北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算综合与测试练习

阶段专项提分练一 

数轴的功能和绝对值的非负性

直观地表示有理数

【典例1】(2021·吉林期中)点A在数轴上的位置如图所示，则点A所表示的数可以是(　B　)

A．＋1    B．－1    C．0    D．＋1.5

【解析】∵点A在原点的左边，

∴点A在数轴上表示的数是负数．

【变式】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动6个单位长度，再向右移动4个单位长度，这时该点所对应的数是__－2__．

【解析】一个点从数轴上的原点开始，向左移动6个单位长度，

此时该点表示的数是－6，该点再向右移动4个单位长度，

此时该点表示的数是－2.

表示数轴上两点间的距离

【典例2】(2021·安庆期中)根据下面给出的数轴，解答下列问题：

(1)请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数；

(2)A，B两点之间的距离为________；若A点在数轴上表示的数为x1，B点在数轴上表示的数为x2，则A，B之间的距离为________(用含有x1，x2的式子表示)；

(3)若C点与A点相距a个单位长度(a＞0)，则C点所表示的数为________．

【解析】(1)A：2，B：－1.

(2)A，B两点之间的距离为2－(－1)＝3；

若A点在数轴上表示的数为x1，B点在数轴上表示的数为x2，则A，B之间的距离为|x1－x2|.

答案：3　|x1－x2|

(3)C点所表示的数为a＋2或2－a.

答案：a＋2或2－a

【变式1】点B，C在同一条数轴上，其中点B表示的数为－2，若BC＝4，则C点在数轴上的对应点是(　B　)

A．1或－5    B．2或－6    C．0或－4    D．4

【解析】当C点在B点右侧时，

∵BC＝4，

∴C点表示的数是2，

当C点在B点的左侧时，

∵BC＝4，

∴C点表示的数是－6.

【变式2】根据下面给出的数轴，解答下面的问题：

(1)请你根据图中A，B(在－2，－3的正中间)两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：__1__，B：__－2.5__；

(2)在数轴上画出与点A的距离为2的点(用不同于A，B，M，N的其他字母表示)，并写出这些点表示的数：__3，－1__；

(3)若经过折叠，A点与－3表示的点重合，则B点与数__0.5__表示的点重合；

(4)若数轴上M，N两点之间的距离为9(M在N的左侧)，且M，N两点经过(3)中折叠后重合，M，N两点表示的数分别是：M：__－5.5__，N：__3.5__．

【解析】(1)数轴上可以看出A点是1，B点是－2.5.

(2)利用与点A的距离为2的点有两个，即一个向左，一个向右；

∴这些点表示的数为：1－2＝－1，1＋2＝3.

(3)∵经过折叠，A点与－3表示的点重合，

∴A点和表示－3的点到表示－1的点的距离相等，那么B点到表示－1的点的距离是1.5，在表示－1的点的右边且到表示－1的点的距离是1.5的点表示的数是0.5，

∴B点与数0.5表示的点重合．

(4)∵数轴上M，N两点之间的距离为9(M在N的左侧)，

经过折叠，在数轴上到M，N两点距离相等的点表示的数是－1，且距离是4.5，

在－1的左侧点M表示的数是－5.5，在－1的右侧点N表示的数是3.5.

利用数轴比较有理数大小

【典例3】(2021·新乡质检)在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把它们连接起来．

－(－2.5)，－|－2|，|－4|，1，0，－(＋3)

【解析】－(－2.5)＝2.5，－|－2|＝－2，－(＋3)＝－3.

如图所示：

故－(＋3)＜－|－2|＜0＜1＜－(－2.5)＜|－4|.

【变式1】(2021·无锡期中)下列说法错误的是(　A　)

A．在数轴上表示的两个数，左边的数总比右边的数大

B．正数大于负数

C．正数都大于0

D．负数都小于0

【解析】A.在数轴上表示的两个数，左边的数总比右边的数小，原来的说法错误，符合题意；

B．正数大于负数的说法正确，不符合题意；

C．正数都大于0的说法正确，不符合题意；

D．负数都小于0的说法正确，不符合题意．

【变式2】(2021·哈尔滨期末)有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是(　B　)

A．a＜b＜0＜c    B．a＜c＜0＜b

C．b＜0＜a＜c    D．c＜a＜0＜b

【解析】数轴上所表示的数，右边总比左边的大，因此有a＜c＜0＜b.

【变式3】观察数轴解答下列问题：

(1)小于3的正整数有哪些？大于－5.4的负整数有哪些？

(2)大于－5而不大于5的整数有哪些？

(3)有理数中有没有最大的数，有没有最小的数，0是最小的有理数吗？

(4)下列说法是否正确？为什么？

a．在数轴上，与原点的距离越远的点表示的数越大；

b．在数轴上，原点及原点右边的点表示的都是正数．

【解析】(1)小于3的正整数有2，1；大于－5.4的负整数有－5，－4，－3，－2，－1.

(2)大于－5而不大于5的整数有－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5.

(3)有理数中没有最大的数，没有最小的数，0不是最小的有理数．

(4)a.在数轴上，与原点的距离越远的点表示的数的绝对值越大，故说法错误；

b．在数轴上，原点及原点右边的点表示的都是非负数，故说法错误．

绝对值的非负性

【典例4】红武发现：如果|x|＋|y|＝0，那么x＝y＝0.他的理由如下：

∵|x|≥0，|y|≥0，且|x|＋|y|＝0，

∴|x|＝0，|y|＝0，

∴x＝0，y＝0，

请根据红武的方法解决下面的问题：已知|m－4|＋|n|＝0，求m＋n的值并说明理由．

【解析】∵|m－4|＋|n|＝0，

∴|m－4|＝0，|n|＝0，

∴m＝4，n＝0，

故m＋n＝4.

【变式1】已知|a－1|＋|b－2|＋|c－3|＝0，求式子2a＋b＋c的值．

【解析】∵|a－1|＋|b－2|＋|c－3|＝0，

∴a＝1，b＝2，c＝3，

∴2a＋b＋c＝2×1＋2＋3＝7.

【变式2】式子12＋|a－3|，当a取何值时它的值最大；还是最小，是多少？

【解析】∵|a－3|≥0，

∴12＋|a－3|有最小值，

∴12＋|a－3|≥12，

∴当a等于3时，值最小，最小值是12.

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