【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件限时小练8　线面角

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限时小练8　线面角1.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值是(　　)A.   B.  C.   D.答案　A解析　以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 设AA1＝2AB＝2，则B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，C1(0，1，2).故＝(1，1，0)，＝(0，1，2)，＝(0，1，0)，设平面BDC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝－2，x＝2，所以n＝(2，－2，1).设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.故选A.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角的大小为________.答案　30°解析　如图所示，连接BC1交B1C于O点，连接A1O. 设正方体棱长为a.易证BC1⊥平面A1B1CD，∴A1O为A1B在面A1B1CD上的射影.∴∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.在Rt△A1BO中，A1B＝a，OB＝a，∴sin∠BA1O＝＝，∴∠BA1O＝30°，即A1B与平面A1B1CD所成角为30°.3.如图，已知多面体ABCA1B1C1中，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2. (1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.(1)证明　如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：A(0，－，0)，B(1，0，0)，A1(0，－，4)，B1(1，0，2)，C1(0，，1).因此＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0，2，－3).由·＝1＋3－4＝0得AB1⊥A1B1.由·＝0＋×2－6＝0得AB1⊥A1C1.又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1⊂平面A1B1C1，所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)解　设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.由(1)可知＝(0，2，1)，＝(1，，0)，＝(0，0，2).设平面ABB1的一个法向量为n＝(x，y，z).由即可取n＝(－，1，0).所以sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.