数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词优秀教学设计

1.5.1  全称量词与存在量词

课程目标

1.理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.

2.了解全称量词命题、存在量词命题的概念，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.

数学学科素养

1.数学抽象：全称量词命题、存在量词命题的理解；

2.逻辑推理：通过实例得出全称量词命题、存在量词命题含义；

3.数学运算：关于命题真假的判断；

4.数学建模：通过对全称量词命题、存在量词命题概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.

重点：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词，能够用全称量词表示全称量词命题，用存在量词表示存在量词命题.

难点：全称量词命题与存在量词命题的真假判断.

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练.

教学工具：多媒体.

一、问题导入：

下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？

（1）是整数；

（2）；

（3）对所有的，；

（4）对任意一个，是整数.

（5）至少有一个，能被和整除；

（6）存在有一个，使.

要求：让学生自由发言，教师不做判断，而是引导学生进一步观察，研讨.

二、预习课本，引入新课

阅读课本24-26页，思考并完成以下问题

1.什么是全称量词？常见的全称量词有哪些？怎样表示全称量词命题？

2.什么是存在量词？常见的存在量词有哪些？怎样表示存在量词命题？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程.

三、新知探究，知识梳理

1.全称量词与全称命题

（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.

（2）含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.

（3）全称量词命题的表述形式：对中任意一个，有成立，可简记为：，，读作“对任意属于，有成立”，其中为给定的集合，是一个关于的命题.

（4）全称量词命题的真假判断：要判定全称量词命题“，”是真命题，需要对集合中每一个元素，证明成立；如果在集合中找到一个元素，使得不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.

2.存在量词与存在量词命题

（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.

（2）含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.

（3）存在量词命题的表述形式：存在中的元素，使成立，可简记为，，读作“存在中的元素，使成立”.

（4）存在量词命题的真假判断：要判定存在量词命题“，”是真命题，只需在集合中找到一个元素，使成立即可；如果在集合中，使成立的元素不存在，那么这个存在量词命题是假命题.

3.点拨：

（1）常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词，或者命题具有全称量词所表达的含义，就是全称量词命题.

（2）常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.只要含有这些量词，或者命题具有特称量词所表达的含义，就是存在量词命题.

四、典例分析、举一反三

题型一全称量词命题与存在量词命题的判定

例1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.

（1）凸多边形的外角和等于；

（2）圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径；

（3）至少有一个三角形没有外接圆；

（4）有些素数的和仍是素数；

（5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.

【答案】（1）可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于，故为全称量词命题.

（2）是全称量词命题，“任意”为全称量词.

（3）是存在量词命题，“至少有一个”为存在量词.

（4）含有存在量词“有些”，故为存在量词命题.

（5）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题.

解题技巧：

判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤：

1.首先判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题.

2.若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题.

3.当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.

4.一个全称量词命题或存在量词命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称量词或存在量词，应结合具体问题多加体会.

变式训练1

1.下列命题中，是全称量词命题的是，是存在量词命题的是.（填序号）

①正方形的四条边相等；②有两个角是的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于；④至少有一个正整数是偶数.

【答案】①②③；④

题型二用量词表示命题

例2用全称量词或存在量词表示下列语句.

（1）有理数都能写成分数形式；

（2）整数中最小；

（3）方程有实数解；

（4）有一个质数是偶数.

【答案】（1）任意一个有理数都能写成分数形式.

（2）所有的整数中最小.

（3）存在实数，使成立.

（4）存在一个质数是偶数.

解题技巧：

由于叙述的多样性，有些语句不是典型的全称量词命题或存在量词命题，但却表达了这两种命题的意思，如果能恰当地引入全称量词或存在量词，即可使题意清晰明了.

变式训练2

2.用量词符号表述全称量词命题.

（1）任意一个实数乘以都等于它的相反数；

（2）对任意实数，都有.

【答案】（1），.

（2），.

题型三全称量词命题与存在量词命题的真假判断

例3判断下列命题的真假：

（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点；

（2）存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；

（3）每一条线段的长度都能用正有理数表示；

（4）存在一个实数，使等式成立.

【答案】（1）真命题.

（2）真命题.函数就是满足要求的函数.

（3）假命题.如：边长为的正方形的对角线长，它的长度就不是有理数.

（4）假命题.因为，所以等式不成立.

解题技巧：

（1）判断全称量词命题，是真命题，要对集合中的每个元素，证明成立；判断全称量词命题为假命题只需要在集合中找到一个元素，使得不成立，即找反例.

（2）判断存在量词命题，是真命题，只需在集合中找到，使得成立即可，即举例加以说明；判断存在量词命题为假命题，需要证明集合M中使得成立的元素不存在.

变式训练3

有下列四个命题：①，；②，；③，；④，为的约数.其中真命题的个数为（）

A. B. C. D.

【答案】对于①，这是全称量词命题，∵，∴，是真命题；对于②，这是全称量词命题，当时，，故该命题为假命题；对于③，这是存在量词命题，当时，成立，该命题为真命题；对于④，这是存在量词命题，当时，为的约数，该命题为真命题.故选C.

五、课堂练习

1.下列命题是“，”的另一种表述方式的是（）

A.有一个，使得

B.对有些，使得

C.任选一个，使得

D.至少有一个，使得

2.既是存在量词命题，又是真命题的是（）

A.斜三角形的内角是锐角或钝角

B.至少有一个，使

C.两个无理数的和是无理数

D.存在一个负数，使

3.（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（）

A.，

B.至少有一个，使能同时被和整除

C.，

D.有些自然数是偶数

4.下列命题：

①偶数都可以被整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于.

既是全称量词命题又是真命题的是，既是存在量词命题又是真命题的是（填上所有满足要求的序号）.

5.用量词符号“”“”表述下列命题，并判断真假.

（1）一定有整数，，使得成立.

（2）所有的有理数都能使是有理数.

（3）存在一对实数，使成立.

六、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

七、板书设计

八、作业

课本28页练习

因为涉及到的知识点比较多，且知识点较繁琐，且新概念比较抽象，因此本节学习过程中，一定让学生多多参加，并且在解题技巧方面先让学生自己总结，教师再补充说明.