【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件限时小练34　空间中的距离问题

限时小练34　空间中的距离问题

1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝a，|AA1|＝2a，则点D1到直线AC的距离为(　　)

A.a   B. 

C.   D.

答案　D

解析　如图建立空间直角坐标系，

易得C(a，a，0)，D1(0，a，2a)，

取a＝1＝(－a，0，2a)，

u＝＝，则点D1到直线AC的距离为＝＝a.

2.如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________.

答案　

解析　取AB的中点O，连接OE.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz(其中z轴平行于BC)，

则A(0，－1，0)，E(1，0，0)，D(0，－1，2)，

C(0，1，2)，＝(0，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，2).

设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，

则

即

令y＝1，∴n＝(－1，1，－1).故点D到平面ACE的距离d＝＝＝.

3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，|AB|＝，|BC|＝1，|PA|＝2，E为PD的中点.

(1)求异面直线AC与PB间的夹角的余弦值；

(2)在侧面PAB找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出点N到直线AC的距离.

解　(1)分别以A为原点，AB，AD，AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系.可得

B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E，从而＝(，1，0)，＝(，0，－2)，设与的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，所以异面直线AC与PB间的夹角的余弦值为.

(2)由于N点在平面PAB中，故设其坐标为N(x，0，z).则＝，＝(0，0，2)，＝(，1，0)，由NE⊥平面PAC得

解得即N，所以＝，＝(，1，0)，·＝，||＝2，||2＝，故点N到直线AC的距离d＝＝＝.