初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.2 三角形全等的判定优秀随堂练习题

专题12.2.2 三角形全等的判定2（SAS）

1. 经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“SAS”条件判定两个三角形全等；

2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法.

3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.

知识点01三角形全等的判定2：（SAS）

知识点

三角形全等的判定2：边角边（SAS）

文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；

图形：    

符号：在与中，

【微点拨】

“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．

1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.

2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．

【知识拓展1】边角边判定三角形全等的条件

例1．（2022·山东济南·七年级期中）如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ABC≌△BAD，则还需添加的一个条件是（            ）

A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AO＝BO D．AC＝BD

【即学即练】

1．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图，在和中，，补充一个条件后，能直接应用“SAS”判定的是（       ）

A． B． C． D．

【知识拓展2】利用SAS判定三角形全等（实际应用）

例2．（2022·辽宁丹东·七年级期末）如图，桌面上放置一个等腰直角△ABC，直角顶点C顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为和，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE的长度为______．

【即学即练】

2.（2022·河南郑州·七年级期末）在学习“利用三角形全等测距离”之后，七一班数学实践活动中，张老师让同学们测量池塘A，B之间的距离（无法直接测量）

小颖设计的方案是：先过点A作的垂线，在上顺次截取，使，然后过点D作，连接并延长交于点E，则的长度即为的长度．(1)小颖的作法你同意吗？并说明理由；(2)如果利用全等三角形去解决这个问题，请你设计一个与小颖全等依据不同的方案，并画出图形．

【知识拓展3】利用SAS证明三角形全等（求线段的长度）

例3．（2021•洪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（　　）

A．8 B．7 C．6 D．5

即学即练3】

3．（2022·浙江台州·八年级期末）已知：如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF；(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若点E为BC中点，EC＝6，求线段BF的长度．

【知识拓展4】利用SAS证明三角形全等（求角的度数）

例4．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，已知三个内角的角平分线相交于点，点在的延长线上，且，连接，若，则的度数为______．

【即学即练4】

4．（2022·山东济南·七年级期中）如图，点B、C、E、F在同一直线上，点A、D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．

(1)△ABE和△DCF全等吗？请说明理由；(2)若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠CFD的度数．

【知识拓展5】利用SAS证明三角形全等（证明类）

例5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．求证：(1)AP＝AQ；(2)AP⊥AQ．

【即学即练5】

5．（2021•沙坪坝区校级期中）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，过B点作BD⊥AC于D，E在CD上，且DE＝AB，过点D作DF∥BC，使得DF＝BD，连接EF．

求证：（1）∠ABD＝∠C；（2）DF⊥EF．

考法01  利用SAS证明三角形全等（探究类）

【典例1】（2021·河南平顶山市·八年级期中）在中，，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．

（1）如图1，如果点是边上任意一点，线段和线段的数量关系是          ；

（2）如图2，如果点为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）．

变式1．（2021·安徽宿州市·七年级期末）如图，在和中，，为锐角，，，连接、，与交于点，与交于点．

（1）与全等吗？为什么？（2）与有何特殊的位置关系，并说明理由．

变式2（2022·全国·八年级课时练习）如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接．

（1）探究、、之间的关系，并说明理由；（2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由．

考法02  动态问题

【典例2】（2022·辽宁沈阳·七年级期末）如图（1），AB=10，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=7，点P在线段AB上以每秒3个单位长度的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒．

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1秒时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；

(2)在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并说明理由；

(3)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=70°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为x个单位长度/秒，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，直接写出相应的x的值；若不存在，请说明理由．

变式1．（2021·广东·肇庆市颂德学校八年级期中）如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t＜3）．

(1)用含t的代数式表示PC的长度．

(2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

(3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

题组A  基础过关练

1．（2022·江苏·八年级专题练习）下列选项可用SAS证明△ABC≌△A′B′C′的是（     ）

A．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′ B．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′

C．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′ D．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′

2.（2022•栾城区校级期末）如图，在△ABC中，D，E是BC边上的两点，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（　　）

A．50° B．60° C．40° D．20°

3．（2022·广东深圳·七年级期末）如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使，然后在BC的延长线上确定D，使，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（       ）

A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS

4．（2022·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是边BC的中线，那么AD的取值范围是（　　）

A．0＜AD＜12 B．2＜AD＜12 C．0＜AD＜6 D．1＜AD＜6

5．（2022·全国·八年级单元测试）如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF的度数是（       ）

A．60° B．65° C．70° D．75°

6．（2021·上海市松江区九亭中学初一期中）如图，在与中，有以下四个等式①；②；③；④，请以其中三个等式作条件，余下一个作结论，写出所有的正确判断 ___________________________（用形式表示）

7．（2021•温岭市八年级期中）某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出CB的长度；如果不能，请说明理由．

．（2022·福建·厦门五缘实验学校八年级期末）命题：如图，已知，共线，（1），那么．

(1)从①和②两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为_______（填序号）；

(2)根据你选择的条件，判定的方法是________；

(3)根据你选择的条件，完成的证明．

9．（2022•鼓楼区校级期中）如图，已知AB＝CD，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE，连接BC，求证：∠ABE＝∠D．

10．（2021·北京房山·九年级期中）已知：如图，△ABC中，∠ABC＝70°，点D，E分别在AB，AC上，BD＝BC，连接BE，将线段BE绕点B按逆时针方向旋转70°得到线段BF，连接DF．求证：△BCE≌△BDF．

题组B  能力提升练

1. （2022•弋江区八年级期末）如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长可能是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝40°；④AD＝AC，正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．（2021·山东德州·八年级期中）如图所示，，，，，，则（       ）

A． B． C． D．无法计算

4．（2022·重庆一中七年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝110°，延长BC至点D使CD＝AB，过点C作CE∥AB且使CE＝BC，连接DE并延长DE交AC于点F，交AB于点H．若∠D＝20°，则∠CFE的度数为______度．

5．（2022·安徽池州·八年级期末）如图，与中，，，，交于D．给出下列结论：

①；②；③；④．

其中正确的结论是__________（填写所有正确结论的序号）．

6．（2022·全国·八年级单元测试）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积．同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为______．

7．（2022·江苏泰州·七年级期末）如图，，，，．

(1)求证：．(2)图中、有怎样的关系？试证明你的结论．

8．（2021·湖北宜昌·八年级期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等．

这两种方法统称截长补短法．

请用这两种方法分别解决下列问题：

已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC

9. （2022•大连月考）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：

甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可；

乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．

甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．

题组C  培优拔尖练

1．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D为AC上的点，连接BD，点E在△ABC外，连接AE，BE，使得CD＝BE，∠ABE＝∠C，过点B作BF⊥AC交AC点F，若∠BAE＝21°，∠C＝28°，则∠FBD＝（       ）

A．49° B．59° C．41° D．51°

2．（2022·黑龙江·集贤县八年级期中）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②和面积相等；③；④．其中正确的有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．（2022·重庆·八年级课时练习）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，连接MN，已知MN＝4，则BD＝_________．

4．（2022·山东济南·七年级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，∠EDF＝45°，当AE＝a，CF＝b时，EF＝_______（用含a、b的式子表示）．

5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．

求证：CF＝FG+CE．

6．（2022·全国·八年级专题练习）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．

(1)如图1，若∠DAB＝60°，则∠AFG＝　     　；

(2)如图2，若∠DAB＝90°，则∠AFG＝       　；

(3)如图3，若∠DAB＝，试探究∠AFG与的数量关系，并给予证明．

7．（2022·辽宁丹东·七年级期末）如图在△ABC和△CDE中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，连接AD，BE交于点M．

(1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB=∠DCE=45°时，可以得到图中的一对全等三角形，即____________；(2)当点D不在直线BC上时，如图2位置，且∠ACB=∠DCE=α．

①试说明AD=BE；②直接写出∠EMD的大小（用含α的代数式表示）．

8．（2022·河南·八年级模拟预测）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．某同学做了如下探究，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应该是______．

（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出正确的结论，并说明理由．

（3）如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．