新高考数学一轮复习学案 第4章 §4.3 第2课时　简单的三角恒等变换（含解析）

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1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcs α.
(2)公式C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2．常用的部分三角公式
(1)1－cs α＝2sin2eq \f(α,2),1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2).(升幂公式)
(2)1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))2.(升幂公式)
(3)sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).(降幂公式)
(4)asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).(辅助角公式)
微思考
1．思考三角恒等变换的基本技巧．
提示 (1)变换函数名称：使用诱导公式．
(2)升幂、降幂：使用倍角公式．
(3)常数代换：如1＝sin2α＋cs2α＝tan eq \f(π,4).
(4)变换角：使用角的代数变换、各类三角函数公式．
2．进行化简求值时一般要遵循什么原则？
提示 异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化等．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)(2020·全国Ⅱ改编)若α为第四象限角，则sin 2α>0.( × )
(2)∀α∈R,1＋sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)＋cs \f(α,2)))2.( √ )
(3)∀α∈R,2cs2α＋cs 2α－1＝0.( × )
(4)∃α∈R，tan 2α＝2tan α.( √ )
题组二 教材改编
2．sin 15°cs 15°等于( )
A．－eq \f(1,4) B.eq \f(1,4) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 sin 15°cs 15°＝eq \f(1,2)sin 30°＝eq \f(1,4).
3．已知sin α－cs α＝eq \f(1,5)，0≤α≤π，则cs 2α等于( )
A．－eq \f(24,25) B.eq \f(24,25) C．－eq \f(7,25) D.eq \f(7,25)
答案 C
解析 ∵sin α－cs α＝eq \f(1,5)，sin2α＋cs2α＝1,0≤α≤π，
∴sin α＝eq \f(4,5)，∴cs 2α＝1－2sin2α＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2＝－eq \f(7,25).
4．已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ .
答案 eq \f(1,6)
解析 方法一 cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))))＝eq \f(1,2)(1－sin 2α)＝eq \f(1,6).
方法二 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)cs α－eq \f(\r(2),2)sin α，
所以cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,2)(cs α－sin α)2
＝eq \f(1,2)(1－2sin αcs α)＝eq \f(1,2)(1－sin 2α)＝eq \f(1,6).
题组三 易错自纠
5．计算：eq \f(4tan \f(π,12),3tan2\f(π,12)－3)等于( )
A.eq \f(2\r(3),3) B．－eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(2\r(3),9) D．－eq \f(2\r(3),9)
答案 D
解析 原式＝－eq \f(2,3)·eq \f(2tan \f(π,12),1－tan2\f(π,12))＝－eq \f(2,3)tan eq \f(π,6)＝－eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),3)＝－eq \f(2\r(3),9).
6．(2020·泸州模拟)若tan α＝eq \f(1,2)，则cs 2α等于( )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,5)
答案 D
解析 ∵tan α＝eq \f(1,2)，
∴cs 2α＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq \f(1－\f(1,4),1＋\f(1,4))＝eq \f(3,5).
题型一 三角函数式的化简
1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α等于( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(5),9)
答案 A
解析 由3cs 2α－8cs α＝5，
得3(2cs2α－1)－8cs α＝5，
即3cs2α－4cs α－4＝0，
解得cs α＝－eq \f(2,3)或cs α＝2(舍去)．
又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))2)＝eq \f(\r(5),3).
2．(2020·江苏改编)已知sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(2,3)，则sin 2α的值是( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C．－eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 ∵sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(2,3)，
∴eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α)),2)＝eq \f(2,3)，
即eq \f(1＋sin 2α,2)＝eq \f(2,3)，
∴sin 2α＝eq \f(1,3).
3．(2019·全国Ⅱ)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α等于( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(5),5)
答案 B
解析 由2sin 2α＝cs 2α＋1，得4sin αcs α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcs α＝1－sin2α.因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs α＝eq \r(1－sin2α)，所以2sin αeq \r(1－sin2α)＝1－sin2α，解得sin α＝eq \f(\r(5),5)，故选B.
4．2eq \r(1＋sin 4)＋eq \r(2＋2cs 4)等于( )
A．2cs 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cs 2 D．2sin 2＋4cs 2
答案 B
解析 2eq \r(1＋sin 4)＋eq \r(2＋2cs 4)
＝2eq \r(sin22＋2sin 2cs 2＋cs22)＋eq \r(2＋22cs22－1)
＝2eq \r(sin 2＋cs 22)＋eq \r(4cs22)
＝2|sin 2＋cs 2|＋2|cs 2|.
∵eq \f(π,2)