初中数学2.5 全等三角形教学设计

2.5 全等三角形

第6课时

教学目标

1.掌握全等三角形的性质与判定定理；

2.熟练应用全等三角形的判定定理解决问题.

教学重难点

【教学重点】

掌握全等三角形的性质与判定定理。

【教学难点】

应用全等三角形的判定定理解决问题。

课前准备

无

教学过程

一、情境导入

1．判定三角形全等的四种方法：SAS，ASA，AAS，SSS.

2．怎样选择合适的方法解题呢？

二、合作探究

探究点一：对两个三角形全等条件的再认识

【类型一】 条件开放

例1 如图，∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，要使△ABC≌△EBD，则需要补充的条件为____________(填一个即可)．

解析：需要补充的条件为BC＝BD或∠A＝∠E或∠C＝∠D.

(1)补充的条件为BC＝BD，

∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，

又有BC＝BD，

∴△ABC≌△EBD(SAS)．

(2)补充的条件为∠A＝∠E，

∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，又有∠A＝∠E，

∴△ABC≌△EBD(ASA)．

(3)补充的条件为∠C＝∠D，

∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，

又有∠C＝∠D，∴△ABC≌△EBD(AAS)．

故填BC＝BD或∠A＝∠E或∠C＝∠D.

方法总结：①已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用AAS或ASA判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用SAS判定全等．若添加另一边即这个角的对边，符合SSA的情形，不能判定三角形全等．②添加条件时，应结合判定全等的四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS，注意不能是SSA的情形．

【类型二】 结论开放

例2 如图，点F在BC上，AB＝AE，AC＝AF，∠EAB＝∠CAF，请你任意写出一个正确结论：______________．

解析：由∠EAB＝∠CAF可得∠EAF＝∠CAB，又AB＝AE，AC＝AF，所以△ABC≌△AEF(SAS)，所以CB＝FE，∠E＝∠B，∠AFE＝∠C.故可以填：△ABC≌△AEF或CB＝FE或∠E＝∠B或∠AFE＝∠C.

方法总结：对于结论开放题，应先结合已知条件和图形进行推理，得出各种结论，任选其中之一即可．

【类型三】 条件结论都开放

例3 如图，△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF.

(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题(用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③)；

(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．

解析：(1)本题主要考查全等三角形的判定，能不能成立，就看作为条件的关系式能不能证明△ADF≌△BCE，从而得到结论；

(2)对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到∠AFD＝∠BEC，因为AD＝BC，∠A＝∠B，利用AAS判定△ADF≌△BCE，得到DF＝CE，即得到DE＝CF.

解：(1)如果①、③，那么②；如果②、③，那么①.

(2)对于“如果①、③，那么②”证明如下：

∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC.

又∵AD＝BC，∠A＝∠B，∴△ADF≌△BCE.

∴DF＝CE.∴DF－EF＝CE－EF即DE＝CF.

对于“如果②、③，那么①”证明如下：

∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC.

∵DE＝CF，∴DE＋EF＝CF＋EF即DF＝CE.

∵∠A＝∠B，∴△ADF≌△BCE.

∴AD＝BC.

方法总结：对于条件结论都开放的题目，结合图形，从中选取的条件要能使结论成立．

探究点二：灵活选用合适方法证明三角形全等

例4 如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O.

求证：(1)△ABC≌△AED；

(2)OB＝OE.

解析：(1)由∠BAD＝∠EAC可知∠BAC＝∠EAD，所以由，可证△ABC≌△AED(SAS)；

(2)由(1)知∠ABC＝∠AED，AB＝AE可知∠ABE＝∠AEB，所以∠OBE＝∠OEB，则OB＝OE.

证明：(1)∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC，即∠BAC＝∠EAD.

在△ABC和△AED中，

，

∴△ABC≌△AED(SAS)．

(2)由(1)知∠ABC＝∠AED，

∵AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB.∴∠ABE－∠ABC＝∠AEB－∠AED，即∠OBE＝∠OEB.∴OB＝OE.

探究点三：添加辅助线证明三角形全等

例5 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.

求证：(1)△BFC≌△DFC；

(2)AD＝DE.

解析：(1)由CF平分∠BCD可知∠BCF＝∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC.

(2)连接BD，要证明AD＝DE，证明△BAD≌△BED则可．由于BD＝BD，所以只需另外证明两组角对应相等即可．

证明：(1)∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF＝∠DCF.

在△BFC和△DFC中，，

∴△BFC≌△DFC.

(2)连接BD.∵△BFC≌△DFC，

∴BF＝DF，∴∠FBD＝∠FDB.

∵DF∥AB，∴∠ABD＝∠FDB.∴∠ABD＝∠FBD.

∵AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC.

∵BC＝DC，∴∠DBC＝∠BDC.∴∠BDA＝∠BDC.

又∵BD＝BD，∴△BAD≌△BED.∴AD＝DE.

方法总结：证明全等三角形中常见辅助线的作法：①连接两点；②倍长中线；③过一点作已知直线的平行线；④过一点作已知直线的垂线．

探究点四：多次运用三角形全等的判定

例6 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．

解析：要证BE＝DE，先证△ADC≌△ABC(SSS)，得到∠DAE＝∠BAE，再证△ADE≌△ABE(SAS)即可．

解：相等．

理由如下：

在△ABC和△ADC中，

AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，

∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE，

在△ADE和△ABE中，

AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，

∴△ADE≌△ABE(SAS)，∴BE＝DE.

方法总结：把要证明的边相等或角相等，转化为证明它们所在的三角形全等．如果两个三角形全等的条件不具备，可通过两次或多次三角形全等得出．

探究点五：全等三角形判定的实际应用

例7 如图，A、B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC＝CD，过D点作DE⊥BF，使E、C、A在一条直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请说明理由．

解：∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD，∠B＝∠EDC＝90°，

∴△ACB≌△ECD，

∴AB＝DE.∴DE的长就是A、B之间的距离．

方法总结：本题考查全等三角形的应用，关键是通过证明三角形全等，得到线段相等，从而得出结论成立．

三、板书设计

判定三角形全等的思路：

四、教学反思

本节课学习了全等三角形四种判定方法的灵活运用，让学生积极主动地去练习，学会分析已知什么，要证明什么，还需要什么条件，同时还要善于从图形中发现隐含的条件：公共边、公共角、对顶角、邻补角等．