高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词教案设计

1.5 全称量词与存在量词（精讲）

考点一 全称命题的判断

【例1】（2020·全国高一课时练习）下列命题含有全称量词的是        （   )

A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数

C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数

【答案】B

【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程有实数解”即“存在实数，使”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.

【一隅三反】

1．（2020·全国高一）下列语句不是全称量词命题的是（    ）

A．任何一个实数乘以零都等于零                 B．自然数都是正整数

C．高一(一)班绝大多数同学是团员               D．每一个实数都有大小

【答案】C

【解析】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；

B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；

C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；

D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C.

2．（2020·全国高一单元测试）（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（    ）

A．至少有一个x使成立 B．对任意的x都有成立

C．对任意的x都有不成立 D．存在x使成立

E.矩形的对角线垂直平分

【答案】BCE

【解析】

A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；

B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题；

E中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.故选：BCE

考点二 特称命题的判断

【例2】（2020·全国高一）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.

（1）∀x∈N，2x＋1是奇数；

（2）存在一个x∈R，使＝0；

（3）对任意实数a，|a|＞0；

【答案】（1）是全称量词命题；是真命题；（2）是存在量词命题；是假命题；（3）是全称量词命题；是假命题.

【解析】（1）是全称量词命题.因为都是奇数，所以该命题是真命题.

（2）是存在量词命题.因为不存在，使成立，所以该命题是假命题.

（3）是全称量词命题.因为，所以不都成立，因此，该命题是假命题.

【一隅三反】

1．（2020·全国高一课时练习）下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意，总有；存在量词命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】命题①中含有存在量词，是存在量词命题；命题②中全称量词省略，可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③中全称量词省略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④中有全称量词“总有”，是全称量词命题故有1个存在量词命题；故选：B.

2．（2020·全国高一课时练习）下列命题不是存在量词命题的是（    ）

A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数

C．对于任意，是奇数 D．存在，是奇数

【答案】C

【解析】A、B、D中都有存在量词，是存在量词命题，C中含有量词“任意”，为全称量词命题，故选：C.

考点三 全称、特称命题真假的判断

【例3】（2020·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假:

(1)不论取何实数,关于的方程必有实数根；

(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；

(3)某些梯形的对角线互相平分；

(4)函数图象恒过原点.

【答案】见解析

【解析】(1)即“所有，关于的方程都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使得方程没有实数解”，真命题；

 (2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题；

(3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；

(4)即“所有，函数图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使函数图象不过原点”，是假命题.

【一隅三反】

1．（2020·平罗中学高二期末（文））下列是全称命题且是真命题的是(    )

A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈Q

C．∃x0∈Z，x>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>0

【答案】BA、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题．故选B．

2．（2020·全国高一课时练习）关于命题“当时，方程没有实数解”，下列说法正确的是    （   )

A．是全称量词命题，假命题 B．是全称量词命题，真命题

C．是存在量词命题，假命题 D．是存在量词命题，真命题

【答案】A

【解析】原命题的含义是“对于任意，方程都没有实数解”，但当时，方程有实数解，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A.

3．（2020·全国高一）用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：

(1)任意实数的平方大于或等于0；

(2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称；

(3)存在整数x，y，使得；

(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.

【答案】(1).真命题；

(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题；

(3)假命题；

(4)，真命题.

【解析】(1)，是真命题；

(2),二次函数的图象关于y轴对称,真命题，；

(3)假命题,因为必为偶数；

(4).真命题,例如.

考点四 命题的否定

【例4】（2020·全国高一课时练习）设是奇数集，是偶数集，则命题“，”的否定是    （   )

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】“，”即“所有，都有”，它的否定应该是“存在，使”，所以正确选项为A.

【一隅三反】

1．（2020·全国高一课时练习）下列命题的否定为假命题的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】对A，命题的否定为假命题等价于该命题是真命题，由得，这样的整数x不存在，故A为假命题，其否定为真命题，故A错误；

对B，，，故B为假命题，其否定为真命题，故B错误；

对C，，故C为假命题，其否定为真命题，故C错误；

对D，存在或，使，故D为真命题，从而D的否定是假命题，故D正确.故选：D.

2．（2020·湖南天心.长郡中学高三其他（文））已知命题，，则命题的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】命题为特称命题，其否定为，.故选：C.

3．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词换为存在量词，不等号换为＞，可得命题“”的否定为“”，故选：B.

考点五 全称特称求参数

【例5】（1）（2020·湖南雁峰.衡阳市八中高二期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

（2）（2020·浙江高一课时练习）若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

（3）（2019·四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】（1）B（2）B（3）D

【解析】（1），，∴要使恒成立，则恒成立，即，

本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有B符合.故选：B.

（2）由题得，原命题的否命题是“，使”，

即，解得．选B.

（3）由，知

当时，

由，知

当时，

由题意得：，即

，解得综上，.故选：D

【一隅三反】

1．（2020·浙江高一课时练习）若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（    ）.

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解析】命题“”是真命题，则需满足，解得或.故选：B.

2．（2020·全国高一课时练习）命题“已知，都有”是真命题，则实数的取值范围是    （   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由已知，得，要使，都有成立，只需，所以正确选项为C.

3．（2020·广东高三其他（文））已知命题，命题，若p假q真，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】命题，为假命题，则为真命题，满足，解得；命题为真命题，由，当且仅当时等号成立，可知，故实数a的取值范围为，

故选：C.

4．（2019·四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】函数的对称轴为，

当即时，在上不是单调函数，

则在R上也不是单调函数，满足题意；

当即时，分段函数为R上的单调增函数，不满足题意.故答案为：