      A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个8.三棱柱 的侧棱与底面垂直， ， ，N是BC的中点，点P在 上，且满足 ，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时， 的值为         A.                                        B.                                        C.                                        D. 二、填空题9.已知长方体 的 、 、 的长分为3､4､5，则点A到棱 的距离为________.    10.正三棱柱 的侧棱长和底面边长均为2，则 与侧面 所成角的正弦值为________；点E为 中点，则过 ， ， 三点的截面面积为________.    11.已知  的三个顶点为  ，  ， ，则 边上的中线长为________．                                                                   12.如图，在直三棱柱 中， ， ，已知 和 分别为 和 的中点， 和 分别为线段 和 上的动点（不包括端点），若 ，则线段 长度的取值范围为________．  三、解答题13.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 （其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ．
（Ⅰ） 写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ） 过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求|AB|．    14.如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为矩形，AB⊥平面AA1D1D，CD⊥平面AA1D1D，E、F分别为A1B1、CC1的中点，且AA1=CD=2，AB=AD=1．（1）求证：EF∥平面A1BC；（2）求D1到平面A1BC1的距离．15.如图， 是边长为3的正方形， 平面 ， ， ， 与平面 所成角为 .  （1）求证： 平面 ；    （2）求二面角 的余弦值.    16.如图，在多面体 中， 是边长为4的等边三角形， ， ， ，点 为 的中点，平面 平面 ．  （1）求证： 平面     （2）线段 上是否存在一点 ，使得二面角 为直二面角？若存在，试指出点 的位置；若不存在，请说明理由．   参考答案1. D   2. B   3.B   4. A   5. A   6. C   7. B   8. A  9.5   10. ；   11. 3   12.    13.解：（Ⅰ） 由 消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣y﹣6=0．
又由ρ=6cosθ得ρ2=6ρcosθ，
由 得曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x=0．
（Ⅱ） 过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1的参数方程为
将其代入x2+y2﹣6x=0得 ，
则 ，知t1＞0，t2＞0，
所以    证明：（1）取A1B的中点O，连接OE，OC，则OE平行且等于BB1  ， ∵F为CC1的中点，∴CF平行且等于CC1  ， ∴OE平行且等于CF，∴四边形OECF是平行四边形，∴EF∥OC，∵EF⊄平面A1BC，OC⊂平面A1BC，∴EF∥平面A1BC；（2）解：△A1BC1中，A1B=A1C1=  ， BC1=  ， ∴面积为xx= ． 设D1到平面A1BC1的距离为h，则×h=xx2x1x2∴h=． 即D1到平面A1BC1的距离为 ． 15. （1）证明：因为 平面 ， 面 ，所以 .   因为 是正方形，所以 又 ， 面 ， 面 ，故 平面
（2）解：因为 两两垂直，建立空间直角坐标系 如图所示.   因为 平面 ，且 与平面 所成角为 ，即 ，所以 ，由已知 ，可得 ， .则 ， ， ， ， ，所以 ， .设平面 的法向量为 ，则 ，即 .令 ，则 因为 平面 ，所以 为平面 的法向量， .所以 .因为二面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 .16.（1）证明：因为 ， 是边长为4的等边三角形，   所以 ，所以 是等腰直角三角形， ．又点 为 的中点，所以 ．因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ．因为 ， ，所以 ， ，所以 与 都是直角三角形，故 ， ．又 ，所以 平面 ，所以 ．因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．（2）解：连接 ，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，   则 ， ， ， ，设存在 ，使得二面角 为直二面角，易知 ，且 ．设平面 的法向量为 ，则由 ， ，得 ，令 ，得 ， ，故 ．设平面 的法向量为 ，则由 ， ，得 ，令 ，得 ， ，故 ．由 ，得 ，故 ．所以当 为线段 上靠近点 的八等分点时，二面角 为直二面角．