人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词教案设计

1.5全称量词与存在量词

一．选择题（共5小题）

1．若命题“，使得不等式”成立，则实数的取值集合是　　

A． B．，， 

C．， D．，，

2．若命题“，”是真命题，则实数的范围是　　

A．或 B． C． D．

3．若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

4．下列语句是特称命题的是　　

A．整数是2和7的倍数 B．存在整数，使能被11整除 

C．若，则 D．，成立

5．已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

二．填空题（共3小题）

6．若，为假，则实数的取值范围为　　．

7．已知函数，若存在，，使，则实数的取值范围为　　．

8．若函数，，若，都，，使得成立，则实数的取值范围是　　．

三．解答题（共3小题）

9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，分别用符号“”或“”表示，并判断真假．

（1）存在实数，，使；

（2）对于实数，；

（3）有些实数，使得．

10．已知命题，成立，命题，不成立，若假真．求实数的取值范围．

11．设、，，．若命题“对一切实数”成立时，命题“对一切实数，”也成立，求实数的取值范围．

（进阶篇）2021-2022学年上学期高中数学人教新版高一同步分层作业1.5全称量词与存在量词

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．若命题“，使得不等式”成立，则实数的取值集合是　　

A． B．，， 

C．， D．，，

【分析】根据的值分类讨论，根据二次不等式与二次函数的关系求解即可．

【解答】解：当时，不等式可化为，

故命题成立；

当时，开口向下，

故不等式一定有解，

故命题成立；

当时，△，

即，

解得，或，

综上所述，实数的取值集合是，，，

故选：．

【点评】本题考查了命题的真假性的应用及二次函数与二次不等式的关系，属于中档题．

2．若命题“，”是真命题，则实数的范围是　　

A．或 B． C． D．

【分析】根据二次函数与对应不等式的关系，利用判别式△，求出实数的取值范围．

【解答】解：命题“，”是真命题，

时，不等式为，不满足题意；

时，应满足，解得，

所以实数的取值范围是，．

故选：．

【点评】本题考查了二次函数与对应不等式的关系以及判别式的应用问题，是基础题．

3．若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】不等式化为，先求对任意，都有；

作出函数图象，由数形结合求实数的取值范围．

【解答】解：不等式可化为：

；

若对任意，都有，

作函数与的图象如下，

结合图象可知，

当或时，对任意，都有；

所以实数的取值范围是，．

故选：．

【点评】本题考查了函数图象的作法以及函数与不等式的应用问题，也考查了数形结合的思想应用，是综合题．

4．下列语句是特称命题的是　　

A．整数是2和7的倍数 B．存在整数，使能被11整除 

C．若，则 D．，成立

【分析】判断命题是否含有特称量词即可．

【解答】解：命题：存在整数，使能被11整除，含有特称量词存在，

故是特此命题，

故选：．

【点评】本题主要考查特称命题的判断，根据特称量词是解决本题的关键．比较基础．

5．已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】由满足关于的方程得出是二次函数的对称轴，由可知二次函数有最小值．

【解答】解：满足关于的方程，

，函数在处取到最小值是

等价于，，所以命题错误．

故选：．

【点评】本题考查二次函数的最值问题，全称命题和特称命题真假的判断，注意对符号和的区分和理解．

二．填空题（共3小题）

6．若，为假，则实数的取值范围为　，　．

【分析】若，为假，则其否定命题为真，

利用分离常数法和基本不等式求出的取值范围．

【解答】解：若，为假，

则其否定命题为真，即，为真，

所以对任意实数恒成立；

设，；

则，

当且仅当，即时等号成立，

所以实数的取值范围是．

故答案为：，．

【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了转化思想，是中档题．

7．已知函数，若存在，，使，则实数的取值范围为　，，　．

【分析】求导可得故当时，函数取极大值，分类讨论满足存在，，使的实数的取值范围，综合可得答案．

【解答】解：函数，，

当或时，，当时，，

故当时，函数取极大值，

若，若存在，，使，则（a），

解得，，

若，若存在，，使，则，或（a），

解得：，，

综上可得：，，，

故答案为：，，．

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，特称命题，难度中档．

8．若函数，，若，都，，使得成立，则实数的取值范围是　，　．

【分析】结合二次函数及指数函数的性质先求出相应的值域，然后结合已知转化为集合的包含关系，即可求解．

【解答】解：当，时，，，

，，，，

令，，，，

若，都，，使得成立，

则，

故，

解得，．

故的范围，．

故答案为：，．

【点评】本题以量词为载体，考查了集合包含关系的应用，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题．

三．解答题（共3小题）

9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，分别用符号“”或“”表示，并判断真假．

（1）存在实数，，使；

（2）对于实数，；

（3）有些实数，使得．

【分析】由全称命题与特称命题的定义判断三个命题哪个是全称命题，哪个是特称命题，然后用“”或“”表示，进一步判断真假．

【解答】解：（1）（3）为特称命题，（2）为全称命题；

（1）实数，，使，为真命题，当时成立；

（2）实数，，为假命题，原因是0的0次幂无意义；

（3），使得，为真命题，如成立．

【点评】本题考查全称量词与全称命题，存在量词与特称命题，考查命题的真假判断，是基础题．

10．已知命题，成立，命题，不成立，若假真．求实数的取值范围．

【分析】求出命题，为真命题时，的范围，据假真．求实数的取值范围．

【解答】解：命题，成立，则△，可得；

命题，不成立，

所以，成立，

当时，成立；

当时，△，

即，解得，

，

假真，，，

的取值范围为，．

【点评】本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围．

11．设、，，．若命题“对一切实数”成立时，命题“对一切实数，”也成立，求实数的取值范围．

【分析】先根据条件求出的取值范围，对进行分类，当时，，对一切实数，不成立，当时，△，即，解得即可．

【解答】解：对一切实数，

△，

解得，

，对一切实数，成立，

当时，，对一切实数，不成立，

当时，，

，

，

故实数的取值范围，．

【点评】本题主要考查命题的真假的判断和应用，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。