高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.2 指数函数精品教案

4.2.1 指数函数的概念

【素养目标】

1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．(数学抽象)

2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说出指数函数的性质．(直观想象)

3．掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较幂的大小．(逻辑推理)

4．通过本节学习，进一步体会图象是研究函数的重要工具，能运用指数函数的图象研究一些实际问题．(数学运算)

【学法解读】

指数函数的学习，学生应掌握指数函数的运算法则和变化规律，运用信息技术学习、探索和解决问题．例如，利用计算器、计算机画出指数函数的图象，探索、比较它的变化规律，并研究指数函数的性质．

必备知识·探新知

基础知识

知识点一指数函数

函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是_____.

思考1：(1)为什么指数函数的底数，且?

(2)指数函数的解析式有什么特征？

提示：（1）①如果，当时，恒于，没有研究的必要；

当时，意义.

②如果，例如，这时对于，，，该函数意义.

③如果，则是一个常量，没有研究的价值.

为了避免上述各种情况，所以规定，且.

（2）①，且；②的系数为；③自变量的系数为.

知识点二指数型函数模型

形如(，且；且)的函数是指数型函数模型．

思考2：设原有量为，每次的增长量为，经过次增长，该量增长到，则，之间满足的关系式是什么？

提示：（）．

基础自测

1．下列函数中一定是指数函数的是(　C　)

A．　　　　　　 B．

C． D．

[解析]只有符合指数函数的概念，A，B，D选项中函数都不符合（，且）的形式.

2．按复利计算利率的储蓄，存入银行万元，如果年息，年后支取，本利和为人民币(　B　)

A．万元 B．万元

C．万元 D．万元

3．若函数是指数函数，且，则.

[解析]设（且），由得，∴或（舍去）.

∴.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一指数函数的概念

例1(1)下列以为自变量的函数中，是指数函数的是(　B　)

A．　　　　 B．

C． D． (，)

(2)若是指数函数，则有(　C　)

A．或       B．

C．        D．且

[分析]　利用指数函数的定义进行判断．

[解析]（1）函数的底数，故A中函数不是指数函数；函数的系数为，底数，故B中函数是指数函数；函数的系数为，故C中函数不是指数函数；函数的系数为，故D中函数不是指数函数，故选B.

（2）由题意，得，解得，故选C.

[归纳提升]判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合（，）这一结构形式.

[对点练习]➊下列函数中是指数函数的是（D  ）

A. B.

C.D.

[解析]由指数函数定义可知，函数是指数函数，故选D.

题型二指数函数解析式

例2（1）指数函数的图象经过点，则.

（2）指数函数的图象经过点，那么.

[解析]（1）设（且），则，∴.

（2）设（且），则，∴，∴，∴.

[归纳提升]　求指数函数解析式的步骤

(1)设指数函数的解析式为（且）．

(2)利用已知条件求底数.

(3)写出指数函数的解析式．

[对点练习]②（1）若点在函数的图象上，则的值为（A ）

A.B.

C.D.

（2）若指数函数的图象经过点，则.

题型三指数型函数的实际应用

角度1　增长型指数函数模型

例3随着我国经济的不断发展，年年底某偏远地区农民人均年收入为元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年的平均增长率增长，那么年年底该地区的农民人均年收入为(　　)

A．元 B．元

C．元 D．元

[解析]由题意知，年底该地区农民人均收入为，故选B.

角度2　衰减型指数函数模型

例4调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过，如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时的速度减少，则他至少要经过________________小时后才可以驾驶机动车．(　B　)

A．  B．

C．  D．

[解析]设小时后才可以驾车，据题意得，∴，∴，即至少要经过小时后才可以驾驶机动车，故选B.

[归纳提升]关于指数型函数模型

设原有量为，每次的增长（衰减）率为，经过次增长（衰减），该量增长到，则（）.

【对点练习】③ 已知某种产品的生产成本每年降低.若该产品年底的生产成本为元/件，那么年底的生产成本为________元/件．

[解析]　年底生产成本元．