初中数学人教版八年级上册第十五章 分式15.1 分式15.1.1 从分数到分式精品练习题

专训15.1.1 分式有（无）意义+值为0+规律

一、单选题

1．（2021·湖南·衡南县北斗星中学八年级期中）若有意义，则（    ）

A．无意义 B．有意义

C．值为0 D．以上答案都不对

【答案】D

【分析】

先根据有意义确定，再分别取和，即可判断A、B、C选项不准确，即可求解．

【详解】

解：由题意得，，解得，

当时，有意义，值为6，故A、C选项错误，不合题意；

当时，无意义，故B选项错误，不合题意．

故选：D

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件和分式的值，根据题意确定a的取值范围是接解题的关键．

2．（2021·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）如果分式有意义，那么的取值范围是　（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据分母不为0则分式有意义，列式进行计算即可．

【详解】

解：∵分式有意义，

∴，

∴；

故选：C．

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件进行解题．

3．（2021·河南淇县·八年级期中）当分式有意义时，的取值应满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

直接利用分式有意义则分母不等于零，即可得出答案．

【详解】

解：要使分式有意义，

则x-3≠0，

解得：x≠3．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．

4．（2021·河北联邦国际学校八年级月考）若分式有意义，则x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x-1≠0，解得x的范围．

【详解】

解：根据题意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故选A．

【点睛】

本题考查分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0．

5．（2021·湖南永兴·八年级月考）若分式有意义，则a的取值范围是（     ）

A．a=0 B．a= -1 C．a≠﹣1 D．a≠0

【答案】C

【分析】

根据分式有意义的条件列出不等式，即可求得a的取值范围．

【详解】

分式有意义，

,

．

故选C．

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．

6．（2021·辽宁和平·八年级期末）若分式无意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x≠﹣1 D．x≠1且x≠﹣1

【答案】B

【分析】

根据分式无意义的条件列出关于的等式，求出的取值范围即可．

【详解】

解：∵分式无意义

∴，解得

故选B

【点睛】

本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．

7．（2021·江西·南昌市心远中学八年级期末）关于分式，下列说法不正确的是（  ）

A．当时，分式没有意义 B．当时，分式的值为正数

C．当时，分式的值为负数 D．当时，分式的值为零

【答案】C

【分析】

此题可化转化为分别求当分式等于0、大于0、小于0、无意义时的x的取值范围，分别计算即可求得解．

【详解】

解：A、当时，分母为0，分式没有意义；正确，但不符合题意．

B、当时，分式的值为正数；正确，但不符合题意．

C、当且 时，分式的值为负数；原说法错误，符合题意．

D、当时，分式的值为0；正确，但不符合题意．

故选C.

【点睛】

本题主要考查分式的性质的运用，注意分式中分母不为0的隐性条件．

8．（2021·湖南·衡南县北斗星中学八年级期中）要使分式的值为0，只须（    ）

A．x＝±3 B．x＝3

C．x＝－3 D．以上答案都不对

【答案】C

【分析】

根据题意得到且，根据求出，再代入进行检验即可求解．

【详解】

解：依题意得：且，

∵，

∴，

当时，，不合题意；

当时，，符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查分式的值为0的条件，一般情况下，若分式的值为0，则分子为0，并且分母不等于0．

9．（2021·湖南·汨罗市弼时镇弼时初级中学八年级期中）若分式的值为0，则x的值为（    ）

A．1 B．－1 C．±1 D．2

【答案】A

【分析】

根据分式的值为零，分母不为零为依据列式计算即可．

【详解】

∵分式的值为0，

∴=0，且x+1≠0，

∴x=1，

故选A．

【点睛】

本题考查了分式的值为0，分母有意义的条件，熟练掌握两个条件是解题的关键．

10．（2021·浙江南浔·七年级期末）已知（且），，，……，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数一个循环，进而可得则a2021等于a2的值．

【详解】

解：由于a1=x+1（x≠0或x≠-1），

所以， ，

因为2021÷3=673，

所以a2021=．

故选：D．

【点睛】

本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．

11．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级月考）若，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，的“友好数”是，已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”，……，依此类推，则（       ）

A．3 B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据题目中的数据，可以写出前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出 的值．

【详解】

，则称为a的“友好数”，，

该数列每4个数为一个循环周期，

故选：A．

【点睛】

本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数据．

12．（2021·浙江浙江·七年级期中）给定下面一列分式：，，，……，（其中）根据你发现的规律，其中第7个分式应是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据已知分式知，分子的指数是3，5，7，9…是连续奇数，分母的指数是大于0的自然数，奇数项的符号是正号．

【详解】

解：第奇数个式子是正数，偶数个是负数，

分母是第几个式子就是y的几次方；

分子是第几个式子就是x的（第几×2+1）次方．

所以第七个分式是．

故选：D．

【点睛】

本题考查了分式的定义．注意观察每一个分式的分子、分母的变化，然后找出变化规律．

二、多选题

13．（2021·全国·八年级专题练习）下列各式中，当x取某一值时没有意义的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】

根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：A、当x=-即2x+1=0时，分式无意义，故本选项符合题意；

B、当x=-即2x+1=0时，分式无意义，故本选项符合题意；

C、当x=0即=0时，分式无意义，故本选项符合题意；

D、无论x取何值，2x2+1≥1，分式都有意义，故本选项不符合题意；

故选：ABC．

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零．

14．（2021·全国·八年级专题练习）下列各式中，无论x取何值，分式都没有意义的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】

根据分式有意义的条件分析四个选项哪个方式分母不为零，进而可得答案．

【详解】

A、 ， ，则，无论 取何值，分式都有意义，故此选项正确；

B、当时，分式分母=0，分式无意义，故此选项错误；

C、当时，分式分母=0，分式无意义，故此选项错误；

D、当时，分式分母=0，分式无意义，故此选项错误．

故选BCD．

【点睛】

此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．

三、填空题

15．（2021·湖南·衡南县北斗星中学八年级期中）分式有意义的条件是______．

【答案】，

【分析】

根据分式有意义的条件可得分母不等于零，解不等式可得结果．

【详解】

解：由题意得，，，

解得，，，故答案为：，．

【点睛】

本题主要考查了分式有意义的条件，关键是熟练掌握分式有意义的条件．

16．（2021·江苏丹阳·八年级期末）若分式无意义，则x满足的条件为 ___．

【答案】

【分析】

根据分式无意义，分母等于0，列出等式，即可求解．

【详解】

解：∵分式无意义，

∴x+3=0，

∴x=-3，

故答案是：x=-3

【点睛】

本题主要考查分式无意义的条件，熟练掌握分式的分母等于0时分式无意义是解题的关键．

17．（2021·全国·八年级课时练习）当________时，分式没有意义；当________时，分式无意义；

【答案】    3或-2   

【分析】

按照如下规则求解即可：分式没有意义的条件是分母为零．

【详解】

解：当3x-1=0即x=时，分式没有意义；

当(x-3)(x+2)=0即x=3或-2时，分式没有意义；

故答案为：；3或-2．

【点睛】

本题考查了分式没有意义的条件，分式没有意义的条件是分母为零．

18．（2021·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）当x_______时，分式的值为零．

【答案】= 3

【分析】

根据分母为0是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．

【详解】

解：根据题意，

∵分式的值为零，

∴，

∴；

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是分式为0的条件、分式有意义的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．

19．（2021·北京昌平·八年级期中）如果分式的值为0，那么x的值为 ___．

【答案】

【分析】

根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案．

【详解】

解：分式的值为0，

，且，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了分式为条件，分式的分子为，分母不为是解题的关键．

20．（2021·四川恩阳·一模）观察：，则________．

【答案】

【分析】

先计算得到a1、a2、a3、a4的值，得到变化规律，根据规律求解即可．

【详解】

解：，

，

，

，

观察发现，每三个一循环，

，

即第674轮的第一个，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．

21．（2021·全国·八年级课时练习）观察下列各等式：，-，，-，......，猜想第八个分式__．

【答案】

【分析】

通过观察找出规律即可，第n个分式可表示为．

【详解】

解：当n=8时，求得分式为：

所以答案为：．

【点睛】

本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是得出规律．

22．（2021·全国·九年级专题练习）观察下面一列分式：，…，根据你发现的规律写出第8个分式：___．

【答案】

【分析】

根据已知分式的分子与分母的系数都是1，再找出分子的次数是从3开始的连续奇数，分母是由1开始的连续的整数，即可得出结论．

【详解】

解：∵，…，

∴第8个分式是．

故答案是：．

【点睛】

本题主要考查与分式有关的规律，找到规律是解题的关键．

23．（2021·全国·九年级专题练习）观察给定的分式，探索规律：

（1），，，，…其中第6个分式是__________；

（2），，，，…其中第6个分式是__________；

（3），，，，…其中第n个分式是__________（n为正整数）．

【答案】           

【分析】

（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x6

（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x12，分母是 y11,

（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个分式的符号是（-1）n, 分子是b3n-1，分母是 an,

【详解】

解：（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是，

（2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是，

（3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个符号为（-1）n，所以，第六个分式是

【点睛】

本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键

24．（2020·青海·海东市教育研究室八年级期末）给定一列分式：，，，，…根据你发现的规律，试写出第6个分式为__________．第n（n为正整数）个分式为__________．

【答案】       

【分析】

根据“分式分子及分母对应的底数及其指数的数字规律以及符号的规律”即可得出第6个分式和第n个分式．

【详解】

解：观察分式，，，，…，可以得出

分子得底数为x指数为序数的2倍加1，分母的底数为y指数等于序数，当序数为偶数时符号为负，序数为奇数时符号为正，即符号为，

故第6个分式为，第n（n为正整数）个分式为：．

故答案为：，．

【点睛】

本题考查了分式的定义，探索与表达规律．注意观察每一个分式的分子、分母以及符号的变化，然后找出的规律．

25．（2020·山东·东平县江河国际实验学校八年级月考）已知y1＝2x，y2＝，y3＝，…，y2006＝，则y1•y2006的值为______．

【答案】2

【分析】

求出y1＝2x代入y2＝，得y2＝，同样得出y3＝2x，…，找出规律即可求出y2006的值，进而得出结果．

【详解】

先把y1＝2x代入y2＝，得y2＝，同样得出y3＝2x，…，得出规律当为奇数时值为2x，当为偶数是值为，所以y2006＝，

所以y1•y2006＝2x•＝2，

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了分式的化简和数字类的规律问题，熟练进行分式化简是关键．

四、解答题

26．（2021·全国·八年级课时练习）分式的值为零时，实数a，b应满足什么条件？

【答案】，且

【分析】

根据分式的值为零可以得到且，求解即可．

【详解】

解：由题意得

∴且

解得：且

∴实数a、b应满足，且

【点睛】

此题考查了分式值为零的条件，解题的关键是根据分式值为零得到分子为零，分母不为零．

27．（2021·安徽包河·一模）观察下列等式：

第1个等式：；

第2个等式： ；

第3个等式：；

第4个等式：；

…

根据你观察到的规律，解决下列问题：

（1）请写出第5个等式：_____________________；

（2）请写出第个等式：___________________________（用含的等式表示），并证明．

【答案】（1）；（2），理由见解析

【分析】

（1）根据规律写出第5个等式即可；

（2）依据（1）中的规律，将特殊转化为一半即可；

【详解】

解：（1）；

（2）；

证明：右边左边；

∴等式成立．

【点睛】

本题主要考查了数字找规律，准确计算是解题的关键．

28．（2020·上海市澧溪中学七年级月考）对于正数x，规定：．

例如：，，．

（1）填空：________；_______；_________；

（2）猜想：_________，并证明你的结论；

（3）求值：．

【答案】（1），，1；（2），证明见解析；（3）．

【分析】

（1）根据给出的规定计算即可；

（2）根据给出的规定证明；

（3）运用加法的交换律结合律，再根据规定的运算可求得结果．

【详解】

解：（1） =， =，,+=1，

（2），

理由为：

，

则．

（3）原式

．

【点睛】

本题考查的是分式的加减，根据题意找出规律是解答此题的关键．

29．（2020·安徽·阜南县中岗中学七年级月考）观察分析：

（1）写出第四个式子和第五个式子；

（2）写出第2017个式子和第n个式子；

（3）结合上式所反映的规律，计算

【答案】（1）；；（2）；；（3）．

【分析】

（1）根据前三个式子即可得；

（2）根据前三个式子归纳类推出一般规律，由此即可得出答案；

（3）结合（2）的结论，将式子中的各项进行拆分，再计算有理数的加减法即可得．

【详解】

（1）观察前三个式子得：第四个式子为，

第五个式子为；

（2）第一个式子为，

第二个式子为，

第三个式子为，

归纳类推得：第n个式子为，

则第2017个式子为；

（3），

，

，

．

【点睛】

本题考查了列分式的规律性问题、有理数的乘法与加减法，观察已知式子，正确归纳出一般规律是解题关键．

30．（2019·河南·洛阳市第二外国语学校七年级月考）先观察下列各式，再完成题后问题：

；；

（1）①写出：________

②请你猜想：________

（2）求的值；

（3）运用以上方法思考：求的值．

【答案】（1）①；②或；（2）；（3）

【分析】

（1）①直接根据已知将原式分成两分数的差即可；

②直接利用已知得出原式=连续两偶数差的一半；

（2）利用已知中规律将原式化简求出答案即可；

（3）首先提取，进而利用已知规律化简求出答案.

【详解】

解：（1）①；

故答案为：；

②

或；

故答案为：或；

（2）原式；

（3）

.

【点睛】

此题考查等式的规律计算，有理数的混合运算，根据已知得到等式的计算规律进而解决问题是解题的关键.