人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用习题

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1.4  空间向量的应用(精练)【题组一 求平面的法向量】1．(2021·福建)如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．(1)求平面的一个法向量；(2)求平面的一个法向量．     2．(2021·全国高二课时练习)已知，，.(1)求平面的一个法向量；(2)证明:向量与平面平行.       3．(2021·浙江)如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.(1)求平面ABCD的一个法向量；(2)求平面SAB的一个法向量；(3)求平面SCD的一个法向量.        【题组二 利用空间向量证空间位置】1．(2021·青海)若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是(    )A． B． C． D． 2．(2021·浙江高二单元测试)若平面，则下面可以是这两个平面法向量的是(    )A．  B．C．  D． 3．(2021·上海)(多选)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(    )A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．直线的方向向量，平面的法向量是，则C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 4．(2021·莆田第十五中学高二期末)如图所示，垂直于正方形所在的平面，，与平面所成角是，是的中点，是的中点.求证：平面.             5．(2021·西藏)如图，在长方体中，，，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面平面．    6．(2021·全国高二课时练习)如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，．求证：平面平面PQR．      7．(2021·安徽)如图，在长方体中，，，E是CD的中点．求证：平面．      8．(2021·湖南)如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面．     【题组三 利用空间向量求空间角】1．(2021·浙江)如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点．(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．    2．(2021·湖南高三其他模拟)如图，在三棱锥中，与是全等的等边三角形，且平面平面.(1)证明：；(2)求与平面所成角的正弦值3．(2021·浙江高二期末)在等腰梯形中，，，，E为中点，将沿着折起，点C变成点P，此时．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．    4．(2021·浙江高二期末)如图，在四棱锥中，平面，，，底面为直角梯形，，，．(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．     5．(2021·北京高三其他模拟)如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，，，，，，，平面与平面交于.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若，求二面角余弦值.      【题组四 利用空间向量求空间距离】1．(2021·山东)如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E为棱AA1的中点，AB＝1，AA1＝2．(1)求点B到平面B1C1E的距离；(2)求二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值．2．(2021·云南民族大学附属中学)如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.    3．(2021·上海市控江中学)如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧AB的中点.(1)求异面直线PA1与BC所成的角的余弦值；(2)求点B1到平面PAC的距离.  4．(2021·四川凉山彝族自治州)如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直且长度分别为1，2，2，，．(1)若中点为，证明：平面；(2)求点到平面的距离．                 5．(2021·吉林吉林市)如图，在三棱柱中，侧棱底面是中点，是中点，是与的交点，点在线段上.(1)求证：平面(2)若二面角的余弦值是，求点到平面的距离               【题组五 求参数】1．(2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学)已知正四棱柱中，，．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．           2．(2021·正阳县高级中学)如图，三棱柱中，，，．(1)求证：为等腰三角形；(2)若，，点在线段上，设，若二面角的余弦值为，求的值．                 3．(2021·四川成都市·石室中学)如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，.(1)证明：平面；(2)已知，点是棱上的点，满足，若二面角的余弦值为，求的值.                4．(2021·江苏南京市·高三二模)如图，已知斜三棱柱，，，的中点为.且面，.(1)求证：；(2)在线段上找一点，使得直线与平面所成角的正弦值为.                 5．(2021·江苏南通市)《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上.(1)若P为的中点，求证：平面.(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.