【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件限时小练32　抛物线的几何性质

限时小练32　抛物线的几何性质

1.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)

A.x＝1   B.x＝－1

C.x＝2   D.x＝－2

答案　B

解析　抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.

2.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1，0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.

答案　2

解析　如图，由AB的斜率为，知α＝60°，

又＝，∴M为AB的中点.

过点B作BP垂直准线l于点P，

则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°.

∴＝＝.

∴M为焦点，即＝1，∴p＝2.

3.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程.

解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.

故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).

设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).

∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，

∴点A与B关于x轴对称，∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，

∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，得x2＋3＝4，∴x＝±1，

∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，得()2＝±a，

∴a＝±3.

∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.