北师大版高考数学一轮复习第3章第3节第2课时简单的三角恒等变形课时作业理含解析

简单的三角恒等变形

授课提示：对应学生用书第305页

[A组　基础保分练]

1．（2021·邢台一中月考）已知tan＝，则cos2＝（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：∵tan＝，∴＝，∴tan α＝－，∴cos2＝＝＝＝＝．

答案：B

2．（2021·河南天一模拟）已知sin＝，则sin 4x的值为（　　）

A．  B．±

C．  D．±

解析：因为sin＝（cos 2x－sin 2x）＝，

所以sin 2x－cos 2x＝－，

所以（sin 2x－cos 2x）2＝1－2sin 2xcos 2x＝1－sin 4x＝，所以sin 4x＝．

答案：A

3．（2021·青岛模拟）若＝4，则tan＝（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：∵＝＝＝4，∴tan＝＝．

答案：C

4．若α为第二象限角，且sin 2α＝sincos（π－α），则cos的值为（　　）

A．－  B．

C．  D．－

解析：∵sin  2α＝sincos（π－α），∴2sin αcos α＝－cos2α，∵α是第二象限角，∴cos α≠0，2sin  α＝－cos α，∴4sin2α＝cos2α＝1－sin2α，∴sin2α＝，∴cos＝cos 2α＋sin 2α＝cos2α－sin2α＋2sin αcos α＝－sin2α＝－．

答案：A

5．（2021·邵阳模拟）若tancos ＝sin －msin ，则实数m的值为（　　）

A．2  B．

C．2  D．3

解析：由tan cos ＝sin －msin ，

可得sin cos ＝cos sin －msin cos ，

即sin cos＝cos sin－msin ·cos ，

即sin2 ＝cos2 －sin ，

亦即sin ＝cos ，∴·＝，

∴m＝2．

答案：A

6．已知函数f（x）＝（2cos2 x－1）sin 2x＋cos 4x，若α∈，且f（α）＝，则α的值为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由题意知f（x）＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝sin 4x＋cos 4x＝sin，因为f（α）＝sin＝，所以4α＋＝＋2kπ，k∈Z，即α＝＋，k∈Z．因为α∈，所以α＝＋＝．

答案：C

7．（2021·平顶山模拟）已知sin α＝－，若＝2，则tan（α＋β）＝_________．

解析：因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝．由＝2，得sin（α＋β）＝2cos[（α＋β）－α]，即cos（α＋β）＝sin（α＋β），所以tan（α＋β）＝．

答案：

8．（2021·长沙模拟）化简：＝_________．

解析：

＝＝＝4sin α．

答案：4sin α

9．（2021·广州模拟）已知函数f（x）＝－2sin2 ．

（1）若f（x）＝，求sin 2x的值；

（2）求函数F（x）＝f（x）·f（－x）＋f2（x）的最大值与单调递增区间．

解析：（1）由题意知f（x）＝1＋sin x－（1－cos x）＝sin x＋cos x．

又∵f（x）＝，∴sin x＋cos x＝，

∴sin 2x＋1＝，∴sin 2x＝．

（2）F（x）＝（sin x＋cos x）·[sin（－x）＋cos（－x）]＋（sin x＋cos x）2

＝cos2x－sin2x＋1＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋1

＝sin＋1，

当sin＝1时，F（x）取得最大值，

即F（x）max＝＋1．

令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），

∴kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），

从而函数F（x）的最大值为＋1，单调递增区间为（k∈Z）．

[B组　能力提升练]

1．（2021·湖北八校联考）已知3π≤θ≤4π，且 ＋  ＝，则θ＝（　　）

A．或  B．或

C．或  D．或

解析：因为3π≤θ≤4π，所以≤≤2π，所以cos ≥0，sin ≤0，则 ＋＝＋＝cos －sin ＝cos＝，所以cos＝，

所以＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z．因为3π≤θ≤4π，所以θ＝或．

答案：D

2．（2021·济南长清月考）若＝sin 2θ，则sin 2θ＝（　　）

A．  B．

C．－  D．－

解析：∵＝sin 2θ，∴＝sin 2θ，

∴2（cos θ＋sin θ）＝sin 2θ，∴3sin22θ－4sin 2θ－4＝0，得sin 2θ＝－．

答案：C

3．（2021·成都二中月考）已知tan（α＋β）＝2tan β，则的值为（　　）

A．  B．

C．  D．3

解析：∵tan（α＋β）＝2tan β，∴sin（α＋β）·cos β＝2cos（α＋β）sin β，∴＝＝＝3．

答案：D

4．（2021·黄冈调考）已知圆C：x2＋（y－1）2＝R2与函数y＝2sin x的图像有唯一交点，且交点的横坐标为a，则＝（　　）

A．－2  B．2

C．－3  D．3

解析：设圆C与y＝2sin x图像的唯一交点为A（a，2sin a），则过点A的y＝2sin x图像的切线的斜率k＝2cos a．连接AC（图略），则过点A和圆心C（0，1）的直线的斜率为．因为圆C在点A处的切线和直线AC垂直，所以×2cos a＝－1，整理得2cos a－a＝2sin 2a，所以＝＝＝2．

答案：B

5．设α是第四象限角，若＝，则tan 2α＝_________．

解析：＝＝＝cos 2α＋2cos2α＝4cos2α－1＝，解得cos2α＝．

因为α是第四象限角，所以cos α＝，sin α＝－，

所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，

所以tan 2α＝－．

答案：－

6．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos（α＋β）＝_________．

解析：因为α∈，－α∈，cos＝，所以sin＝－，

因为sin＝－，所以sin＝，

又因为β∈，＋β∈，

所以cos＝，

所以cos（α＋β）＝cos＝×－×＝－．

答案：－

7．已知函数f（x）＝cos2x＋sin xcos x，x∈R．

（1）求f的值；

（2）若sin α＝，且α∈，求f．

解析：（1）f＝cos2＋sincos

＝＋×＝．

（2）因为f（x）＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x＝＋（sin 2x＋cos 2x）＝＋sin，

所以f＝＋sin

＝＋sin＝＋．

又因为sin α＝，且α∈，

所以cos α＝－，

所以f＝＋×

＝．

[C组　创新应用练]

　已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（－3，）．

（1）求sin 2α－tan α的值；

（2）若函数f（x）＝cos（x－α）cos α－sin（x－α）sin α，求函数g（x）＝f－2f2（x）在区间上的值域．

解析：（1）因为角α的终边经过点P（－3，），

所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－．

所以sin 2α－tan  α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－．

（2）因为f（x）＝cos（x－α）cos α－sin（x－α）sin α＝cos x，x∈R，

所以g（x）＝cos－2cos2x

＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，

因为0≤x≤，

所以－≤2x－≤π，

所以－≤sin≤1，

所以－2≤2sin－1≤1，

所以g（x）在区间上的值域为[－2，1]．